Casi hemos llegado al final de nuestra discusión sobre la probabilidad. Se nos introdujo el importante concepto de variables aleatorias, que son variables cuantitativas cuyo valor está determinado por el resultado de un experimento aleatorio.
Se discutieron variables aleatorias discretas y continuas.
Vimos que toda la información sobre una variable aleatoria discreta está empaquetada en su distribución de probabilidad. Usando eso, podemos responder preguntas de probabilidad sobre la variable aleatoria y encontrar su media y desviación estándar. Terminamos la parte en variables aleatorias discretas presentando una clase especial de variables aleatorias discretas — variables aleatorias binomiales.
A medida que nos sumergimos en variables aleatorias continuas, vimos cómo los cálculos pueden complicarse muy rápidamente, cuando las probabilidades asociadas a una variable aleatoria continua se encuentran calculando áreas bajo su curva de densidad.
Como ejemplo para una variable aleatoria continua, presentamos la variable aleatoria normal y la discutimos extensamente. La distribución normal es sumamente importante, no sólo porque muchas variables en la vida real siguen la distribución normal, sino principalmente por el importante papel que juega en la inferencia estadística, nuestro objetivo final de este curso.
Aprendimos cómo podemos evitar el cálculo usando la calculadora normal estándar o tabla para encontrar probabilidades asociadas a la distribución normal, y aprendimos cómo se puede usar como una aproximación a la distribución binomial bajo ciertas condiciones.
Variables aleatorias
Una variable aleatoria es una variable cuyos valores son resultados numéricos de un experimento aleatorio.
- Una variable aleatoria discreta se resume por su distribución de probabilidad, una lista de sus posibles valores y sus probabilidades correspondientes.
La suma de las probabilidades de todos los valores posibles debe ser 1.
La distribución de probabilidad puede ser representada por una tabla, histograma o, a veces, una fórmula.
- La distribución de probabilidad de una variable aleatoria se puede complementar con medidas numéricas del centro y propagación de la variable aleatoria.
Centro: El centro de una variable aleatoria se mide por su media (que a veces también se conoce como el valor esperado).
La media de una variable aleatoria puede interpretarse como su promedio a largo plazo.
La media es una media ponderada de los posibles valores de la variable aleatoria ponderada por sus probabilidades correspondientes.
Spread: La dispersión de una variable aleatoria se mide por su varianza, o más típicamente por su desviación estándar (la raíz cuadrada de la varianza).
La desviación estándar de una variable aleatoria puede interpretarse como la distancia típica (o promedio a largo plazo) entre el valor que asume la variable aleatoria y la media de X.
Variables aleatorias binomiales
- La variable aleatoria binomial es un tipo de variable aleatoria discreta que es bastante común.
- La variable aleatoria binomial se define en un experimento aleatorio que consiste en n ensayos independientes, cada uno con dos posibles resultados (llamados “éxito” y “fracaso”), y cada uno con la misma probabilidad de éxito: p. Tal experimento aleatorio se llama experimento aleatorio binomial.
- La variable aleatoria binomial representa el número de éxitos (de n) en un experimento binomial. Por lo tanto, puede tener valores tan bajos como 0 (si ninguno de los n ensayos fue un éxito) y tan altos como n (si todos los n ensayos fueron éxitos).
- Existen “muchas” variables aleatorias binomiales, dependiendo del número de ensayos (n) y la probabilidad de éxito (p).
- La distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial se da en forma de fórmula y se puede utilizar para encontrar probabilidades. También se puede utilizar la tecnología.
- La media y la desviación estándar de una variable aleatoria binomial se pueden encontrar fácilmente usando fórmulas de atajo.
Variables aleatorias continuas
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua está representada por una curva de densidad de probabilidad. La probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor en cualquier intervalo de interés es el área por encima de este intervalo y por debajo de la curva de densidad.
Un ejemplo importante de una variable aleatoria continua es la variable aleatoria normal, cuya curva de densidad de probabilidad es simétrica (en forma de campana), abultada en el medio y ahusada en los extremos.
- Hay “muchas” variables aleatorias normales, cada una determinada por su media μ (mu) (que determina dónde está centrada la curva de densidad) y la desviación estándar σ (sigma) (que determina qué tan extendida (ancha) es la curva de densidad normal).
- Cualquier variable aleatoria normal sigue la Regla de Desviación Estándar, que puede ayudarnos a encontrar probabilidades asociadas con la variable aleatoria normal.
- Otra forma de encontrar probabilidades asociadas con la variable aleatoria normal es usando la tabla normal estándar. Este proceso implica encontrar la puntuación z de los valores, lo que nos indica cuántas desviaciones estándar por debajo o por encima de la media es el valor.
- Una aplicación importante de la variable aleatoria normal es que puede ser utilizada como aproximación de la variable aleatoria binomial (bajo ciertas condiciones). Una corrección de continuidad puede mejorar esta aproximación.
