11.4: Prueba de Independencia
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Las pruebas de independencia implican el uso de una tabla de contingencia de valores observados (datos).
El estadístico de prueba para una prueba de independencia es similar al de una prueba de bondad de ajuste:
\[\sum_{(i \cdot j)} \frac{(O-E)^{2}}{E}\]
donde:
- \(O =\)valores observados
- \(E =\)valores esperados
- \(i =\)el número de filas en la tabla
- \(j =\)el número de columnas en la tabla
Hay\(i \cdot j\) términos de la forma\(\frac{(O-E)^{2}}{E}\).
El valor esperado para cada celda debe ser de al menos cinco para que puedas usar esta prueba.
Una prueba de independencia determina si dos factores son independientes o no. Primero encontraste el término independencia en Temas de probabilidad. Como revisión, considere el siguiente ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Supongamos\(A =\) una violación por exceso de velocidad en el último año y\(B =\) un usuario de celular mientras conduce. Si\(A\) y\(B\) son independientes entonces\(P(A \text{ AND } B) = P(A)P(B)\). \(A \text{ AND } B\)es el evento de que un conductor recibió una infracción por exceso de velocidad el año pasado y también usó un celular mientras conducía. Supongamos, en un estudio de conductores que recibieron infracciones por exceso de velocidad en el último año, y que usaron celular mientras conducían, que se encuestó a 755 personas. De los 755, 70 presentaron una infracción por exceso de velocidad y 685 no; 305 usaron celulares mientras conducían y 450 no.
Dejó el número\(y =\) esperado de conductores que usaron un celular mientras conducían y recibieron infracciones por exceso de velocidad.
Si\(A\) y\(B\) son independientes, entonces\(P(A \text{ AND } B) = P(A)P(B)\). Por sustitución,
\[\frac{y}{755} = \left(\frac{70}{755}\right)\left(\frac{305}{755}\right) \nonumber\]
Resolver para\(y\):
\[y = \frac{(70)(305)}{755} = 28.3 \nonumber\]
Se espera que alrededor de 28 personas de la muestra usen teléfonos celulares mientras conducen y reciban infracciones por exceso de velocidad.
En una prueba de independencia, declaramos las hipótesis nulas y alternativas en palabras. Dado que la tabla de contingencia consta de dos factores, la hipótesis nula establece que los factores son independientes y la hipótesis alternativa establece que no son independientes (dependientes). Si hacemos una prueba de independencia usando el ejemplo, entonces la hipótesis nula es:
\(H_{0}\): Ser usuario de teléfono celular mientras conduce y recibir una infracción por exceso de velocidad son eventos independientes.
Si la hipótesis nula fuera cierta, esperaríamos que alrededor de 28 personas usaran celulares mientras conducían y recibieran una infracción por exceso de velocidad.
La prueba de independencia siempre es de cola derecha debido al cálculo del estadístico de prueba. Si los valores esperados y observados no están muy juntos, entonces el estadístico de prueba es muy grande y sale en la cola derecha de la curva de chi-cuadrado, ya que está en una bondad de ajuste.
El número de grados de libertad para la prueba de independencia es:
\[df = (\text{number of columns} - 1)(\text{number of rows} - 1) \nonumber\]
La siguiente fórmula calcula el número esperado (\(E\)):
\[E = \frac{\text{(row total)(column total)}}{\text{total number surveyed}} \nonumber\]
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Se toma una muestra de 300 alumnos. De los estudiantes encuestados, 50 eran estudiantes de música, mientras que 250 no. Noventa y siete estaban en la lista de honor, mientras que 203 no. Si asumimos que ser estudiante de música y estar en el cuadro de honor son eventos independientes, ¿cuál es el número esperado de estudiantes de música que también están en el cuadro de honor?
