10.12: Cuotas y ratios de Odds

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El resultado en la última sección mostró que la probabilidad de que el individuo tenga cáncer basado en un resultado positivo de la prueba de PSA sigue siendo bastante baja, aunque es más del doble de lo que era antes de conocer el resultado de la prueba. A menudo nos gustaría cuantificar la relación entre probabilidades de manera más directa, lo que podemos hacer convirtiéndolas en probabilidades que expresen la probabilidad relativa de que algo suceda o no:
$\ text {probabilidades de A} =\ frac {P (A)} {P (\ neg A)}$

En nuestro ejemplo de PSA, las probabilidades de tener cáncer (dada la prueba positiva) son:

$\ text {probabilidades de cáncer} =\ frac {P (\ text {cáncer})} {P (\ neg\ texto {cáncer})} =\ frac {0.14} {1 - 0.14} = 0.16$

Esto nos dice que el que las probabilidades son bastante bajas de tener cáncer, a pesar de que la prueba fue positiva. A modo de comparación, las probabilidades de rodar un 6 en un solo lanzamiento de dados son:

$\ text {probabilidades de 6} =\ frac {1} {5} = 0.2$

Como un aparte, esta es una razón por la que muchos investigadores médicos se han vuelto cada vez más cautelosos con el uso de pruebas de detección generalizadas para afecciones relativamente poco comunes; la mayoría de los resultados positivos resultarán ser falsos positivos.

También podemos usar probabilidades para comparar diferentes probabilidades, calculando lo que se llama una razón de probabilidades, que es exactamente lo que parece. Por ejemplo, digamos que queremos saber cuánto aumenta la prueba positiva las probabilidades del individuo de tener cáncer. Primero podemos calcular las probabilidades anteriores, es decir, las probabilidades antes de saber que la persona había probado positivamente. Estos se calculan utilizando la tasa base:

$\ texto {probabilidades anteriores} =\ frac {P (\ texto {cáncer})} {P (\ neg\ texto {cáncer})} =\ frac {0.058} {1 - 0.058} = 0.061$

Luego podemos compararlos con las probabilidades posteriores, que se calculan usando la probabilidad posterior:

ratio ods$=\frac{\text { posterior odds }}{\text { prior odds }}=\frac{0.16}{0.061}=2.62$

Esto nos dice que las probabilidades de tener cáncer se incrementan 2.62 veces dado el resultado positivo de la prueba. Una razón de probabilidades es un ejemplo de lo que luego llamaremos un tamaño de efecto, que es una forma de cuantificar cuán relativamente grande es cualquier efecto estadístico en particular.