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8.1: Intervalo de confianza para una desviación estándar poblacional, tamaño de muestra conocido o grande

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    Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación estándar poblacional conocida se basa en la conclusión del Teorema del Límite Central de que la distribución muestral de las medias muestrales sigue una distribución aproximadamente normal.

    Cálculo del intervalo de confianza

    Considerar la fórmula estandarizadora para la distribución muestral desarrollada en la discusión del Teorema del Límite Central:

    \[Z_{1}=\frac{\overline{X}-\mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}\nonumber\]

    Observe que\(\mu\) se sustituye\(\mu_{\overline{x}}\) porque sabemos que el valor esperado de\(\mu_{\overline{x}}\) es del teorema\(\mu\) del Límite Central y\(\sigma_{\overline{x}}\) se sustituye por\(\sigma / \sqrt{n}\), también del Teorema del Límite Central.

    En esta fórmula conocemos\(\overline X\),\(\sigma_{\overline{x}}\) y\(n\), el tamaño de la muestra. (En la actualidad desconocemos la desviación estándar poblacional, pero sí tenemos una estimación puntual para ello,\(s\), de la muestra que tomamos. Más sobre esto más adelante.) Lo que no sabemos es\(\mu\) o\(Z_1\). Podemos resolver para cualquiera de estos en términos del otro. Resolviendo para\(\mu\) en términos de\(Z_1\) da:

    \[\mu=\overline{X} \pm Z_{1} {\sigma} / \sqrt{n}\nonumber\]

    Recordando que el Teorema del Límite Central nos dice que la distribución de los\(\overline X\)'s, la distribución muestral para medias, es normal, y que la distribución normal es simétrica, podemos reorganizar términos así:

    \[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\nonumber\]

    Esta es la fórmula para un intervalo de confianza para la media de una población.

    Observe que\(Z_\alpha\) ha sido sustituido\(Z_1\) en esta ecuación. Aquí es donde una elección debe ser hecha por el estadístico. El analista debe decidir el nivel de confianza que desea imponer en el intervalo de confianza. \ alpha es la probabilidad de que el intervalo no contenga la verdadera media poblacional. El nivel de confianza se define como\((1-\alpha)\). \(Z_\alpha\)es el número de desviaciones estándar\(\overline X\) se encuentra a partir de la media con cierta probabilidad. Si\(Z_\alpha = 1.96\) elegimos estamos pidiendo el intervalo de confianza del 95% porque estamos estableciendo la probabilidad de que la media verdadera se encuentre dentro del rango en 0.95. Si nos fijamos\(Z_\alpha\) en 1.64 estamos pidiendo el intervalo de confianza del 90% porque hemos establecido la probabilidad en 0.90. Estos números se pueden verificar consultando la tabla Normal Estándar. Divide 0.95 o 0.90 por la mitad y encuentra esa probabilidad dentro del cuerpo de la tabla. Después lee en los márgenes superior e izquierdo el número de desviaciones estándar que se necesitan para obtener este nivel de probabilidad.

    En realidad, podemos establecer cualquier nivel de confianza que deseemos simplemente cambiando el\(Z_\alpha\) valor en la fórmula. Es la elección del analista. La convención común en Economía y la mayoría de las ciencias sociales establece intervalos de confianza en niveles de 90, 95 o 99 por ciento. Los niveles menores al 90% se consideran de poco valor. El nivel de confianza de una estimación de intervalo particular es llamado por\((1-\alpha)\).

    Una buena manera de ver el desarrollo de un intervalo de confianza es representar gráficamente la solución a un problema que solicita un intervalo de confianza. Esto se presenta en Figura\(\PageIndex{2}\) para el ejemplo en la introducción referente al número de descargas de iTunes. Ese caso fue para un intervalo de confianza del 95%, pero otros niveles de confianza podrían haberse elegido con la misma facilidad dependiendo de la necesidad del analista. No obstante, el nivel de confianza DEBE ser preestablecido y no sujeto a revisión como resultado de los cálculos.

