5.1: Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continua

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La gráfica de una distribución de probabilidad continua es una curva. La probabilidad se representa por el área bajo la curva. Ya hemos conocido este concepto cuando desarrollamos frecuencias relativas con histogramas en el Capítulo 2. El área relativa para un rango de valores fue la probabilidad de dibujar al azar una observación en ese grupo. Nuevamente con la distribución de Poisson en el Capítulo 4, la gráfica en Ejemplo\(\PageIndex{14}\) utilizó casillas para representar la probabilidad de valores específicos de la variable aleatoria. En este caso, estábamos siendo un poco casuales porque las variables aleatorias de una distribución de Poisson son discretas, números enteros, y una caja tiene ancho. Observe que el eje horizontal, la variable aleatoria\(x\), a propósito no marcó los puntos a lo largo del eje. La probabilidad de un valor específico de una variable aleatoria continua será cero porque el área bajo un punto es cero. La probabilidad es área.

La curva se denomina función de densidad de probabilidad (abreviada como pdf). Usamos el símbolo\(f(x))\) para representar la curva. \(f(x))\)es la función que corresponde a la gráfica; utilizamos la función de densidad\(f(x))\) para dibujar la gráfica de la distribución de probabilidad.

El área bajo la curva viene dada por una función diferente llamada función de distribución acumulativa (abreviada como cdf). La función de distribución acumulativa se utiliza para evaluar la probabilidad como área. Matemáticamente, la función de densidad de probabilidad acumulativa es la integral del pdf, y la probabilidad entre dos valores de una variable aleatoria continua será la integral del pdf entre estos dos valores: el área bajo la curva entre estos valores. Recuerde que el área bajo el pdf para todos los valores posibles de la variable aleatoria es uno, certeza. Por lo tanto, la probabilidad puede verse como el porcentaje relativo de certeza entre los dos valores de interés.

Los resultados se miden, no se cuentan.
Toda el área bajo la curva y por encima del eje x es igual a uno.
La probabilidad se encuentra para intervalos de valores x en lugar de para\(x\) valores individuales.
\(P(c < x < d)\)es la probabilidad de que la variable aleatoria X esté en el intervalo entre los valores c y d.\(P(c < x < d)\) es el área bajo la curva, por encima del eje x, a la derecha\(c\) e izquierda de\(d\).
\(P(x = c) = 0\)La probabilidad que\(x\) toma cualquier valor individual individual es cero. El área por debajo de la curva, por encima del eje x, y entre\(x = c\) y no\(x = c\) tiene ancho, y por lo tanto ningún área (\(\text{area }= 0\)). Dado que la probabilidad es igual al área, la probabilidad también es cero.
\(P(c < x < d)\)es lo mismo que\(P(c ≤ x ≤ d)\) porque la probabilidad es igual al área.

Encontraremos el área que representa la probabilidad mediante el uso de geometría, fórmulas, tecnología o tablas de probabilidad. En general, se necesita cálculo integral para encontrar el área bajo la curva para muchas funciones de densidad de probabilidad. Cuando utilizamos fórmulas para encontrar el área en este libro de texto, las fórmulas se encontraron utilizando las técnicas de cálculo integral.

Hay muchas distribuciones continuas de probabilidad. Cuando se utiliza una distribución de probabilidad continua para modelar la probabilidad, la distribución utilizada se selecciona para modelar y ajustar la situación particular de la mejor manera.

En este capítulo y en el siguiente, estudiaremos la distribución uniforme, la distribución exponencial y la distribución normal. Las siguientes gráficas ilustran estas distribuciones.

Esta gráfica muestra una distribución uniforme. El eje horizontal oscila entre 0 y 10. La distribución es modelada por un rectángulo que se extiende de x = 2 a x = 8.8. Una región de x = 3 a x = 6 está sombreada dentro del rectángulo. El área sombreada representa P (3 x < 6). — Figura\(\PageIndex{2}\) La gráfica muestra una Distribución Uniforme con el área entre\(x = 3\) y\(x = 6\) sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria\(X\) esté en el intervalo entre tres y seis.

Figura\(\PageIndex{3}\) La gráfica muestra una Distribución Exponencial con el área entre\(x = 2\) y\(x = 4\) sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria\(X\) esté en el intervalo entre dos y cuatro.

