7.1: Preludio al Teorema del Límite Central

Habilidades para Desarrollar

Al final de este capítulo, el alumno deberá ser capaz de:

• Reconocer problemas del teorema del límite central.
• Clasificar los problemas verbales continuos por sus distribuciones.
• Aplicar e interpretar el teorema del límite central para las medias.
• Aplicar e interpretar el teorema del límite central para las sumas.

¿Por qué estamos tan preocupados por los medios? Dos razones son: nos dan un término medio para la comparación, y son fáciles de calcular. En este capítulo, estudiarás las medias y el teorema del límite central. El teorema del límite central (clt para abreviar) es una de las ideas más poderosas y útiles en todas las estadísticas. Existen dos formas alternativas del teorema, y ambas alternativas se refieren a extraer muestras finitas de tamaño n de una población con una media conocida,\(\mu\), y una desviación estándar conocida,\(\sigma\). La primera alternativa dice que si recolectamos muestras de tamaño\(n\) con un “suficientemente grande”\(n\), calculamos la media de cada muestra y creamos un histograma de esas medias, entonces el histograma resultante tenderá a tener una forma aproximada de campana normal. La segunda alternativa dice que si nuevamente recolectamos muestras de tamaño\(n\) que son “lo suficientemente grandes”, calculamos la suma de cada muestra y creamos un histograma, entonces el histograma resultante volverá a tender a tener una forma de campana normal.

En cualquier caso, no importa cuál sea la distribución de la población original, o si incluso necesitas conocerla. El hecho importante es que la distribución de las medias muestrales y las sumas tienden a seguir la distribución normal.

El tamaño de la muestra,\(n\), que se requiere para ser “lo suficientemente grande” depende de la población original de la que se extraen las muestras (el tamaño de la muestra debe ser de al menos 30 o los datos deben provenir de una distribución normal). Si la población original está lejos de ser normal, entonces se necesitan más observaciones para que las medias o sumas de la muestra sean normales. El muestreo se realiza con reemplazo.

Figura\(\PageIndex{1}\). Si quieres averiguar la distribución del cambio que la gente lleva en sus bolsillos, usando el teorema del límite central y asumiendo que tu muestra es lo suficientemente grande, encontrarás que la distribución es normal y en forma de campana. (crédito: John Lodder)

Actividad de aula colaborativa

Supongamos que ocho de ustedes tiran un dado justo diez veces, siete de ustedes tiran dos dados justos diez veces, nueve de ustedes tiran cinco dados justos diez veces, y 11 de ustedes tiran diez dados justos diez veces.

Cada vez que una persona rueda más de un dado, calcula la media muestral de las caras que muestran. Por ejemplo, una persona podría tirar cinco dados justos y obtener 2, 2, 3, 4, 6 en una tirada.

La media es\(\frac{2+2+3+4+6}{5} = 3.4\). El 3.4 es una media cuando se lanzan cinco dados justos. Esta misma persona tiraría los cinco dados nueve veces más y calcularía nueve medias más para un total de diez medias.

Tu instructor repartirá los dados a varias personas. Enrolla tus dados diez veces. Para cada rollo, graba las caras y encuentra la media. Redondea al 0.5 más cercano.

Su instructor (y posiblemente usted) producirá una gráfica (podría ser un histograma) para un dado, una gráfica para dos dados, una gráfica para cinco dados y una gráfica para diez dados. Dado que el “medio” al rodar un dado es solo la cara en el dado, ¿qué distribución parecen representar estos medios?

• Dibuja la gráfica para las medias usando dos dados. ¿Los medios de muestra muestran algún tipo de patrón?
• Dibuja la gráfica para las medias usando cinco dados. ¿Ves algún patrón emergiendo?
• Por último, dibuja la gráfica para las medias usando diez dados. ¿Ves algún patrón a la gráfica? ¿Qué puedes concluir a medida que aumentas el número de dados?

A medida que el número de dados tirados aumenta de uno a dos a cinco a diez, sucede lo siguiente:

1. La media de las medias de la muestra sigue siendo aproximadamente la misma.
2. La dispersión de las medias de la muestra (la desviación estándar de las medias de la muestra) se hace más pequeña.
3. La gráfica aparece cada vez más pronunciada.

Acabas de demostrar el teorema del límite central (clt). El teorema del límite central te dice que a medida que aumentas el número de dados, las medias muestrales tienden hacia una distribución normal (la distribución muestral).

Glosario

Distribución de Muestreo

Dadas muestras aleatorias simples\(n\) de tamaño de una población dada con una característica medida como media, proporción o desviación estándar para cada muestra, la distribución de probabilidad de todas las características medidas se denomina distribución muestral.