1.13: Logaritmos
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Objetivos de aprendizaje
- Compute los registros usando diferentes bases
- Realizar operaciones aritméticas básicas usando registros
- Indicar la relación entre los registros y el cambio proporcional
La transformación logarítmica reduce el sesgo positivo. Esto puede ser valioso tanto para hacer que los datos sean más interpretables como para ayudar a cumplir con los supuestos de las estadísticas inferenciales.
Conceptos básicos de logaritmos (Logaritmos)
Los registros son, en cierto sentido, lo contrario de los exponentes. Considera la siguiente expresión simple:
\[10^2 = 100\]
Aquí podemos decir que la base de\(10\) se eleva a la segunda potencia. Aquí hay un ejemplo de un registro:
\[\log_{10}(100) = 2\]
Esto se puede leer como: La base logarítmica diez de\(100\) iguales\(2\). El resultado es el poder al que se\(10\) tiene que elevar la base para igualar el valor (\(100\)). Del mismo modo,
\[\log_{10}(1000) = 3\]
ya que\(10\) tiene que elevarse al tercer poder para igualar\(1,000\).
Todos estos ejemplos usaban base\(10\), pero se podría haber utilizado cualquier base. Hay una base que da como resultado “logaritmos naturales” y que se llama\(e\) e iguala aproximadamente\(2.718\). Aquí está más allá del alcance explicar lo que es “natural” al respecto. Los logaritmos naturales pueden indicarse ya sea como:\(\ln (x)\; or\; \log_e(x)\).
Al cambiar la base del registro se cambia el resultado por una constante multiplicativa. Para convertir de\(\log _{10}\) a troncos naturales, se multiplica por\(2.303\). Análogamente, para convertir en la otra dirección, se divide por\(2.303\).
\[ \ln X =2.303 \log_{10} X \]
Tomando el\(\text{antilog}\) de un número deshace la operación de tomar el\(\log\). Por lo tanto\(\log_{10}(1000) = 3\), ya que, el\(antilog_{10}\) de\(3\) es\(10^3 = 1,000\). Tomando el\(\text{antilog}\) de un número simplemente eleva la base del logaritmo en cuestión a ese número.
Registros y Cambio Proporcional
Una serie de números que aumentan proporcionalmente aumentarán en cantidades iguales cuando se conviertan en logs. Por ejemplo, los números en la primera columna de Tabla\(\PageIndex{1}\)
aumentan en un factor de\(1.5\) para que cada fila sea\(1.5\) veces tan alta como la fila anterior. Los números\(\log_{10}\) transformados aumentan en pasos iguales de\(0.176\).
| Crudo | Log |
|---|---|
| 4.0 | 0.602 |
| 6.0 | 0.778 |
| 9.0 | 0.954 |
| 13.5 | 1.130 |
Como otro ejemplo, si un estudiante incrementó su puntaje de\(100\) a\(200\) mientras que un segundo estudiante aumentó el suyo de\(150\) a\(300\), el cambio porcentual (\(100\%\)) es el mismo para ambos estudiantes. La diferencia logarítmica también es la misma, como se muestra a continuación.
\[Log_{10}(100) = 2.000\\ \log_{10}(200) = 2.301\\ Difference: 0.301\\ \; \\ \log_{10}(150) = 2.176\\ \log_{10}(300) = 2.477\\ Difference: 0.301\]
Operaciones Aritméticas
A continuación se muestran las reglas para los registros de productos y cocientes.
\[\log(AB) = \log(A) + \log(B)\]
\[\log\left(\dfrac{A}{B}\right) = \log(A) - \log(B)\]
Por ejemplo,
\[\log_{10}(10 \times 100) = \log_{10}(10) + \log_{10}(100) = 1 + 2 = 3.\]
Del mismo modo,
\[\log_{10}\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log_{10}(100) - \log_{10}(10) = 2 - 1 = 1.\]