8.4: Una proporción de población

Durante un año electoral, vemos artículos en el diario que establecen intervalos de confianza en términos de proporciones o porcentajes. Por ejemplo, una encuesta para un candidato en particular que se postula a presidente podría mostrar que el candidato tiene el 40% del voto dentro de tres puntos porcentuales (si la muestra es lo suficientemente grande). A menudo, las encuestas electorales se calculan con 95% de confianza, por lo que, los encuestadores estarían 95% seguros de que la verdadera proporción de votantes que favorecieron al candidato estaría entre 0.37 y 0.43: (0.40 — 0.03,0.40 + 0.03).

Los inversionistas en el mercado de valores están interesados en la verdadera proporción de acciones que suben y bajan cada semana. Los negocios que venden computadoras personales están interesados en la proporción de hogares en Estados Unidos que poseen computadoras personales. Los intervalos de confianza se pueden calcular para la verdadera proporción de existencias que suben o bajan cada semana y para la verdadera proporción de hogares en Estados Unidos que poseen computadoras personales.

El procedimiento para encontrar el intervalo de confianza, el tamaño de la muestra, el límite de error y el nivel de confianza para una proporción es similar al de la media poblacional, pero las fórmulas son diferentes. ¿Cómo sabes que estás lidiando con un problema de proporción? En primer lugar, la distribución subyacente es una distribución binomial. (No se menciona una media o promedio.) Si\(X\) es una variable aleatoria binomial, entonces

\[X \sim B(n, p)\nonumber \]

donde\(n\) es el número de ensayos y\(p\) es la probabilidad de éxito.

Para formar una proporción, tomar\(X\), la variable aleatoria para el número de éxitos y dividirla por\(n\), el número de ensayos (o el tamaño de la muestra). La variable aleatoria\(P′ \) (léase “P primo”) es esa proporción,

\[P' = \dfrac{X}{n}\nonumber \]

(A veces la variable aleatoria se denota como\(\hat{P}\), leer “P hat”.)

Cuando\(n\) es grande y no\(p\) está cerca de cero o uno, podemos usar la distribución normal para aproximar el binomio.

\[X \sim N(np, \sqrt{npq})\nonumber \]

Si dividimos la variable aleatoria, la media y la desviación estándar por\(n\), obtenemos una distribución normal de proporciones con\(P′ \), llamada proporción estimada, como la variable aleatoria. (Recordemos que una proporción como el número de éxitos dividido por\(n\).)

\[\dfrac{X}{n} = P' - N\left(\dfrac{np}{n}, \dfrac{\sqrt{npq}}{n}\right)\nonumber \]

Usando álgebra para simplificar:

\[\dfrac{\sqrt{npq}}{n} = \sqrt{\dfrac{pq}{n}}\nonumber \]

P′ sigue una distribución normal para las proporciones:

\[\dfrac{X}{n} = P' - N\left(\dfrac{np}{n}, \dfrac{\sqrt{npq}}{n}\right)\nonumber \]

El intervalo de confianza tiene la forma

\[(p′ – EBP, p′ + EBP).\nonumber \]

donde

• \(EBP\)está enlazado por error para la proporción.
• \(p′ = \dfrac{x}{n}\)
• \(p′ =\)la proporción estimada de éxitos (p′ es una estimación puntual para p, la proporción verdadera.)
• \(x =\)el número de éxitos
• \(n =\)el tamaño de la muestra

El límite de error (EBP) para una proporción es

\[EBP = \left(z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\left(\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}}\right)\nonumber \]

donde\(q\ = 1 - p'\).

