10.3: Prueba de diferencias en medias- Suponiendo varianzas de población iguales

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Por lo general, nunca podemos esperar conocer ninguno de los parámetros poblacionales, la media, la proporción o la desviación estándar. Al probar hipótesis sobre diferencias en medias nos enfrentamos a la dificultad de dos varianzas desconocidas que juegan un papel crítico en el estadístico de prueba. Hemos estado sustituyendo las varianzas de la muestra tal como lo hicimos al probar hipótesis por una sola media. Y como hicimos antes, utilizamos una t de Student para compensar esta falta de información sobre la varianza poblacional. Puede haber situaciones, sin embargo, en las que desconocemos las varianzas poblacionales, pero podemos suponer que las dos poblaciones tienen la misma varianza. Si esto es cierto entonces la varianza de la muestra agrupada será menor que las varianzas individuales de la muestra. Esto dará estimaciones más precisas y reducirá la probabilidad de descartar un buen nulo. Las hipótesis nulas y alternativas siguen siendo las mismas, pero el estadístico de prueba cambia a:

\[t_{c}=\frac{\left(\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}\right)-\delta_{0}}{\sqrt{S^{2} p\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}\right)}}\nonumber\]

donde\(S_{p}^{2}\) es la varianza agrupada dada por la fórmula:

\[S_{p}^{2}=\frac{\left(n_{1}-1\right) s_{2}^{1}+\left(n_{2}-1\right) s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}\nonumber\]

El estadístico de prueba está claramente en la cola, 2.31 es mayor que el valor crítico de 1.703, y por lo tanto no podemos mantener la hipótesis nula. Así, concluimos que existe evidencia significativa al nivel de confianza del 95% de que el nuevo medicamento produce el efecto deseado.