13.2: Cálculos de Ejemplo

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habilidades para desarrollar

Potencia de cómputos usando la distribución binomial
Potencia de cómputos usando la distribución normal
Utilice una calculadora de energía para calcular la potencia para la\(t\) distribución

En el estudio de caso “Sacudiendo y revolviendo Martinis”, la pregunta era si el señor Bond podía notar la diferencia entre martinis que se agitaban y martinis que se agitaban. Por el bien de este ejemplo, supongamos que puede notar la diferencia y es capaz de afirmar correctamente si un martini había sido sacudido o agitado\(0.75\) de la época. Ahora, supongamos que se está realizando un experimento para investigar si el señor Bond puede notar la diferencia. Específicamente, ¿el señor Bond está en lo correcto más que\(0.50\) de las veces? Sabemos que lo es (eso es una suposición del ejemplo). No obstante, el experimentador desconoce y pide al señor Bond que juzgue a los\(16\) martinis. El experimentador realizará una prueba de significancia basada en la distribución binomial. Específicamente, si una prueba de una cola es significativa en el\(0.05\) nivel, entonces él o ella concluirá que el señor Bond puede notar la diferencia. El valor de probabilidad se calcula asumiendo que la hipótesis nula es true (\(\pi =0.50\)). Por lo tanto, el experimentador determinará cuántas veces el señor Bond es correcto, y calculará la probabilidad de ser correcto tantas o más veces dado que la hipótesis nula es cierta. La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que el experimentador rechace correctamente la hipótesis nula de que\(\pi =0.50\)? En otras palabras, ¿cuál es el poder de este experimento?

La distribución binomial para\(N = 16\) y\(\pi =0.50\) se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). La probabilidad de ser correcto en\(11\) o más ensayos es\(0.105\) y la probabilidad de ser correcto en\(12\) o más ensayos es\(0.038\). Por lo tanto, la probabilidad de ser correcto en\(12\) o más ensayos es menor que\(0.05\). Esto significa que la hipótesis nula será rechazada si el señor Bond tiene razón en\(12\) o más juicios y no será rechazada de otra manera.

Calculadora binomial

Figura\(\PageIndex{1}\): La distribución binomial para\(N = 16\) y\(\pi =0.50\)

Sabemos que el señor Bond tiene razón\(0.75\) de la época. (Obviamente el experimentador no lo sabe o no habría necesidad de un experimento.) La distribución binomial con\(N = 16\) y\(\pi =0.75\) se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): La distribución binomial para\(N = 16\) y\(\pi =0.75\)

La probabilidad de ser correcto en\(12\) o más ensayos es\(0.63\). Por lo tanto, el poder del experimento lo es\(0.63\).

En resumen, la probabilidad de ser correcto en\(12\) o más ensayos dado que la hipótesis nula es verdadera es menor que\(0.05\). Por lo tanto, si el señor Bond tiene razón en\(12\) o más juicios, se rechazará la hipótesis nula. Dada la verdadera capacidad del señor Bond para ser correcto en\(0.75\) los juicios, la probabilidad de que sea correcto en\(12\) o más juicios es\(0.63\). Por lo tanto el poder es\(0.63\).

En la sección de Prueba de significancia de una Media Única, el primer ejemplo se basó en el supuesto de que el experimentador conocía la varianza poblacional. Si bien esto rara vez es cierto en la práctica, el ejemplo es muy útil para fines pedagógicos. Por la misma razón, en el siguiente ejemplo se asume que el experimentador conoce la varianza poblacional. Se dispone de calculadoras de potencia para situaciones en las que el experimentador no conoce la varianza poblacional.

Supongamos que se sabe que una prueba de logro matemático tiene una media de\(75\) y una desviación estándar de\(10\). Un investigador está interesado en saber si un nuevo método de enseñanza da como resultado una media superior. Supongamos que aunque el experimentador no lo conozca, la media poblacional para el nuevo método es\(80\). El investigador planea muestrear\(25\) sujetos y hacer una prueba de una cola de si la media de la muestra es significativamente mayor que\(75\). ¿Cuál es la probabilidad de que el investigador rechace correctamente la falsa hipótesis nula de que la población significa para el nuevo método es\(75\) o menor? A continuación se muestra cómo se calcula esta probabilidad.

El investigador asume que la desviación estándar poblacional con el nuevo método es la misma que con el método antiguo (\(10\)) y que la distribución es normal. Dado que se supone que se conoce la desviación estándar de la población, el investigador puede usar la distribución normal en lugar de la distribución t para calcular el\(p\) valor. Recordemos que el error estándar de la media (\(\sigma _M\)) es

\[\sigma _M=\frac{\sigma }{\sqrt{N}}\]

que es igual a\(10/5 = 2\) en este ejemplo. Como puede verse en la Figura\(\PageIndex{3}\), si la hipótesis nula de que la media poblacional\(75\) es igual es verdadera, entonces la probabilidad de que una media muestral sea mayor o igual a\(78.29\) es\(0.05\). Por lo tanto, el experimentador rechazará la hipótesis nula si la media muestral\(M\),, es\(78.29\) o mayor.

Figura creada con la Calculadora Normal Inversa)

La pregunta, entonces, es ¿cuál es la probabilidad de que el experimentador obtenga una media muestral mayor que\(78.29\) dado que la media poblacional es\(80\)? La figura\(\PageIndex{4}\) muestra que esta probabilidad es\(0.80\).

Figura creada con la Calculadora Normal)

Por lo tanto, la probabilidad de que el experimentador rechace la hipótesis nula de que es la media poblacional del nuevo método\(75\) es\(0.80\). En otras palabras,\(power = 0.80\).

El cálculo de la potencia es más complejo para\(t\) las pruebas y para el Análisis de Varianza. La calculadora de potencia calcula la potencia para una\(t\) prueba de grupos independientes. Las calculadoras para otros tipos de diseños están vinculadas a continuación:

Calculadoras de potencia de Russ Lenth