Esta fórmula es similar a la fórmula límite de error para una media, excepto que la “desviación estándar apropiada” es diferente. Para una media, cuando se conoce la desviación estándar de la población, la desviación estándar apropiada que utilizamos es\(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Para una proporción, la desviación estándar apropiada es

\[\sqrt{\dfrac{pq}{n}}.\nonumber \]

Sin embargo, en la fórmula con límite de error, usamos

\[\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}}\nonumber \]

como la desviación estándar, en lugar de

\[\sqrt{\dfrac{pq}{n}}.\nonumber \]

En la fórmula con límite de error, las proporciones muestrales p′ y q′ son estimaciones de las proporciones poblacionales desconocidas p y q. Las proporciones estimadas\(p′\) y se\(q′\) utilizan porque\(p\) y no\(q\) se conocen. Las proporciones muestrales\(p′\) y\(q′\) se calculan a partir de los datos:\(p′\) es la proporción estimada de éxitos, y\(q′\) es la proporción estimada de fracasos.

El intervalo de confianza sólo se puede utilizar si el número de éxitos\(np′\) y el número de fracasos\(nq′\) son ambos mayores de cinco.

Distribución Normal de Proporciones

Para la distribución normal de proporciones, la fórmula\(z\) -score es la siguiente.

Si

\[P' - N\left(p, \sqrt{\dfrac{pq}{n}}\right)\]

entonces la fórmula\(z\) -score es

\[z = \dfrac{p'-p}{\sqrt{\dfrac{pq}{n}}} \]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que se contrata a una firma de investigación de mercado para estimar el porcentaje de adultos que viven en una gran ciudad que tienen teléfonos celulares. Quinientos adultos residentes seleccionados al azar en esta ciudad son encuestados para determinar si tienen teléfonos celulares. De las 500 personas encuestadas, 421 respondieron que sí -son dueños de celulares. Utilizando un nivel de confianza del 95%, computa una estimación del intervalo de confianza para la verdadera proporción de adultos residentes de esta ciudad que tienen teléfonos celulares.

Solución A

• La primera solución es paso a paso (Solución A).
• La segunda solución utiliza una función de las calculadoras TI-83, 83+ u 84 (Solución B).

Deje que\(X =\) el número de personas en la muestra que tengan celulares. \(X\)es binomial.

\[X \sim B(500,\dfrac{421}{500}).\nonumber \]

Para calcular el intervalo de confianza, debe encontrar\(p′\),\(q′\), y\(EBP\).

• \(n = 500\)
• \(x =\)el número de éxitos\(= 421\)

\[p′ = \dfrac{x}{n} = \dfrac{421}{500} = 0.842\nonumber \]

• \(p′ = 0.842\)es la proporción muestral; esta es la estimación puntual de la proporción poblacional.

\[q′ = 1 – p′ = 1 – 0.842 = 0.158\nonumber \]

Desde\(CL = 0.95\) entonces

\[\alpha = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = 0.025.\nonumber \]

Entonces

\[z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.025 = 1.96}\nonumber \]

Utilice el comando de calculadora TI-83, 83+ u 84+ InvNorm (0.975,0,1) para encontrar\(z_{0.025}\). Recuerda que el área a la derecha de\(z_{0.025}\) es\(0.025\) y el área a la izquierda de\(z_{0.025}\) es\(0.975\). Esto también se puede encontrar usando comandos apropiados en otras calculadoras, usando una computadora o usando una tabla de probabilidad Normal Estándar.

\[EBP = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}} = (1.96)\sqrt{\dfrac{(0.842)(0.158)}{500}} = 0.032\nonumber \]

\[p' – EBP = 0.842 – 0.032 = 0.81\nonumber \]

\[p′ + EBP = 0.842 + 0.032 = 0.874\nonumber \]

El intervalo de confianza para la verdadera proporción binomial de la población es\((p′ – EBP, p′ +EBP) = (0.810, 0.874)\).

Interpretación

Estimamos con 95% de confianza que entre 81% y 87.4% de todos los adultos residentes de esta ciudad cuentan con celulares.

Explicación del nivel de confianza del 95%

El noventa y cinco por ciento de los intervalos de confianza construidos de esta manera contendría el verdadero valor para la proporción poblacional de todos los adultos residentes de esta ciudad que tienen teléfonos celulares.

