5.9: Independencia

Dos eventos se consideran independientes si la probabilidad de que ocurra un evento no se cambia al saber si el otro evento ocurrió o no. Los eventos que no son independientes se denominan dependientes.

Aquí hay ejemplos de eventos independientes (no relacionados):

• Un tirón justo de la moneda viene a la cabeza; la moneda es volteada otra vez y sube de cabeza.
• Un estudiante no puede asistir a una clase de matemáticas en De Anza College; hoy llueve en la ciudad de Nueva York.
• Una casa en San Francisco comienza a incendiarse; el mismo día, una casa en Dallas comienza a incendiarse.
• A un paciente se le diagnostica cáncer; el mismo día, a otro paciente se le diagnostica neumonía.

En estos eventos independientes, la probabilidad de que ocurra el segundo evento no se ve afectada por si ocurre el primer evento.

Ejemplos de eventos dependientes (relacionados)

• Un alumno obtiene una A en el primer examen; el mismo alumno obtiene una A en el segundo examen.
• Una persona nunca ha fumado; la misma persona tiene cáncer de pulmón.
• Un sismo destruye una vivienda en San Francisco; ese mismo día, un sismo destruye una vivienda en Oakland.
• Un estudiante se gradúa en Ciencias de la Computación; el mismo estudiante quiere trabajar para Google.

En estos eventos dependientes, la probabilidad de que ocurra el segundo evento se ve afectada por si ocurre el primer evento:

• Un estudiante que recibe una A en un examen tiene más probabilidades de obtener una A en otro examen.
• Un no fumador tiene menos probabilidades de contraer cáncer de pulmón que un fumador.
• Un solo fuerte terremoto afectará hogares en todo el Área de la Bahía.
• Un estudiante de Ciencias de la Computación es más probable que trabaje para una compañía de tecnología, como Google.

La definición matemática de eventos independientes significa que la probabilidad marginal de que ocurra el primer evento es la misma que la probabilidad condicional de que ocurra el primero dado que ocurrió el segundo evento. Luego podemos ajustar la Regla Multiplicativa para obtener tres fórmulas, cualquiera de las cuales se puede usar para probar la independencia:

Eventos independientes

Si los eventos A y B son independientes, entonces las siguientes afirmaciones son todas verdaderas:

\[P(A)=P(A \mid B) \nonumber \]

\[P(B)=P(B \mid A) \nonumber \]

\[P(A \text { and } B)=P(A) \times P(B) \nonumber \]

La última fórmula es particularmente útil y puede generalizarse fácilmente para encontrar la probabilidad conjunta de muchos eventos independientes a partir de mirar las probabilidades marginales simples, haciendo que el muestreo aleatorio en la investigación estadística sea tan crítico.

Ejemplo: Voltear una moneda diez veces

Una moneda justa es volteada diez veces. Encuentra la probabilidad de conseguir cabezas en los 10 tirados.

Solución

Debido a que los tirados de monedas son independientes, la regla multiplicativa requiere solo probabilidades marginales:

\(P(\text { all Heads })=P(H)^{10}=0.5^{10}=0.0009766\)

Ejemplo: Prueba sorpresa

El lunes, hay un 10% de probabilidad de que tu instructor de historia tenga un cuestionario sorpresa. El mismo día, hay un 20% de probabilidad de que tu instructor de Matemáticas también tenga un cuestionario sorpresa. Ninguna otra clase que estés tomando tiene cuestionarios sorpresa. ¿Cuál es la probabilidad de que tengas al menos un quiz sorpresa el lunes? Supongamos que todos los eventos son independientes.

Solución

Que H sea el evento “Prueba sorpresa en la historia” y M sea el evento “Prueba sorpresa en matemáticas”. Después usa tanto la Regla Aditiva como la Regla Multiplicativa para eventos independientes.

\(P(H \text { or } M)=P(H)+P(M)-P(M \text { and } H)\)

\(P(H)=0.10 \qquad P(M)=0.20\)

\(P(H \text { and } M)=P(H) \times P(M)=0.10 \times 0.20=0.02\)

\(P(H \text { or } M)=0.10+0.20-0.02=0.28\)

Hay un 28% de posibilidades de que haya al menos un cuestionario sorpresa el lunes.

Ejemplo: Accidentes y DUI

Se les preguntó a 1000 conductores si estuvieron involucrados en un accidente en el último año. También se les preguntó si durante este tiempo, eran DUI, manejando bajo los efectos del alcohol o las drogas. Son los eventos “Conductor fue DUI” y “Conductor estuvo involucrado en un accidente” evento independiente o dependiente

	Accidente	Sin Accidente	Total
DUI	70	130	200
No DUI	30	770	800
Total	100	900	1000

Solución

Que A sea el evento “el chofer tuvo un accidente” y D sea el evento “el chofer fue DUI”. Podemos usar cualquiera de las reglas para la independencia responder a esta pregunta. Mostremos los tres métodos posibles aquí, pero en la práctica elija la fórmula más conveniente dados los datos proporcionados.

Utilice la Fórmula 1:

\(P(A) = 100/1000 = 0.10\)

\(P(A|D) = 70/200 =0.35\)

\(P(A) \neq P(A|D)\)

Usa la Fórmula 2:

\(P(D) = 200/1000 = 0.20\)

\(P(D|A) = 70/100 =0.70\)

\(P(D) \neq P(D|A)\)

Usa la Fórmula 3:

\(P(A) = 100/1000 = 0.10\)

\(P(D) = 200/1000 = 0.20\)

\(P(A\text{ and }D) = 70/1000 = 0.07\)

\(P(A) \times P(D) = (0.10)(0.20) = 0.02\)

\(P(A\text{ and }D) \neq P(A) \times P(D)\)

“Conductor fue DUI” y “Conductor estuvo involucrado en un accidente” son eventos dependientes.

Ejemplo: Accidentes y origen del automóvil

Se les preguntó a 1000 conductores si estuvieron involucrados en un accidente durante el último año. También se les preguntó si durante este tiempo, si conducían un automóvil nacional o un automóvil importado. ¿Los eventos “Conductor conduce un automóvil doméstico” y “Conductor estuvo involucrado en un accidente” son eventos independientes o dependientes?

	Accidente	Sin Accidente	Total
Coche Doméstico	40	540	600
Coche Importado	60	360	400
Total	100	900	1000

Solución

Que A sea el evento “el conductor tuvo un accidente” y D sea el evento “el conductor conduce un auto doméstico”. Volvamos a mostrar los tres métodos posibles aquí, pero en la práctica elige la fórmula más conveniente dados los datos proporcionados.

Utilice la Fórmula 1

\(P(A)\)= 100/1000 = 0.10

\(P(A|D)\)= 60/600 =0.10

\(P(A) = P(A|D)\)

Usa la Fórmula 2

\(P(D)\)= 600/1000 = 0.60

\(P(D|A)\)= 60/100 =0.60

\(P(D) = P(D|A)\)

Usa la Fórmula 3

\(P(A)\)= 100/1000 = 0.10

\(P(D)\)= 600/1000 = 0.60

\(P(A \text{ and } D)\)= 60/1000 = 0.06

\(P(A) \times P(D)\)= (0.10) (0.60) = 0.06

\(P(A \text{ and } D) = P(A) \times P(D)\)

“Conductor tiene accidente” y “Conductor conduce un automóvil doméstico” son eventos independientes.