    Esta es una curva de distribución normal. El punto z0.01 se etiqueta en el borde derecho de la curva y la región a la derecha de este punto está sombreada. El área de esta región sombreada es igual a 0.01. El área no sombreada es igual a 0.99.
    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Para este ejemplo, digamos que sabemos que la población real media número de descargas de iTunes es 2.1. La verdadera media poblacional se encuentra dentro del rango del intervalo de confianza del 95%. No hay absolutamente nada que garantice que esto suceda. Además, si la verdadera media cae fuera del intervalo nunca lo sabremos. Debemos recordar siempre que nunca conoceremos la verdadera media. La estadística simplemente nos permite, con un determinado nivel de probabilidad (confianza), decir que la verdadera media está dentro del rango calculado. Esto es lo que se llamó en la introducción, el “nivel de ignorancia admitido”.

    Cambiar el nivel de confianza o el tamaño de la muestra

    Aquí nuevamente está la fórmula para un intervalo de confianza para una media poblacional desconocida asumiendo que conocemos la desviación estándar poblacional:

    \[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\nonumber\]

    Es claro que el intervalo de confianza es impulsado por dos cosas, el nivel de confianza elegido\(Z_\alpha\), y la desviación estándar de la distribución muestral. La desviación estándar de la distribución muestral se ve afectada además por dos cosas, la desviación estándar de la población y el tamaño muestral que elegimos para nuestros datos. Aquí queremos examinar los efectos de cada una de las elecciones que hemos tomado sobre el intervalo de confianza calculado, el nivel de confianza y el tamaño de la muestra.

    Por un momento deberíamos preguntarnos exactamente qué deseamos en un intervalo de confianza. Nuestro objetivo fue estimar la media poblacional a partir de una muestra. Hemos abandonado la esperanza de que alguna vez encontremos la verdadera media poblacional, y la desviación estándar poblacional para el caso, para cualquier caso excepto donde tengamos una población extremadamente pequeña y el costo de recopilar los datos de interés es muy pequeño. En todos los demás casos debemos confiar en muestras. Con el Teorema del Límite Central tenemos las herramientas para proporcionar un intervalo de confianza significativo con un nivel de confianza dado, es decir, una probabilidad conocida de equivocarse. Por intervalo de confianza significativo nos referimos a uno que es útil. Imagina que te piden un intervalo de confianza para las edades de tus compañeros de clase. Se ha tomado una muestra y se encuentra una media de 19.8 años. Deseas tener mucha confianza por lo que reportas un intervalo entre 9.8 años y 29.8 años. Este intervalo ciertamente contendría la verdadera media poblacional y tendría un nivel de confianza muy alto. Sin embargo, difícilmente califica como significativo. El mejor intervalo de confianza es estrecho a la vez que se tiene alta confianza. Hay una tensión natural entre estos dos objetivos. Cuanto mayor sea el nivel de confianza, mayor será el intervalo de confianza como el caso de las edades de los estudiantes superiores. Podemos ver esta tensión en la ecuación para el intervalo de confianza.

    \[\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\nonumber\]

    El intervalo de confianza aumentará de ancho a medida que\(Z_\alpha\) aumenta,\(Z_\alpha\) aumenta a medida que aumenta el nivel de confianza. Existe una compensación entre el nivel de confianza y el ancho del intervalo. Ahora veamos nuevamente la fórmula y veamos que el tamaño de la muestra también juega un papel importante en el ancho del intervalo de confianza. El tamaño de la muestra, nn, aparece en el denominador de la desviación estándar de la distribución muestral. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la desviación estándar de la distribución muestral disminuye y así el ancho del intervalo de confianza, manteniendo constante el nivel de confianza. Esta relación se demostró en la Figura\(\PageIndex{8}\). Nuevamente vemos la importancia de tener muestras grandes para nuestro análisis aunque luego enfrentamos una segunda restricción, el costo de recopilar datos.

    Cálculo del Intervalo de Confianza: Una Aproximación Alternativa

    Otra forma de acercarse a los intervalos de confianza es mediante el uso de algo llamado Error Bound. El límite de error obtiene su nombre del reconocimiento de que proporciona el límite del intervalo derivado del error estándar de la distribución de muestreo. En las ecuaciones anteriores se ve que el intervalo es simplemente la media estimada, la media muestral, más o menos algo. Ese algo es el Error Bound y es impulsado por la probabilidad que deseamos mantener en nuestra estimación,\(Z_\alpha\), veces la desviación estándar de la distribución muestral. El límite de error para una media recibe el nombre, Media límite de error, o\(EBM\).

