13.3: Ecuaciones Lineales

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La regresión lineal para dos variables se basa en una ecuación lineal con una variable independiente. La ecuación tiene la forma:

\[y=a+b x\nonumber\]

donde$a$ y$b$ son números constantes.

La variable$\bf x$ es la variable independiente, y$\bf y$ es la variable dependiente. Otra forma de pensar sobre esta ecuación es una declaración de causa y efecto. La$X$ variable es la causa y la$Y$ variable es el efecto hipotético. Normalmente, elige un valor para sustituir la variable independiente y luego resolver por la variable dependiente.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Los siguientes ejemplos son ecuaciones lineales.

$y=3+2x$

$y=–0.01+1.2x$

La gráfica de una ecuación lineal de la forma$y = a + bx$ es una línea recta. Cualquier línea que no sea vertical puede ser descrita por esta ecuación

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Grafica la ecuación$y = –1 + 2x$.

Gráfica de la ecuación y = -1 + 2x. Esta es una línea recta que cruza el eje y en -1 y está inclinada hacia arriba y hacia la derecha, elevándose 2 unidades por cada unidad de recorrido.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

¿Es el siguiente ejemplo de una ecuación lineal? ¿Por qué o por qué no?

Esta es una gráfica de una ecuación. El eje x se etiqueta en intervalos de 2 de 0 a 14; el eje y se etiqueta en intervalos de 2 de 0 a 12. La gráfica de la ecuación es una curva que cruza el eje y en 2 y se curva hacia arriba y hacia la derecha.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Aaron's Word Processing Service (AWPS) realiza procesamiento de textos. La tarifa por servicios es de $32 por hora más un cargo único de $31.50. El costo total para un cliente depende de la cantidad de horas que se necesita para completar el trabajo.

Encuentra la ecuación que expresa el costo total en términos de la cantidad de horas requeridas para completar el trabajo.

Contestar

Solución 13.3

Let$x$ = el número de horas que se tarda en hacer el trabajo.
Let$y$ = el costo total para el cliente.

El $31.50 es un costo fijo. Si lleva$x$ horas completar el trabajo, entonces (32) ($x$) es el costo del procesamiento de textos únicamente. El costo total es:$y = 31.50 + 32x$

Pendiente e Y -Intercepción de una Ecuación Lineal

Para la ecuación lineal$y = a + bx$,$b$ = pendiente e$a = y$ -intercepción. De álgebra recordar que la pendiente es un número que describe la inclinación de una línea, y la$y$ -intercepción es la$y$ coordenada del punto$(0, a)$ donde la línea cruza el eje y. A partir del cálculo la pendiente es la primera derivada de la función. Para una función lineal la pendiente es$dy / dx = b$ donde podemos leer la expresión matemática como “el cambio en y (dy) que resulta de un cambio en$x (dx) = b * dx$”.

Tres posibles gráficas de la ecuación y = a + bx. Para la primera gráfica, (a), b — Figura$\PageIndex{5}$ Tres posibles gráficas de$y = a + bx$. (a) Si$b > 0$, la línea se incline hacia arriba hacia la derecha. b) Si$b = 0$, la línea es horizontal. (c) Si$b < 0$, la línea se incline hacia abajo hacia la derecha.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Svetlana tutores para ganar dinero extra para la universidad. Por cada sesión de tutoría, cobra una tarifa única de $25 más $15 por hora de tutoría. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de dinero que Svetlana gana por cada sesión que es tutora es$y = 25 + 15x$.

¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuál es la intercepción y y cuál es la pendiente? Interpretarlos usando oraciones completas.

Contestar

Solución 13.4

La variable independiente ($x$) es el número de horas que Svetlana da tutoría a cada sesión. La variable dependiente ($y$) es la cantidad, en dólares, que Svetlana gana por cada sesión.

La intercepción y es$25 (a = 25$). Al inicio de la sesión de tutoría, Svetlana cobra una cuota única de 25 dólares (aquí es cuando$x= 0$). La pendiente es$15 (b = 15)$. Por cada sesión, Svetlana gana 15 dólares por cada hora que da clases particulares.