Solución B

Presiona STAT y flecha hacia PRUEBAS.

Flecha hacia abajo a A:1-propzint. Presione ENTER.
Flecha hacia abajo hasta xx e ingresa 421.
Flecha hacia abajo a nn e ingresa 500.
Flecha hacia abajo hasta el Nivel C e ingresa .95.
Flecha hacia abajo para Calcular y presiona ENTRAR.
El intervalo de confianza es (0.81003, 0.87397).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que 250 personas seleccionadas al azar son encuestadas para determinar si poseen una tableta. De los 250 encuestados, 98 reportaron poseer una tableta. Usando un nivel de confianza del 95%, computa una estimación del intervalo de confianza para la verdadera proporción de personas que poseen tabletas.

Contestar

(0.3315, 0.4525)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Para un proyecto de clase, un estudiante de ciencias políticas en una universidad grande quiere estimar el porcentaje de estudiantes que son votantes registrados. Encuesta a 500 estudiantes y encuentra que 300 son votantes registrados. Calcular un intervalo de confianza del 90% para el porcentaje real de estudiantes que son votantes registrados, e interpretar el intervalo de confianza.

Contestar

• La primera solución es paso a paso (Solución A).
• La segunda solución utiliza una función de las calculadoras TI-83, 83+ u 84 (Solución B).

Solución A

• \(x = 300\)y
• \(n = 500\)

\[p' = \dfrac{x}{n} = \dfrac{300}{500} = 0.600\nonumber \]

\[q′ = 1 − p′ = 1 − 0.600 = 0.400\nonumber \]

Desde\(CL = 0.90\) entonces

\[\alpha = 1 – CL = 1 – 0.90 = 0.10\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = 0.05\]

\[z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.05} = 1.645\nonumber \]

Utilice el comando de calculadora TI-83, 83+ u 84+ InvNorm (0.95,0,1) para encontrar\(z_{0.05}\). Recuerde que el área a la derecha de\(z_{0.05}\) es 0.05 y el área a la izquierda de\(z_{0.05}\) es 0.95. Esto también se puede encontrar usando comandos apropiados en otras calculadoras, usando una computadora o usando una tabla de probabilidad normal estándar.

\[EBP = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}} = (1.645)\sqrt{\dfrac{(0.60)(0.40)}{500}} = 0.036\nonumber \]

\[p′ – EBP = 0.60 − 0.036 = 0.564\nonumber \]

\[p′ + EBP = 0.60 + 0.036 = 0.636\nonumber \]

El intervalo de confianza para la verdadera proporción binomial de la población es\((p′ – EBP, p′ +EBP) = (0.564,0.636)\).

Interpretación

• Estimamos con 90% de confianza que el verdadero porcentaje de todos los estudiantes que son votantes registrados está entre 56.4% y 63.6%.
• Redacción Alterna: Estimamos con 90% de confianza que entre 56.4% y 63.6% de TODOS los estudiantes son votantes registrados.

Explicación del nivel de confianza del 90%

El noventa por ciento de todos los intervalos de confianza construidos de esta manera contienen el verdadero valor para la población por ciento de estudiantes que son votantes registrados.

Solución B

Presiona STAT y flecha hacia PRUEBAS.

Flecha hacia abajo a A:1-propzint. Presione ENTER.
Flecha hacia abajo hasta xx e ingresa 300.
Flecha hacia abajo a nn e ingresa 500.
Flecha hacia abajo hasta el Nivel C e ingresa 0.90.
Flecha hacia abajo para Calcular y presiona ENTRAR.

El intervalo de confianza es (0.564, 0.636).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Un alumno sondea a su escuela para ver si los alumnos del distrito escolar están a favor o en contra de la nueva legislación en materia de uniformes escolares. Encuesta a 600 estudiantes y encuentra que 480 están en contra de la nueva legislación.

