3.1: Terminología de probabilidad

La probabilidad es una medida que se asocia con cuán seguros estamos de los resultados de un experimento o actividad en particular. Un experimento es una operación planificada llevada a cabo bajo condiciones controladas. Si el resultado no está predeterminado, entonces se dice que el experimento es un experimento casual. Voltear una moneda justa dos veces es un ejemplo de un experimento.

Un resultado de un experimento se llama resultado. El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles. Tres formas de representar un espacio de muestra son: enumerar los posibles resultados, crear un diagrama de árbol o crear un diagrama de Venn. La letra mayúscula\(S\) se utiliza para denotar el espacio muestral. Por ejemplo, si volteas una moneda justa,\(S = \{H, T\}\) donde\(H =\) las cabezas y\(T =\) las colas son los resultados.

Un evento es cualquier combinación de resultados. A las letras mayúsculas les gusta\(A\) y\(B\) representan eventos. Por ejemplo, si el experimento es voltear una moneda justa, el evento\(A\) podría estar recibiendo como máximo una cabeza. Se escribe la probabilidad de\(A\) un evento\(P(A)\).

La probabilidad de cualquier resultado es la frecuencia relativa a largo plazo de ese resultado. Las probabilidades están entre cero y uno, inclusive (es decir, cero y uno y todos los números entre estos valores). \(P(A) = 0\)significa que el evento nunca\(A\) puede suceder. \(P(A) = 1\)significa que el evento\(A\) siempre ocurre. \(P(A) = 0.5\)significa que el evento\(A\) es igualmente probable que ocurra o no ocurra. Por ejemplo, si voltea una moneda justa repetidamente (de 20 a 2,000 a 20,000 veces) la frecuencia relativa de cabezas se acerca a 0.5 (la probabilidad de cabezas).

Igualmente probable significa que cada resultado de un experimento ocurre con igual probabilidad. Por ejemplo, si tiras un dado justo de seis lados, cada cara (1, 2, 3, 4, 5 o 6) es tan probable que ocurra como cualquier otra cara. Si arrojas una moneda justa, es igualmente probable que se produzcan una Cabeza (H) y una Cola (T). Si adivina aleatoriamente la respuesta a una pregunta verdadera/falsa en un examen, es igualmente probable que seleccione una respuesta correcta o una respuesta incorrecta.

Para calcular la probabilidad de un evento A cuando todos los resultados en el espacio muestral son igualmente probables, cuente el número de resultados para el evento A y divídalo por el número total de resultados en el espacio muestral. Por ejemplo, si arrojas un centavo justo y un níquel justo, el espacio de muestra es\(\{HH, TH, HT, TT\}\) donde\(T =\) las colas y las\(H =\) cabezas. El espacio muestral tiene cuatro resultados. A = conseguir una cabeza. Hay dos resultados que cumplen con esta condición\(\{HT, TH\}\), entonces\(P(A) = \frac{2}{4} = 0.5\).

Supongamos que tira un dado justo de seis lados, con los números\(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) en sus caras. Deje que el evento\(E =\) rodando un número que sea al menos cinco. Hay dos resultados\(\{5, 6\}\). \(P(E) = \frac{2}{6}\)Si fueras a rodar el dado solo unas cuantas veces, no te sorprendería que tus resultados observados no coincidieran con la probabilidad. Si fueras a rodar el dado un número muy grande de veces, esperarías que, en general,\(\frac{2}{6}\) de los rollos resultaría en un desenlace de “al menos cinco”. No se lo esperaría exactamente\(\frac{2}{6}\). La frecuencia relativa a largo plazo de obtención de este resultado se acercaría a la probabilidad teórica de que el número de repeticiones crece cada vez más.\(\frac{2}{6}\)

Esta característica importante de los experimentos probabilísticos se conoce como la ley de los grandes números que establece que a medida que aumenta el número de repeticiones de un experimento, la frecuencia relativa obtenida en el experimento tiende a acercarse cada vez más a la probabilidad teórica. Aunque los resultados no ocurren de acuerdo con ningún patrón u orden establecido, en general, la frecuencia relativa observada a largo plazo se acercará a la probabilidad teórica. (A menudo se usa la palabra empírica en lugar de la palabra observada).

Es importante darse cuenta de que en muchas situaciones, los resultados no son igualmente probables. Una moneda o un dado pueden ser injustos, o sesgados. Dos profesores de matemáticas en Europa hicieron que sus estudiantes de estadística prueben la moneda belga de un euro y descubrieron que en 250 ensayos, se obtuvo una cabeza 56% del tiempo y se obtuvo una cola 44% de las veces. Los datos parecen mostrar que la moneda no es una moneda justa; más repeticiones serían útiles para sacar una conclusión más precisa sobre tal sesgo. Algunos dados pueden estar sesgados. Mira los dados en un juego que tienes en casa; las manchas en cada cara suelen ser pequeños agujeros tallados y luego pintados para hacer visibles las manchas. Tus dados pueden estar sesgados o no; es posible que los resultados se vean afectados por las ligeras diferencias de peso debido a los diferentes números de agujeros en las caras. Los casinos de juego ganan mucho dinero dependiendo de los resultados de lanzar dados, por lo que los dados de casino se hacen de manera diferente para eliminar el sesgo. Los dados de casino tienen caras planas; los agujeros están completamente llenos de pintura que tiene la misma densidad que el material del que están hechos los dados para que cada cara sea igualmente probable que ocurra. Posteriormente aprenderemos técnicas a utilizar para trabajar con probabilidades de eventos que no son igualmente probables.

