8.10: Revisión del Capítulo

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8.2 Un intervalo de confianza para una desviación estándar poblacional Desconocido, caso de muestra pequeña

En muchos casos, el investigador desconoce la desviación estándar poblacional,\(\sigma\), de la medida que se estudia. En estos casos, es común utilizar la desviación estándar muestral, s, como estimación de\ sigma. La distribución normal crea intervalos de confianza precisos cuando\(\sigma\) se conoce, pero no es tan precisa cuando se usa s como estimación. En este caso, la distribución t de Student es mucho mejor. Defina una puntuación t usando la siguiente fórmula:

\(t=\frac{\overline{x}-\mu}{s / \sqrt{n}}\)

La puntuación t sigue la distribución t de Student con\(n – 1\) grados de libertad. El intervalo de confianza bajo esta distribución se calcula con\(\overline{x} \pm\left(t_{\frac{\alpha}{2}}\right) \frac{s}{\sqrt{n}}\) donde\(t_{\frac{\alpha}{2}}\) es la puntuación t con área a la derecha igual a\(\frac{\alpha}{2}\),\(s\) es la desviación estándar de la muestra, y\(n\) es el tamaño de la muestra. Use una mesa, calculadora o computadora\(t_{\frac{\alpha}{2}}\) para buscar un determinado\(\alpha\).

8.3 Un intervalo de confianza para una proporción de población

Algunas medidas estadísticas, como muchas preguntas de encuestas, miden datos cualitativos más que cuantitativos. En este caso, el parámetro poblacional que se estima es una proporción. Es posible crear un intervalo de confianza para la verdadera proporción poblacional siguiendo procedimientos similares a los utilizados en la creación de intervalos de confianza para las medias poblacionales. Las fórmulas son ligeramente diferentes, pero siguen el mismo razonamiento.

Dejar\(p^{\prime}\) representar la proporción muestral\(x/n\), donde\(x\) representa el número de éxitos y\(n\) representa el tamaño de la muestra. Vamos\(q^{\prime}=1-p^{\prime}\). Entonces el intervalo de confianza para una proporción poblacional viene dado por la siguiente fórmula:

\(\mathrm{p}^{\prime}-Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}} \leq p \leq \mathrm{p}^{\prime}+Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}}\)

8.4 Cálculo del tamaño de muestra n: Variables aleatorias continuas y binarias

En ocasiones los investigadores saben de antemano que quieren estimar una media poblacional dentro de un margen de error específico para un determinado nivel de confianza. En ese caso, resolver la fórmula de intervalo de confianza relevante para n para descubrir el tamaño de la muestra que se necesita para lograr este objetivo:

\(n=\frac{Z_{\alpha}^{2} \sigma^{2}}{(\overline{x}-\mu)^{2}}\)

Si la variable aleatoria es binaria, entonces la fórmula para el tamaño de muestra apropiado para mantener un nivel particular de confianza con un nivel de tolerancia específico viene dada por

\(n=\frac{Z_{\alpha}^{2} \mathrm{pq}}{e^{2}}\)