Esta gráfica muestra una distribución exponencial. La gráfica se inclinó hacia abajo. Comienza en un punto en el eje y y se acerca al eje x en el borde derecho de la gráfica. La región bajo la gráfica de x = 2 a x = 4 está sombreada para representar P (2 < x < 4). — Figura\(\PageIndex{4}\) La gráfica muestra la Distribución Normal Estándar con el área entre\(x = 1\) y\(x = 2\) sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria\(X\) esté en el intervalo entre uno y dos.

Para distribuciones continuas de probabilidad, PROBABILIDAD = ÁREA.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considera la función\(f(x) = \frac{1}{20}\) para\(0 ≤ x ≤ 20. x =\) un número real. La gráfica de\(f(x) = \frac{1}{20}\) es una línea horizontal. Sin embargo, ya que\(0 ≤ x≤ 20, f(x)\) se restringe a la porción entre\(x = 0\) y\(x = 20\), inclusive.

Esto muestra la gráfica de la función f (x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) creando un rectángulo. — Figura\(\PageIndex{5}\)

\(f(x) = \frac{1}{20}\)para\(0 ≤ x ≤ 20\).

La gráfica de\(f(x) =\frac{1}{20}\) es un segmento de línea horizontal cuando\(0 ≤ x ≤ 20\).

El área entre\(f(x) = \frac{1}{20}\) donde\(0 ≤ x ≤ 20\) y el eje x es el área de un rectángulo con base\(= 20\) y altura\(= \frac{1}{20}\).

\[\operatorname{AREA}=20\left(\frac{1}{20}\right)=1\nonumber\]

Supongamos que queremos encontrar el área entre\(bf{f(x)) = \frac{1}{20}}\) y el eje x donde\(\bf{0 < x < 2}\).

\[\operatorname{AREA}=(2-0)\left(\frac{1}{20}\right)=0.1\nonumber\]

\[(2-0)=2= \text{base of rectangle}\nonumber\]

Recordatorio

área de un rectángulo = (base) (altura).

El área corresponde a una probabilidad. La probabilidad de que\(x\) esté entre cero y dos es\(0.1\), que se puede escribir matemáticamente como\(P(0 < x < 2) = P(x < 2) = 0.1\).

Supongamos que queremos encontrar el área entre\(\bf{f(x) = \frac{1}{20}}\) y el eje x donde\(\bf{ 4 < x < 15 }\).

\(\operatorname{AREA}=(15-4)\left(\frac{1}{20}\right)=0.55\)

\((15 – 4) = 11 = \text{the base of a rectangle}\)

El área corresponde a la probabilidad\(P (4 < x < 15) = 0.55\).

Supongamos que queremos encontrar\(P(x = 15)\). En una gráfica x-y,\(x = 15\) se encuentra una línea vertical. Una línea vertical no tiene ancho (o ancho cero). Por lo tanto,\(P(x = 15) =\) (base) (altura)\(= (0)\left(\frac{1}{20}\right) = 0\)

\(P(X ≤ x)\), que también se puede escribir como\(P(X < x)\) para distribuciones continuas, se denomina función de distribución acumulativa o CDF. Observe el símbolo “menor o igual a”. También podemos usar el CDF para calcular\(P (X > x)\). El CDF da “área a la izquierda” y\(P(X > x)\) da “área a la derecha”. Calculamos\(P(X > x)\) para distribuciones continuas de la siguiente manera:\(P(X > x) = 1 – P (X < x)\).

Etiquete la gráfica con\(f(x)\) y\(x\). Escala los\(y\) ejes\(x\) y con el máximo\(x\) y\(y\) los valores. \(f(x) = \frac{1}{20} , 0 ≤ x ≤ 20\).

Para calcular la probabilidad que\(x\) se encuentra entre dos valores, mira la siguiente gráfica. Sombra la región entre\(x = 2.3\) y\(x = 12.7\). Después calcula el área sombreada de un rectángulo.

\(P(2.3<x<12.7)=(\text { base })(\text { height })=(12.7-2.3)\left(\frac{1}{20}\right)=0.52\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Considera la función\(f(x) = \frac{1}{8}\) para\(0 \leq x \leq 8\). Dibuja la gráfica de\(f(x))\) y encuentra\(P(2.5 < x < 7.5)\).