1. Calcular un intervalo de confianza del 90% para el verdadero porcentaje de estudiantes que están en contra de la nueva legislación, e interpretar el intervalo de confianza.
2. En una muestra de 300 alumnos, 68% dijo poseer un iPod y un teléfono inteligente. Calcule un intervalo de confianza del 97% para el verdadero porcentaje de estudiantes que poseen un iPod y un teléfono inteligente.

Contestar a

(0.7731, 0.8269); Estimamos con 90% de confianza que el verdadero porcentaje de todos los estudiantes del distrito que están en contra de la nueva legislación está entre 77.31% y 82.69%.

Respuesta b

El sesenta y ocho por ciento (68%) de los estudiantes poseen un iPod y un teléfono inteligente.

\[p′ = 0.68\nonumber \]

\[q′ = 1–p′ = 1 – 0.68 = 0.32\nonumber \]

Ya que\(CL = 0.97\), sabemos

\[\alpha = 1 – 0.97 = 0.03\nonumber \]

y

\[\dfrac{\alpha}{2} = 0.015.\nonumber \]

El área a la izquierda de\(z_{0.05}\) es 0.015, y el área a la derecha de\(z_{0.05}\) es 1 — 0.015 = 0.985.

Usando la función de calculadora TI 83, 83+ u 84+ InvNorm (0.985,0,1),

\[z_{0.05} = 2.17\nonumber \]

\[EPB = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}} = 2.17\sqrt{\dfrac{0.68(0.32)}{300}} \approx 0.0269\nonumber \]

\[p′ – EPB = 0.68 – 0.0269 = 0.6531\nonumber \]

\[p′ + EPB = 0.68 + 0.0269 = 0.7069\nonumber \]

Estamos 97% seguros de que la verdadera proporción de todos los estudiantes que poseen un iPod y un teléfono inteligente está entre 0.6531 y 0.7069.

Calculadora

Presiona STAT y flecha hacia PRUEBAS.

Flecha hacia abajo a A:1-propzint. Presione ENTER.
Flecha hacia abajo a x e ingresa 300*0.68.
Flecha hacia abajo a n e ingresa 300.
Flecha hacia abajo hasta el Nivel C e ingresa 0.97.
Flecha hacia abajo para Calcular y presiona ENTRAR.

El intervalo de confianza es (0.6531, 0.7069).

Intervalo de confianza “más cuatro” para\(p\)

Hay una cierta cantidad de error introducida en el proceso de cálculo de un intervalo de confianza para una proporción. Debido a que no conocemos la verdadera proporción para la población, nos vemos obligados a utilizar estimaciones puntuales para calcular la desviación estándar apropiada de la distribución muestral. Los estudios han demostrado que la estimación resultante de la desviación estándar puede ser defectuosa.

Afortunadamente, hay un ajuste simple que nos permite producir intervalos de confianza más precisos. Simplemente pretendemos que tenemos cuatro observaciones adicionales. Dos de estas observaciones son éxitos y dos son fracasos. El nuevo tamaño muestral, entonces, es\(n + 4\), y el nuevo recuento de éxitos lo es\(x + 2\). Los estudios de computación han demostrado la efectividad de este método. Se debe usar cuando el nivel de confianza deseado sea de al menos 90% y el tamaño de la muestra sea de al menos diez.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Se le preguntó a una muestra aleatoria de 25 estudiantes de estadística: “¿Has fumado un cigarrillo la semana pasada?” Seis estudiantes reportaron haber fumado dentro de la semana pasada. Utilice el método “más cuatro” para encontrar un intervalo de confianza del 95% para la verdadera proporción de estudiantes de estadística que fuman.