- Contestar
-
Se espera que alrededor de 16 estudiantes sean estudiantes de música y estén en el cuadro de honor.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
En un grupo de voluntarios, los adultos mayores de 21 años se ofrecen como voluntarios de una a nueve horas cada semana para pasar tiempo con una persona mayor discapacitada. El programa recluta entre estudiantes de colegios comunitarios, estudiantes universitarios de cuatro años y no estudiantes. En Tabla\(\PageIndex{1}\) se encuentra una muestra de los voluntarios adultos y el número de horas que realizan voluntariado a la semana.
| Tipo de Voluntariado | 1—3 Horas | 4—6 Horas | 7—9 Horas | Total de fila |
|---|---|---|---|---|
| Estudiantes de Community College | 111 | 96 | 48 | 255 |
| Estudiantes universitarios de cuatro años | 96 | 133 | 61 | 290 |
| No estudiantes | 91 | 150 | 53 | 294 |
| Total de Columna | 298 | 379 | 162 | 839 |
¿El número de horas voluntarias es independiente del tipo de voluntario?
Contestar
La mesa observada y la pregunta al final del problema, “¿El número de horas voluntarias es independiente del tipo de voluntario?” te digo que esta es una prueba de independencia. Los dos factores son el número de horas de voluntariado y el tipo de voluntario. Esta prueba siempre es de cola derecha.
- \(H_{0}\): El número de horas voluntarias es independiente del tipo de voluntario.
- \(H_{a}\): El número de horas voluntarias depende del tipo de voluntario.
Los resultados esperados están en la Tabla\(\PageIndex{2}\).
| Tipo de Voluntariado | 1-3 Horas | 4-6 Horas | 7-9 Horas |
|---|---|---|---|
| Estudiantes de Community College | 90.57 | 115.19 | 49.24 |
| Estudiantes universitarios de cuatro años | 103.00 | 131.00 | 56.00 |
| No estudiantes | 104.42 | 132.81 | 56.77 |
Por ejemplo, el cálculo de la frecuencia esperada para la celda superior izquierda es
\[E = \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{total number surveyed}} = \frac{(255)(298)}{839} = 90.57 \nonumber\]
Calcular el estadístico de prueba:\(\chi^{2} = 12.99\) (calculadora o computadora)
Distribución para la prueba:\(\chi^{2}_{4}\)
\[df = (3 \text{ columns} – 1)(3 \text{ rows} – 1) = (2)(2) = 4 \nonumber\]
Gráfica:
Declaración de probabilidad:\(p\text{-value} = P(\chi^{2} > 12.99) = 0.0113\)
Comparar\(\alpha\) y el\(p\text{-value}\): Dado que no\(\alpha\) se da, asuma\(\alpha = 0.05\). \(p\text{-value} = 0.0113\). \(\alpha > p\text{-value}\).
Tomar una decisión: Desde\(\alpha > p\text{-value}\), rechazar\(H_{0}\). Esto quiere decir que los factores no son independientes.
Conclusión: A un nivel de significancia del 5%, a partir de los datos, hay evidencia suficiente para concluir que el número de horas voluntarias y el tipo de voluntario son dependientes entre sí.
Para el ejemplo en Table, si hubiera habido otro tipo de voluntario, adolescentes, ¿cuáles serían los grados de libertad?
USANDO LA CALCULADORA TI-83, 83+, 84, 84+
Presiona la tecla MATRX y flecha hacia arriba para EDITAR. Presione 1: [A]. Presione 3 ENTRAR 3 ENTER. Ingrese los valores de la tabla por fila desde Tabla. Presione ENTRAR después de cada uno. Presiona 2do QUIT. Presiona STAT y flecha hacia TEST. Flecha hacia abajo a C:χ2-test. Presione ENTER. Debería ver Observado: [A] y Esperado: [B]. Si es necesario, use las teclas de flecha para mover el cursor después de Observado: y presione 2nd MATRX. Presione 1: [A] para seleccionar la matriz A. No es necesario ingresar valores esperados. La matriz listada después de Esperado: puede estar en blanco. Flecha hacia abajo para Calcular. Presione ENTER. El estadístico de prueba es 12.9909 y el valor p = 0.0113. Haz el procedimiento por segunda vez, pero flecha hacia abajo para Dibujar en lugar de calcular.