    Para construir un intervalo de confianza para una sola media poblacional desconocida\(\mu\), donde se conoce la desviación estándar poblacional, necesitamos\(\overline x\) como estimación para\(\mu\) y necesitamos el margen de error. Aquí, el margen de error\((EBM)\) se llama el límite de error para una media poblacional (abreviado EBM). La media muestral\(\overline x\) es la estimación puntual de la media poblacional desconocida\(\mu\).

    La estimación del intervalo de confianza tendrá la forma:

    (estimación puntual - límite de error, estimación puntual + límite de error) o, en símbolos,\((\overline{x}-E B M, \overline{x}+E B M)\)

    La fórmula matemática para este intervalo de confianza es:

    \[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\]

    El margen de error (EBM) depende del nivel de confianza (abreviado CL). El nivel de confianza a menudo se considera la probabilidad de que la estimación del intervalo de confianza calculado contenga el parámetro de población real. Sin embargo, es más preciso afirmar que el nivel de confianza es el porcentaje de intervalos de confianza que contienen el parámetro de población real cuando se toman muestras repetidas. La mayoría de las veces, es la elección de la persona que construye el intervalo de confianza elegir un nivel de confianza del 90% o superior porque esa persona quiere estar razonablemente segura de sus conclusiones.

    Hay otra probabilidad llamada alfa (\(\alpha\)). \(\alpha\)está relacionado con el nivel de confianza,\(CL\). \(\alpha\)es la probabilidad de que el intervalo no contenga el parámetro de población desconocido.
    Matemáticamente,\(1 - \alpha = CL\).

    Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación estándar conocida se basa en que la distribución muestral de las medias muestrales sigue una distribución aproximadamente normal. Supongamos que nuestra muestra tiene una media de\(\overline x = 10\), y hemos construido el intervalo de confianza del 90%\((5, 15)\) donde\(EBM = 5\).

    Para obtener un intervalo de confianza del 90%, debemos incluir el 90% central de la probabilidad de la distribución normal. Si incluimos el 90% central, dejamos fuera un total de\(\alpha = 10%\) en ambas colas, o 5% en cada cola, de la distribución normal.

    Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 10 en el eje horizontal. Los puntos 5 y 15 están etiquetados en el eje. Las líneas verticales se dibujan desde estos puntos hasta la curva, y la región entre las líneas se sombrea. La región sombreada tiene un área igual a 0.90.
    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Para capturar el 90% central, debemos salir 1.645 desviaciones estándar a cada lado de la media de la muestra calculada. El valor 1.645 es la puntuación z de una distribución de probabilidad normal estándar que pone un área de 0.90 en el centro, un área de 0.05 en la cola del extremo izquierdo y un área de 0.05 en la cola extrema derecha.

    Es importante que la desviación estándar utilizada debe ser apropiada para el parámetro que estamos estimando, por lo que en esta sección necesitamos usar la desviación estándar que aplica a la distribución muestral para las medias que estudiamos con el Teorema del Límite Central y es,\(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).

    Cálculo del Intervalo de Confianza Usando EMB

    Para construir una estimación del intervalo de confianza para una media poblacional desconocida, necesitamos datos de una muestra aleatoria. Los pasos para construir e interpretar el intervalo de confianza son:

    • Calcular la media muestral\(\overline x\) a partir de los datos de muestra. Recuerde, en este apartado conocemos la desviación estándar poblacional\(\sigma\).
    • Encuentra la puntuación z de la tabla normal estándar que corresponda al nivel de confianza deseado.
    • Calcular el límite de error\(EBM\).
    • Construir el intervalo de confianza.
    • Escribir una oración que interprete la estimación en el contexto de la situación en el problema.

    Primero examinaremos cada paso con más detalle, y luego ilustraremos el proceso con algunos ejemplos.

    Encontrar el puntaje z para el Nivel de Confianza Declarado

    Cuando conocemos la desviación estándar de la población\ sigma, utilizamos una distribución normal estándar para calcular el límite de error\(EBM\) y construir el intervalo de confianza. Necesitamos encontrar el valor de\(z\) que ponga un área igual al nivel de confianza (en forma decimal) en medio de la distribución normal estándar\(Z \sim N(0, 1)\).