Solución A

Seis estudiantes de cada 25 informaron haber fumado dentro de la semana pasada, así\(x = 6\) y\(n = 25\). Debido a que estamos usando el método “más cuatro”, vamos a utilizar\(x = 6 + 2 = 8\) y\(n = 25 + 4 = 29\).

\[p' = \dfrac{x}{n} = \dfrac{8}{29} \approx 0.276\nonumber \]

\[q′ = 1 – p′ = 1 – 0.276 = 0.724\nonumber \]

Ya que\(CL = 0.95\), sabemos\(\alpha = 1 – 0.95 = 0.05\) y\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.025\).

\[z_{0.025} = 1.96\nonumber \]

\(EPB = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}} = (1.96)\sqrt{\dfrac{0.276(0.724)}{29}} \approx 0.163\)

\[p′ – EPB = 0.276 – 0.163 = 0.113\nonumber \]

\[p′ + EPB = 0.276 + 0.163 = 0.439\nonumber \]

Estamos 95% seguros de que la verdadera proporción de todos los estudiantes de estadística que fuman cigarrillos está entre 0.113 y 0.439.

Solución B

Presiona STAT y flecha hacia PRUEBAS.

Flecha hacia abajo a A:1-propzint. Presione ENTER.

RECORDATORIO

Recuerde que el método más cuatro asumen cuatro ensayos adicionales: dos éxitos y dos fracasos. No es necesario cambiar el proceso para calcular el intervalo de confianza; simplemente actualice los valores de x y n para reflejar estos ensayos adicionales.

Flecha hacia abajo\(x\) y entra ocho.

Flecha hacia abajo\(n\) y entra 29.
Flecha hacia abajo hasta el Nivel C e ingresa 0.95.
Flecha hacia abajo para Calcular y presiona ENTRAR.

El intervalo de confianza es (0.113, 0.439).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

De una muestra aleatoria de 65 estudiantes de primer año de la Universidad Estatal, 31 estudiantes han declarado una especialidad. Utilice el método “más cuatro” para encontrar un intervalo de confianza del 96% para la verdadera proporción de estudiantes de primer año de la Universidad Estatal que han declarado una especialización.

Solución A

Usando “más cuatro”, tenemos\(x = 31 + 2 = 33\) y\(n = 65 + 4 = 69\).

\[p′ = 3369 \approx 0.478\nonumber \]

\[q′ = 1 – p′ = 1 – 0.478 = 0.522\nonumber \]

Ya que\(CL = 0.96\), sabemos\(\alpha = 1 – 0.96 = 0.04\) y\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.02\).

\[z_{0.02} = 2.054\nonumber \]

\[EPB = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}} = (2.054)\left(\sqrt{\dfrac{(0.478)(0.522)}{69}}\right) - 0.124\nonumber \]

\[p′ – EPB = 0.478 – 0.124 = 0.354\nonumber \]

\[p′ + EPB = 0.478 + 0.124 = 0.602\nonumber \]

Estamos 96% seguros de que entre 35.4% y 60.2% de todos los estudiantes de primer año en el estado U han declarado una importante.

Solución B

Presiona STAT y flecha hacia PRUEBAS.

Flecha hacia abajo a A:1-propzint. Presione ENTER.
Flecha hacia abajo\(x\) y entra 33.
Flecha hacia abajo\(n\) y entra 69.
Flecha hacia abajo hasta el Nivel C e ingresa 0.96.
Flecha hacia abajo para Calcular y presiona ENTRAR.

El intervalo de confianza es (0.355, 0.602).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

El Berkman Center for Internet & Society de Harvard realizó recientemente un estudio que analiza los hábitos de gestión de la privacidad de los usuarios adolescentes de Internet. En un grupo de 50 adolescentes, 13 reportaron tener más de 500 amigos en Facebook. Usa el método “más cuatro” para encontrar un intervalo de confianza del 90% para la verdadera proporción de adolescentes que reportarían tener más de 500 amigos de Facebook.