“\(\cup\)" Evento: La Unión

Un resultado es en el evento\(A \cup B\) si el resultado está en A o está en B o está en ambos A y B. Por ejemplo, let\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) y\(B = \{4, 5, 6, 7, 8\}\). \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Observe que 4 y 5 NO están listados dos veces.

“\(\cap \)" Evento: La Intersección

Un resultado es en el evento\(A \cap B\) si el resultado es tanto en A como en B al mismo tiempo. Por ejemplo, let\(A\) y\(B\) be\(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) y\(\{4, 5, 6, 7, 8\}\), respectivamente. Entonces\(A \cap B = \{4, 5\}\).

El complemento del evento A se denota A′ (léase “A primo”). A′ consiste en todos los resultados que NO están en A. Observe que\(P(A) + P(A′) = 1\). Por ejemplo, vamos\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) y vamos\(A = \{1, 2, 3, 4\}\). Entonces,\(A′ = \{5, 6\}\). \(P(A) = \frac{4}{6}\),\(P(A′) = \frac{2}{6}\), y\(P(A) + P(A′) = \frac{4}{6}+\frac{2}{6}=1\)

Se escribe la probabilidad condicional\(B\) de\(A\) dado\(P(A|B)\). \(P(A|B)\)es la probabilidad de que\(A\) ocurra el evento dado que el evento\(B\) ya ocurrió. Un condicional reduce el espacio muestral. Calculamos la probabilidad de A a partir del espacio muestral reducido\(B\). La fórmula a calcular\(P(A|B)\) es\(P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) donde\(P(B)\) es mayor que cero.

Por ejemplo, supongamos que tiramos un dado justo, de seis lados. El espacio muestral\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Dejar\(A =\) cara es 2 o 3 y\(B =\) la cara es pareja\((2, 4, 6)\). Para calcular\(P(A|B)\), contamos el número de resultados 2 o 3 en el espacio muestral\(B = \{2, 4, 6\}\). Entonces dividimos eso por el número de resultados\(B\) (en lugar de\(S\)).

Obtenemos el mismo resultado usando la fórmula. Recuerda que\(S\) tiene seis resultados.

\(P(A|B) = \frac{\frac{(\text { the number of outcomes that are } 2 \text { or } 3 \text { and even in } S)}{6}}{\frac{(\text { the number of outcomes that are even in } S)}{6}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{3}\)

Cuotas

Las probabilidades de un evento presentan la probabilidad como una relación de éxito a fracaso. Esto es común en varios formatos de juego. Matemáticamente, las probabilidades de un evento se pueden definir como:

\[\frac{P(A)}{1-P(A)}\nonumber\]

donde\(P(A)\) está la probabilidad de éxito y por supuesto\(1 − P(A)\) es la probabilidad de fracaso. Las probabilidades siempre se citan como “numerador a denominador”, por ejemplo, 2 a 1. Aquí la probabilidad de ganar es el doble que la de perder; así, la probabilidad de ganar es de 0.66. Una probabilidad de ganar de 0.60 generaría probabilidades a favor de ganar de 3 a 2. Si bien el cálculo de las probabilidades puede ser útil en los lugares de juego para determinar los montos de pago, no es útil para comprender la probabilidad o la teoría estadística.

Comprender la terminología y los símbolos

Es importante leer cada problema detenidamente para pensar y entender cuáles son los eventos. Comprender la redacción es el primer paso muy importante para resolver problemas de probabilidad. Vuelva a leer el problema varias veces si es necesario. Identificar claramente el evento de interés. Determinar si existe una condición enunciada en la redacción que indicaría que la probabilidad es condicional; identificar cuidadosamente la condición, si la hubiera.

Solución 3.3

1. \(P(M) = 0.52\)
2. \(P(F) = 0.48\)
3. \(P(R) = 0.87\)
4. \(P(L) = 0.13\)
5. \(P(M \cap R) = 0.43\)
6. \(P(F \cap L) = 0.04\)
7. \(P(M \cup F) = 1\)
8. \(P(M \cup R) = 0.96\)
9. \(P(F \cup L) = 0.57\)
10. \(P(M') = 0.48\)
11. \(P(R|M) = 0.8269\)(redondeado a cuatro decimales)
12. \(P(F|L) = 0.3077\)(redondeado a cuatro decimales)
13. \(P(L|F) = 0.0833\)