    El nivel de confianza\(CL\),, es el área en medio de la distribución normal estándar. \(CL = 1 – \alpha\), así\(\alpha\) es el área que se divide en partes iguales entre las dos colas. Cada una de las colas contiene un área igual a\(\frac{\alpha}{2}\).

    El puntaje z que tiene un área a la derecha de\(\frac{\alpha}{2}\) se denota por\(Z_{\frac{\alpha}{2}}\).

    Por ejemplo, cuando\(CL = 0.95\),\(\alpha = 0.05\) y\(\frac{\alpha}{2} = 0.025\); escribimos\(Z_{\frac{\alpha}{2}}\) = Z_ {0.025}\).

    El área a la derecha de\(Z_{0.025}\) es 0.025 y el área a la izquierda de\(Z_{0.025}\) es\(1 – 0.025 = 0.975\).

    \(Z_{\frac{\alpha}{2}} = Z_{0.025} = 1.96\), utilizando una tabla de probabilidad normal estándar. Veremos más adelante que podemos usar una tabla de probabilidad diferente, la distribución t de Student, para encontrar el número de desviaciones estándar de los niveles de confianza comúnmente utilizados.

    Cálculo del límite de error (EBM)

    La fórmula límite de error para una media de población desconocida\ mu cuando se conoce la desviación estándar de la población\ sigma es

    • \(E B M=\left(Z \frac{\alpha}{2}\right)\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)

    Construyendo el intervalo de confianza

    • La estimación del intervalo de confianza tiene el formato\((\overline{x}-E B M, \overline{x}+E B M)\) o la fórmula:\(\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\)

    El gráfico da una imagen de toda la situación.

    \(C L+\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}=C L+\alpha=1\).

    Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto x-bar en el eje horizontal. Los puntos x-bar - EBM y x-bar + EBM están etiquetados en el eje. Las líneas verticales se dibujan desde estos puntos hasta la curva, y la región entre las líneas se sombrea. La región sombreada tiene un área igual a 1 - a y representa el nivel de confianza. Cada cola sin sombra tiene área a/2.

    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Supongamos que nos interesan las puntuaciones medias en un examen. Se toma una muestra aleatoria de 36 puntajes y da una media muestral (puntuación media muestral) de 68 (X−X- = 68). En este ejemplo tenemos el inusual conocimiento de que la desviación estándar de la población es de 3 puntos. No cuente con conocer los parámetros poblacionales fuera de los ejemplos de libros de texto. Encuentre una estimación del intervalo de confianza para la puntuación media del examen de la población (la puntuación media en todos los exámenes).

    Encuentra un intervalo de confianza del 90% para la media verdadera (población) de las puntuaciones de los exámenes de estadística.

    Contestar

    Solución 8.1

    • La solución se muestra paso a paso.

    Para encontrar el intervalo de confianza, necesita la media de la muestra,\(\overline x\), y el\(EBM\).

    • \(\overline x = 68\)
    • \(EBM = \left(Z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)
    • \(\sigma = 3\);\(n = 36\); El nivel de confianza es del 90%\((CL = 0.90)\)

    \(CL = 0.90\)por lo\(\alpha = 1 – CL = 1 – 0.90 = 0.10\)

    \(\frac{\alpha}{2}=0.05, Z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.05}\)

    El área a la derecha de\(Z_{0.05}\) es\(0.05\) y el área a la izquierda de\(Z_{0.05}\) es\(1 – 0.05 = 0.95\).

    \(Z_{\frac{\alpha}{2}}=Z_{0.05}=1.645\)

    Esto se puede encontrar usando una computadora, o usando una tabla de probabilidad para la distribución normal estándar. Debido a que los niveles comunes de confianza en las ciencias sociales son 90%, 95% y 99% no pasará mucho tiempo hasta que te familiarices con los números, 1.645, 1.96 y 2.56

    \(E B M=(1.645)\left(\frac{3}{\sqrt{36}}\right)=0.8225\)

    \(\overline{x}-E B M=68-0.8225=67.1775\)

    \(\overline{x}+E B M=68+0.8225=68.8225\)

    El intervalo de confianza del 90% es (67.1775, 68.8225).

    Interpretación

    Estimamos con 90% de confianza que la puntuación media real del examen de la población para todos los estudiantes de estadística está entre 67.18 y 68.82.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Supongamos que cambiamos el problema original en Ejemplo\(\PageIndex{1}\) usando un nivel de confianza del 95%. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la puntuación media del examen de estadística verdadera (población).