Solución A

Usando “más cuatro”, tenemos\(x = 13 + 2 = 15\) y\(n = 50 + 4 = 54\).

\[p′ = 1554 \approx 0.278\nonumber \]

\[q′ = 1 – p′ = 1 − 0.241 = 0.722\nonumber \]

Ya que\(CL = 0.90\), sabemos\(\alpha = 1 – 0.90 = 0.10\) y\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.05\).

\[z_{0.05} = 1.645\nonumber \]

\[EPB = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}}\right) = (1.645)\left(\sqrt{\dfrac{(0.278)(0.722)}{54}}\right) \approx 0.100\nonumber \]

\[p′ – EPB = 0.278 – 0.100 = 0.178\nonumber \]

\[p′ + EPB = 0.278 + 0.100 = 0.378\nonumber \]

Estamos 90% seguros de que entre 17.8% y 37.8% de todos los adolescentes reportarían tener más de 500 amigos en Facebook.

Solución B

Presiona STAT y flecha hacia PRUEBAS.

Flecha hacia abajo a A:1-propzint. Presione ENTER.
Flecha hacia abajo\(x\) y entra 15.
Flecha hacia abajo\(n\) y entra 54.
Flecha hacia abajo hasta el Nivel C e ingresa 0.90.
Flecha hacia abajo para Calcular y presiona ENTRAR.

El intervalo de confianza es (0.178, 0.378).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

El Estudio del Centro Berkman al que se hace referencia en Ejemplo habló con adolescentes en grupos focales más pequeños, pero también entrevistó a adolescentes adicionales por teléfono. Cuando se completó el estudio, 588 adolescentes habían respondido a la pregunta sobre sus amigos de Facebook con 159 diciendo que tienen más de 500 amigos. Usa el método “más cuatro” para encontrar un intervalo de confianza del 90% para la verdadera proporción de adolescentes que reportarían tener más de 500 amigos de Facebook basados en esta muestra más grande. Compara los resultados con los de Ejemplo.

Contestar

Solución A

Usando “más cuatro”, tenemos\(x = 159 + 2 = 161\) y\(n = 588 + 4 = 592\).

\[p′ = 161592 \approx 0.272\nonumber \]

\[q′ = 1 – p′ = 1 – 0.272 = 0.728\nonumber \]

Desde CL = 0.90, sabemos\(\alpha = 1 – 0.90 = 0.10\) y\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.05\)

\[EPB = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}}\right) = (1.645)\left(\sqrt{\dfrac{(0.272)(0.728)}{592}}\right) \approx 0.030\nonumber \]

\[p′ – EPB = 0.272 – 0.030 = 0.242\nonumber \]

\[p′ + EPB = 0.272 + 0.030 = 0.302\nonumber \]

Estamos 90% seguros de que entre 24.2% y 30.2% de todos los adolescentes reportarían tener más de 500 amigos en Facebook.

Solución B

• Presiona STAT y flecha hacia PRUEBAS.
• Flecha hacia abajo a A:1-propzint. Presione ENTER.
• Flecha hacia abajo\(x\) y entra 161.
• Flecha hacia abajo\(n\) y entra 592.
• Flecha hacia abajo hasta el Nivel C e ingresa 0.90.
• Flecha hacia abajo para Calcular y presiona ENTRAR.
• El intervalo de confianza es (0.242, 0.302).

Conclusión: El intervalo de confianza para la muestra más grande es más estrecho que el intervalo del Ejemplo. Las muestras más grandes siempre darán intervalos de confianza más precisos que las muestras más pequeñas. El método “más cuatro” tiene un mayor impacto en la muestra más pequeña. Se desplaza la estimación puntual de 0.26 (13/50) a 0.278 (15/54). Tiene un menor impacto en el EPB, cambiándolo de 0.102 a 0.100. En la muestra más grande, la estimación puntual experimenta un desplazamiento menor: de 0.270 (159/588) a 0.272 (161/592). Es fácil ver que el método más cuatro tiene el mayor impacto en muestras más pequeñas.