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
El Bureau of Labor Statistics recopila datos sobre el empleo en Estados Unidos. Se toma una muestra para calcular el número de ciudadanos estadounidenses que trabajan en uno de varios sectores de la industria a lo largo del tiempo. \(\PageIndex{3}\)La tabla muestra los resultados:
| Sector de la Industria | 2000 | 2010 | 2020 | Total |
|---|---|---|---|---|
| Salario y salario no agrícola | 13,243 | 13,044 | 15.018 | 41,305 |
| Productores de bienes, excluida la agricultura | 2,457 | 1,771 | 1,950 | 6,178 |
| Prestación de servicios | 10,786 | 11,273 | 13,068 | 35,127 |
| Agricultura, silvicultura, pesca y caza | 240 | 214 | 201 | 655 |
| Trabajador autónomo no agrícola y familiar no remunerado | 931 | 894 | 972 | 2,797 |
| Trabajos secundarios salariales y salariales en agricultura e industrias domésticas privadas | 14 | 11 | 11 | 36 |
| Trabajos secundarios como trabajador autónomo o familiar no remunerado | 196 | 144 | 152 | 492 |
| Total | 27,867 | 27,351 | 31,372 | 86,590 |
Queremos saber si el cambio en el número de empleos es independiente del cambio en años. Declarar las hipótesis nulas y alternativas y los grados de libertad.
Contestar
- \(H_{0}\): El número de empleos es independiente del año.
- \(H_{a}\): El número de empleos depende del año.
Presiona la tecla MATRX y flecha hacia arriba para EDITAR. Presione 1: [A]. Presione 3 ENTRAR 3 ENTER. Introduzca los valores de la tabla por fila. Presione ENTRAR después de cada uno. Presiona 2do QUIT. Presiona STAT y flecha hacia TEST. Flecha hacia abajo a c:\(\chi^{2}\) -PRUEBA. Presione ENTER. Debería ver Observado: [A] y Esperado: [B]. Flecha hacia abajo para Calcular. Presione ENTER. El estadístico de prueba es 227.73 y el\(p\text{-value} = 5.90E - 42 = 0\). Haz el procedimiento por segunda vez pero flecha hacia abajo para Dibujar en lugar de calcular.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
De Anza College está interesado en la relación entre el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela. Una muestra aleatoria de 400 alumnos realizó una prueba que midió el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela. En la tabla se muestran los resultados. De Anza College quiere saber si el nivel de ansiedad y la necesidad de triunfar en la escuela son eventos independientes.
| Necesidad de tener éxito en la escuela | Ansiedad Alta |
Ansiedad media-alta |
Ansiedad Media |
Ansiedad media-baja |
Baja Ansiedad |
Total de fila |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Alta Necesidad | 35 | 42 | 53 | 15 | 10 | 155 |
| Necesidad Media | 18 | 48 | 63 | 33 | 31 | 193 |
| Baja necesidad | 4 | 5 | 11 | 15 | 17 | 52 |
| Total de Columna | 57 | 95 | 127 | 63 | 58 | 400 |
- ¿Cuántos estudiantes de alto nivel de ansiedad se espera que tengan una alta necesidad de tener éxito en la escuela?
- Si las dos variables son independientes, ¿cuántos alumnos esperas que tengan una baja necesidad de triunfar en la escuela y un nivel medio-bajo de ansiedad?
- \(E = \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{total surveyed}} =\)________
- El número esperado de estudiantes que tienen un nivel de ansiedad media-bajo y una baja necesidad de tener éxito en la escuela es de aproximadamente ________.
Solución
a. El total de la columna para un alto nivel de ansiedad es 57. El total de fila por alta necesidad para triunfar en la escuela es de 155. El tamaño muestral o total encuestado es de 400.
\[E = \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{total surveyed}} = \frac{155 \cdot 57}{400} = 22.09\]
El número esperado de estudiantes que tienen un alto nivel de ansiedad y una alta necesidad de tener éxito en la escuela es de alrededor de 22.
b. El total de la columna para un nivel medio-bajo de ansiedad es 63. El total de fila para una baja necesidad de tener éxito en la escuela es de 52. El tamaño muestral o total encuestado es de 400.
c.\(E = \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{total surveyed}} = 8.19\)
d. 8
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
Refiérase a la información en Nota. ¿Cuántos empleos de prestación de servicios se espera que haya en 2020? ¿Cuántos empleos salariales y salariales no agrícolas se espera que haya en 2020?
Contestar
12,727, 14,965
Referencias
- DiCamilo, Mark, Mervin Field, “La mayoría de los californianos ven un vínculo directo entre la obesidad y los refrescos azucarados. Dos de cada tres votantes apoyan gravar las bebidas endulzadas con azúcar si las ganancias están ligadas a mejorar los programas de nutrición escolar y actividad física”. The Field Poll, publicado el 14 de febrero de 2013. Disponible en línea en field.com/fieldpollonline/sub... rs/Rls2436.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).