    Contestar

    Solución 8.2

    Figura\(\PageIndex{5}\)

    \[\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\nonumber\]

    \[\mu=68 \pm 1.96\left(\frac{3}{\sqrt{36}}\right)\nonumber\]

    \[67.02 \leq \mu \leq 68.98\nonumber\]

    \(\sigma = 3\);\(n = 36\); El nivel de confianza es del 95% (\(CL = 0.95\)).

    \(CL = 0.95\)por lo\(\alpha = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05\)

    \(Z_{\frac{\alpha}{2}}=Z_{0.025}=1.96\)

    Observe que el\(EBM\) es mayor para un nivel de confianza del 95% en el problema original.

    Comparando los resultados

    El intervalo de confianza del 90% es (67.18, 68.82). El intervalo de confianza del 95% es (67.02, 68.98). El intervalo de confianza del 95% es más amplio. Si nos fijamos en las gráficas, debido a que el área 0.95 es mayor que el área 0.90, tiene sentido que el intervalo de confianza del 95% sea más amplio. Para tener más confianza en que el intervalo de confianza realmente contiene el verdadero valor de la media poblacional para todos los puntajes de los exámenes de estadística, el intervalo de confianza necesariamente necesita ser más amplio. Esto demuestra un principio muy importante de intervalos de confianza. Hay una compensación entre el nivel de confianza y el ancho del intervalo. Nuestro deseo es tener un intervalo de confianza estrecho, los intervalos amplios y enormes proporcionan poca información que sea útil. Pero también nos gustaría tener un alto nivel de confianza en nuestro intervalo. Esto demuestra que no podemos tener ambos.

    La parte (a) muestra una curva de distribución normal. Una región central con área igual a 0.90 está sombreada. Cada cola no sombreada de la curva tiene un área igual a 0.05. La parte (b) muestra una curva de distribución normal. Una región central con área igual a 0.95 está sombreada. Cada cola no sombreada de la curva tiene un área igual a 0.025.

    Figura\(\PageIndex{6}\)

    Resumen: Efecto de cambiar el nivel de confianza

    • Aumentar el nivel de confianza hace que el intervalo de confianza sea más amplio.
    • La disminución del nivel de confianza hace que el intervalo de confianza sea más estrecho.

    Y nuevamente aquí está la fórmula para un intervalo de confianza para una media desconocida asumiendo que tenemos la desviación estándar poblacional:

    \[\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\nonumber\]

    La desviación estándar de la distribución muestral fue proporcionada por el Teorema del Límite Central como\(\sigma / \sqrt{n}\). Si bien con poca frecuencia llegamos a elegir el tamaño de la muestra, juega un papel importante en el intervalo de confianza. Debido a que el tamaño de la muestra está en el denominador de la ecuación, a\(n\) medida que aumenta hace que la desviación estándar de la distribución de muestreo disminuya y así disminuya el ancho del intervalo de confianza. Lo hemos cumplido antes, ya que revisamos los efectos del tamaño de la muestra en el Teorema del Límite Central. Allí vimos que a medida que\(n\) aumenta la distribución muestral se estrecha hasta que en el límite colapsa sobre la verdadera media poblacional.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Supongamos que cambiamos el problema original en Ejemplo\(\PageIndex{1}\) para ver qué sucede con el intervalo de confianza si se cambia el tamaño de la muestra.

    Deja todo igual excepto el tamaño de la muestra. Usa el nivel de confianza original del 90%. ¿Qué sucede con el intervalo de confianza si aumentamos el tamaño de la muestra y usamos\(n = 100\) en lugar de\(n = 36\)? ¿Qué pasa si disminuimos el tamaño de la muestra a\(n = 25\) lugar de\(n = 36\)?

    Contestar

    Solución 8.3

    Solución A

    \(\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)

    \(\mu=68 \pm 1.645\left(\frac{3}{\sqrt{100}}\right)\)

    \(67.5065 \leq \mu \leq 68.4935\)

    Si aumentamos el tamaño de la muestra\(n\) a 100, disminuimos el ancho del intervalo de confianza en relación con el tamaño de muestra original de 36 observaciones.

