7.3: Estimación de muestra grande de una proporción poblacional

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 151197

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Objetivos de aprendizaje

Comprender cómo aplicar la fórmula para un intervalo de confianza para una proporción poblacional.

Dado que a partir de la Sección 6.3 se conoce la media, desviación estándar y distribución muestral de la proporción muestral\(\hat{p}\), las ideas de las dos secciones anteriores se pueden aplicar para producir un intervalo de confianza para una proporción poblacional. Aquí está la fórmula.

Muestra grande\(100(1−\alpha)\%\) Confidence Interval for a Population Proportion

\[\hat{p}\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

Una muestra es grande si el intervalo\([p-3\sigma_{\hat{p}},p+3\sigma _{\hat{p}}]\) se encuentra completamente dentro del intervalo\([0,1]\).

En la práctica real no\(p\) se conoce el valor de, por lo tanto, tampoco lo es\(\sigma_{\hat{p}}\). En ese caso sustituimos la cantidad conocida\(\hat{p}\) por\(p\) al hacer el cheque; esto significa verificar que el intervalo

\[\left [ \hat{p}-3\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\: \hat{p}+3\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right ]\]

yace completamente dentro del intervalo\([0,1]\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Para estimar la proporción de estudiantes de una universidad grande que son mujeres, se selecciona una muestra aleatoria de\(120\) estudiantes. Hay\(69\) alumnas en la muestra. Construir un intervalo de\(90\%\) confianza para la proporción de todos los estudiantes de la universidad que son mujeres.

Solución:

La proporción de estudiantes en la muestra que son mujeres es

\[ \hat{p} =69/120=0.575 \nonumber\]

Nivel de confianza\(90\%\) significa que\(\alpha =1-0.90=0.10\) así\(\alpha /2=0.05\). De la última línea de la Figura 7.1.6 obtenemos\(z_{0.05}=1.645\).

Por lo tanto

\[\hat{p}\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=0.575\pm 1.645\sqrt{\frac{(0.575)(0.425)}{120}}=0.575\pm 0.074 \nonumber\]

Uno puede estar\(90\%\) seguro de que la verdadera proporción de todos los estudiantes de la universidad que son mujeres está contenida en el intervalo\((0.575-0.074,0.575+0.074)=(0.501,0.649)\).

Resumen

Tenemos una fórmula única para un intervalo de confianza para una proporción poblacional, que es válida cuando la muestra es grande.
La condición de que una muestra sea grande no es que su tamaño\(n\) sea al menos\(30\), sino que la función de densidad encaje dentro del intervalo\([0,1]\).