- Harris Interactive, “Sabor Favorito del Helado”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/favori...r-of-ice-cream (consultado el 24 de mayo de 2013)
- “Lista de Emprendedores en Línea más Jóvenes”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/younge...repreneur-list (consultado el 24 de mayo de 2013).
Revisar
Para evaluar si dos factores son independientes o no, se puede aplicar la prueba de independencia que utiliza la distribución chi-cuadrada. La hipótesis nula para esta prueba establece que los dos factores son independientes. La prueba compara los valores observados con los valores esperados. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de al menos 5.
Revisión de Fórmula
Prueba de Independencia
- El número de grados de libertad es igual a\((\text{number of columns - 1})(\text{number of rows - 1})\).
- El estadístico de prueba es\(\sum_{(i \cdot j)} \frac{(O-E)^{2}}{E}\) donde\(O =\) se observan los valores, los valores\(E =\) esperados,\(i =\) el número de filas en la tabla y\(j =\) el número de columnas en la tabla.
- Si la hipótesis nula es verdadera, el número esperado\(E = \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{total surveyed}}\).
Determinar la prueba apropiada que se utilizará en los siguientes tres ejercicios.
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Una compañía farmacéutica está interesada en la relación entre la edad y la presentación de síntomas de una infección viral común. Se toma una muestra aleatoria de 500 personas con la infección en diferentes grupos de edad.
Contestar
una prueba de independencia
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Al dueño de un equipo de béisbol le interesa la relación entre los salarios de los jugadores y el porcentaje de victorias del equipo. Toma una muestra aleatoria de 100 jugadores de distintas organizaciones.
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
A un corredor de maratón le interesa la relación entre la marca de zapatos que usan los corredores y sus tiempos de carrera. Toma una muestra aleatoria de 50 corredores y registra sus tiempos de carrera así como la marca de zapatos que llevaban.
Contestar
una prueba de independencia
Utiliza la siguiente información para responder a los siguientes siete ejercicios: Transit Railroads está interesado en la relación entre la distancia de viaje y la clase de boleto comprada. Se toma una muestra aleatoria de 200 pasajeros. En la tabla se\(\PageIndex{4}\) muestran los resultados. El ferrocarril quiere saber si la elección de un pasajero en clase de boleto es independiente de la distancia que debe recorrer.
| Distancia de Viaje | Tercera clase | Segunda clase | Primera clase | Total |
|---|---|---|---|---|
| 1—100 millas | 21 | 14 | 6 | 41 |
| 101—200 millas | 18 | 16 | 8 | 42 |
| 201—300 millas | 16 | 17 | 15 | 48 |
| 301—400 millas | 12 | 14 | 21 | 47 |
| 401—500 millas | 6 | 6 | 10 | 22 |
| Total | 73 | 67 | 60 | 200 |
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
Indicar las hipótesis.
- \(H_{0}\): _______
- \(H_{a}\): _______
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
\(df =\)_______
Contestar
8
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
¿Cuántos pasajeros se espera que viajen entre 201 y 300 millas y compren boletos de segunda clase?
Ejercicio\(\PageIndex{10}\)
¿Cuántos pasajeros se espera que viajen entre 401 y 500 millas y compren boletos de primera clase?
Contestar
6.6
Ejercicio\(\PageIndex{11}\)
¿Cuál es el estadístico de prueba?
Ejercicio\(\PageIndex{12}\)
¿Cuál es el\(p\text{-value}\)?
Contestar
0.0435
Ejercicio\(\PageIndex{13}\)
¿Qué se puede concluir con el nivel de significación del 5%?