    Contestar

    Solución 8.3

    Solución B

    \(\mu=\overline{x} \pm Z_{\alpha}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)

    \(\mu=68 \pm 1.645\left(\frac{3}{\sqrt{25}}\right)\)

    \(67.013 \leq \mu \leq 68.987\)

    Si disminuimos el tamaño de la muestra\(n\) a 25, aumentamos el ancho del intervalo de confianza en comparación con el tamaño de muestra original de 36 observaciones.

    Resumen: Efecto de cambiar el tamaño de la muestra

    • Aumentar el tamaño de la muestra hace que el intervalo de confianza sea más estrecho.
    • Al disminuir el tamaño de la muestra, el intervalo de confianza es más amplio

    Ya hemos visto este efecto cuando revisamos los efectos de cambiar el tamaño de la muestra, n, en el Teorema del Límite Central. Ver Figura\(\PageIndex{7}\) para ver este efecto. Antes vimos que a medida que el tamaño de la muestra aumentaba la desviación estándar de la distribución muestral disminuye. Por eso elegimos la media de la muestra de una muestra grande en comparación con una muestra pequeña, todas las demás cosas se mantuvieron constantes.

    Hasta ahora asumimos que conocíamos la desviación estándar de la población. Esto prácticamente nunca será el caso. Tendremos la desviación estándar de la muestra, s, sin embargo. Esta es una estimación puntual para la desviación estándar de la población y puede sustituirse en la fórmula para intervalos de confianza para una media bajo ciertas circunstancias. Acabamos de ver el efecto que tiene el tamaño de la muestra en el ancho del intervalo de confianza y el impacto en la distribución muestral para nuestra discusión del Teorema del Límite Central. Podemos invocar esto para sustituir la estimación puntual por la desviación estándar si el tamaño de la muestra es “suficiente” grande. Los estudios de simulación indican que 30 observaciones o más serán suficientes para eliminar cualquier sesgo significativo en el intervalo de confianza estimado.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Las vacaciones de primavera pueden ser unas vacaciones muy caras. Se encuestó a una muestra de 80 estudiantes, y el monto promedio que gastan los estudiantes en viajes y bebidas es de 593.84 dólares. La desviación estándar de la muestra es de aproximadamente $369.34.

    Construir un intervalo de confianza de 92% para la población la cantidad media de dinero gastado por los rompedores de primavera.

    Contestar

    Solución 8.4

    Comenzamos con el intervalo de confianza para una media. Usamos la fórmula para una media porque la variable aleatoria es dólares gastados y esta es una variable aleatoria continua. La estimación puntual para la desviación estándar poblacional, s, ha sido sustituida por la verdadera desviación estándar poblacional porque con 80 observaciones no hay preocupación por el sesgo en la estimación del intervalo de confianza.

    \[\mu=\overline{x} \pm\left[Z_{(\mathrm{a} / 2)} \frac{s}{\sqrt{n}}\right]\nonumber\]

    Sustituyendo los valores en la fórmula, tenemos:

    \[\mu=593.84 \pm\left[1.75 \frac{369.34}{\sqrt{80}}\right]\nonumber\]

    \(Z_{(a / 2)}\)se encuentra en la tabla normal estándar al buscar 0.46 en el cuerpo de la tabla y encontrar el número de desviaciones estándar en el lado y la parte superior de la tabla; 1.75. La solución para el intervalo es así:

    \[\mu=593.84 \pm 72.2636=(521.57,666.10)\nonumber\]

    \[\$ 521.58 \leq \mu \leq \$ 666.10\nonumber\]

    Figura\(\PageIndex{7}\)

    Revisión de Fórmula

    La forma general para un intervalo de confianza para una sola población media, desviación estándar conocida, distribución normal viene dada por\(\overline{X}-Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n}) \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha}(\sigma / \sqrt{n})\) Esta fórmula se utiliza cuando se conoce la desviación estándar poblacional.

    \(CL\)= nivel de confianza, o la proporción de intervalos de confianza creados que se espera que contengan el parámetro de población real

    \(\alpha = 1 – CL\)= la proporción de intervalos de confianza que no contendrán el parámetro de población

    \(z_{\frac{\alpha}{2}}\)= la puntuación z con la propiedad de que el área a la derecha de la puntuación z es\(\frac{\propto}{2}\) esta es la puntuación z utilizada en el cálculo de "\(EBM\)" donde\(\alpha = 1 – CL\).


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