Cálculo del tamaño de la muestra\(n\)

Si los investigadores desean un margen de error específico, entonces pueden usar la fórmula límite de error para calcular el tamaño de muestra requerido. La fórmula de límite de error para una proporción de población es

\[EBP = \left(z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\left(\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}}\right)\nonumber \]

Resolver for te\(n\) da una ecuación para el tamaño de la muestra.

\[n = \dfrac{\left(z_{\frac{\alpha}{2}}\right)^{2}(p'q')}{EBP^{2}}\nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Supongamos que una compañía de telefonía móvil quiere determinar el porcentaje actual de clientes mayores de 50 años que utilizan mensajes de texto en sus celulares. A cuántos clientes mayores de 50 años debería hacer una encuesta la empresa para estar 90% seguros de que la proporción estimada (muestra) está dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción poblacional de clientes mayores de 50 años que usan mensajes de texto en sus teléfonos celulares.

Contestar

Por el problema, lo sabemos\(\bf{EBP = 0.03}\) (3% =0.03) y\(z_{\dfrac{\alpha}{2}} z_{0.05} = 1.645\) porque el nivel de confianza es del 90%.

Sin embargo, para poder encontrar\(n\), necesitamos conocer la proporción estimada (muestral)\(p′\). Recuerda eso\(q′ = 1 – p′\). Pero,\(p′\) aún no lo sabemos. Ya que multiplicamos\(p′\) y\(q′\) juntos, los hacemos iguales a 0.5 porque\(p′q′ = (0.5)(0.5) = 0.25\) resulta en el producto más grande posible. (Pruebe otros productos:\((0.6)(0.4) = 0.24\);\((0.3)(0.7) = 0.21\);\((0.2)(0.8) = 0.16\) y así sucesivamente). El producto más grande posible nos da el más grande\(n\). Esto nos da una muestra lo suficientemente grande para que podamos estar 90% seguros de que estamos dentro de tres puntos porcentuales de la verdadera proporción poblacional. Para calcular el tamaño de la muestra\(n\), usa la fórmula y haz las sustituciones.

\[n = \dfrac{z^{2}p'q'}{EBP^{2}}\nonumber \]

da

\[n = \dfrac{1.645^{2}(0.5)(0.5)}{0.03^{2}} = 751.7\nonumber \]

Redondea la respuesta al siguiente valor superior. El tamaño de la muestra debe ser de 752 clientes de teléfonos celulares mayores de 50 años para estar 90% seguros de que la proporción estimada (muestra) está dentro de los tres puntos porcentuales de la proporción de población real de todos los clientes mayores de 50 años que usan mensajes de texto en sus teléfonos celulares.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Supongamos que una empresa de marketing en Internet quiere determinar el porcentaje actual de clientes que hacen clic en anuncios en sus teléfonos inteligentes. ¿A cuántos clientes debe encuestar la compañía para estar 90% seguros de que la proporción estimada se encuentra dentro de los cinco puntos porcentuales de la verdadera proporción poblacional de los clientes que hacen clic en los anuncios en sus teléfonos inteligentes?

Contestar

Se debe encuestar a 271 clientes. Consulta la sección de Bienes Raíces en tu local

Glosario

Distribución binomial

una variable aleatoria discreta (RV) que surge de los ensayos de Bernoulli; hay un número fijo,\(n\), de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo 1) no afecta los resultados de los siguientes ensayos, y todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, el RV binomial\(X\) se define como el número de éxitos en los\(n\) ensayos. La notación es:\(X \sim B(\mathbf{n},\mathbf{p})\). La media es\(\mu = np\) y la desviación estándar es\(\sigma = \sqrt{npq}\). La probabilidad de exactamente\(x\) éxitos en los\(n\) ensayos es\(P(X = x = \left(\binom{n}{x}\right))p^{x}q^{n-x}\).

Límite de error para una proporción de población (\(EBP\))

el margen de error; depende del nivel de confianza, el tamaño de la muestra y la proporción estimada (a partir de la muestra) de éxitos.