Utilice la siguiente información para responder a los siguientes ocho ejercicios: Un artículo en el New England Journal of Medicine, discutió un estudio sobre fumadores en California y Hawai. En una parte del reporte se dio la etnia autoreportada y los niveles de tabaquismo por día. De las personas que fuman como máximo diez cigarrillos diarios, había 9 mil 886 afroamericanos, 2 mil 745 nativos hawaianos, 12 mil 831 latinos, 8 mil 378 japoneses-americanos y 7 mil 650 blancos. De las personas que fumaban de 11 a 20 cigarrillos diarios, había 6 mil 514 afroamericanos, 3 mil 062 nativos hawaianos, 4 mil 932 latinos, 10 mil 680 japoneses americanos y 9 mil 877 blancos. De las personas que fumaban de 21 a 30 cigarrillos diarios, había 1,671 afroamericanos, 1,419 nativos hawaianos, 1,406 latinos, 4,715 japoneses-americanos y 6,062 blancos. De las personas que fuman al menos 31 cigarrillos al día, había 759 afroamericanos, 788 nativos hawaianos, 800 latinos, 2 mil 305 japoneses americanos y 3 mil 970 blancos.
Ejercicio\(\PageIndex{14}\)
Completa la tabla.
| Nivel de tabaquismo por día | Afroamericano | Nativo hawaiano | Latino | Japoneso-americanos | Blanco | TOTALES |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1-10 | ||||||
| 11-20 | ||||||
| 21-30 | ||||||
| 31+ | ||||||
| TOTALES |
Contestar
| Nivel de tabaquismo por día | Afroamericano | Nativo hawaiano | Latino | Japoneso-americanos | Blanco | Totales |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1-10 | 9,886 | 2,745 | 12,831 | 8,378 | 7,650 | 41.490 |
| 11-20 | 6,514 | 3,062 | 4,932 | 10,680 | 9,877 | 35,065 |
| 21-30 | 1,671 | 1,419 | 1,406 | 4,715 | 6,062 | 15,273 |
| 31+ | 759 | 788 | 800 | 2,305 | 3,970 | 8,622 |
| Totales | 18,830 | 8,014 | 19,969 | 26,078 | 27,559 | 10,0450 |
Ejercicio\(\PageIndex{15}\)
Indicar las hipótesis.
- \(H_{0}\): _______
- \(H_{a}\): _______
Ejercicio\(\PageIndex{16}\)
Introduzca los valores esperados en la Tabla. Redondear a dos decimales.
Calcula los siguientes valores:
Contestar
| Nivel de tabaquismo por día | Afroamericano | Nativo hawaiano | Latino | Japoneso-americanos | Blanco |
|---|---|---|---|---|---|
| 1-10 | 7777.57 | 3310.11 | 8248.02 | 10771.29 | 11383.01 |
| 11-20 | 6573.16 | 2797.52 | 6970.76 | 9103.29 | 9620.27 |
| 21-30 | 2863.02 | 1218.49 | 3036.20 | 3965.05 | 4190.23 |
| 31+ | 1616.25 | 687.87 | 1714.01 | 2238.37 | 2365.49 |
Ejercicio\(\PageIndex{17}\)
\(df =\)_______
Ejercicio\(\PageIndex{18}\)
\(\chi^{2} \text{test statistic} =\)______
Contestar
10,301.8
Ejercicio\(\PageIndex{19}\)
\(p\text{-value} =\)______
Ejercicio\(\PageIndex{20}\)
¿Es esta una prueba de cola derecha, cola izquierda o de dos colas? Explique por qué.
Contestar
derecha
Ejercicio\(\PageIndex{21}\)
Grafica la situación. Etiquetar y escalar el eje horizontal. Marcar la media y el estadístico de prueba. Sombra en la región correspondiente a la\(p\text{-value}\).
Indicar la decisión y conclusión (en oración completa) para los siguientes niveles preconcebidos de\(\alpha\).
Ejercicio\(\PageIndex{22}\)
\(\alpha = 0.05\)
- Decisión: ___________________
- Motivo de la decisión: ___________________
- Conclusión (escribir en una oración completa): ___________________
Contestar
- Rechazar la hipótesis nula.
- \(p\text{-value} < \alpha\)
- Existe evidencia suficiente para concluir que el nivel de tabaquismo depende del grupo étnico.
Ejercicio\(\PageIndex{23}\)
\(\alpha = 0.05\)
- Decisión: ___________________
- Motivo de la decisión: ___________________
- Conclusión (escribir en una oración completa): ___________________
Glosario
- Tabla de Contingencia
- una tabla que muestra valores de muestra para dos factores diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí; facilita la determinación de probabilidades condicionales.