6.4: Valor esperado y varianza de una función de distribución de probabilidad discreta
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Definición: Parámetro y Estadística
Un parámetro es una cantidad que describe una población.
Un estadístico es una cantidad que describe una muestra.
El valor esperado de una variable aleatoria también se conoce como la media poblacional y se expresa por el símbolo\(\mu\) (pronunciado mu). El valor esperado es un parámetro, es decir, una cantidad fija.
La varianza poblacional de una variable aleatoria es el valor esperado de las desviaciones cuadradas de la media poblacional, es decir, el valor esperado de\((x-\mu)^{2}\). La varianza poblacional también es un parámetro fijo y se expresa por el símbolo\(\sigma^{2}\) (pronunciado sigma‐cuadrado). La desviación estándar poblacional es la raíz cuadrada de la varianza poblacional y se expresa por el símbolo\(\sigma\). Para variables aleatorias discretas, el valor esperado se calcula mediante ponderación de probabilidad.
Valor esperado (\(\mu\)) and Variance (\(\sigma^{2}\)) of Discrete Random Variable \(X\)
Valor esperado (media poblacional):\(\mu=E(x)=\sum x \cdot P(x)\)
Varianza poblacional:\(\sigma^{2}=\operatorname{Var}(x)=E\left[(x-\mu)^{2}\right]=\sum(x-\mu)^{2} \cdot P(x)\)
Desviación estándar poblacional:\(\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(x)}\)
Ejemplo: Prueba de opción múltiple
A los estudiantes se les da un examen de opción múltiple con 4 preguntas. Encuentra el valor esperado y la varianza poblacional de la variable aleatoria con la distribución de probabilidad dada:
| \(x\) | \(P(x)\) |
|---|---|
| \ (x\)” class="lt-estados-20890">0 | \ (P (x)\)” class="lt-stats-20890">0.1 |
| \ (x\)” class="lt-estados-20890">1 | \ (P (x)\)” class="lt-stats-20890">0.1 |
| \ (x\)” class="lt-estados-20890">2 | \ (P (x)\)” class="lt-stats-20890">0.2 |
| \ (x\)” class="lt-estados-20890">3 | \ (P (x)\)” class="lt-stats-20890">0.. 4 |
| \ (x\)” class="lt-estados-20890">4 | \ (P (x)\)” class="lt-stats-20890">0.2 |
Solución
Para encontrar el valor esperado de\(X\), sopesar cada valor de\(X\) por la probabilidad, luego sumarlos.
| \(x\) | \(P(x)\) | \(x \cdot P(x)\) |
|---|---|---|
| \ (x\)” class="lt-estados-20890">0 | \ (P (x)\)” class="lt-stats-20890">0.1 | \ (x\ cdot P (x)\)” class="lt-stats-20890">0.0 |
| \ (x\)” class="lt-estados-20890">1 | \ (P (x)\)” class="lt-stats-20890">0.1 | \ (x\ cdot P (x)\)” class="lt-stats-20890">0.1 |
| \ (x\)” class="lt-estados-20890">2 | \ (P (x)\)” class="lt-stats-20890">0.2 | \ (x\ cdot P (x)\)” class="lt-stats-20890">0.4 |
| \ (x\)” class="lt-estados-20890">3 | \ (P (x)\)” class="lt-stats-20890">0.. 4 | \ (x\ cdot P (x)\)” class="lt-stats-20890">1.2 |
| \ (x\)” class="lt-estados-20890">4 | \ (P (x)\)” class="lt-stats-20890">0.2 | \ (x\ cdot P (x)\)” class="lt-estados-20890">0.8 |
| \ (x\)” class="lt-estados-20890"> Total | \ (P (x)\)” class="lt-stats-20890"> 1.0 | \ (x\ cdot P (x)\)” class="lt-stats-20890"> \(\mu\)= 2.5 |
El número esperado de respuestas correctas es 2.5.
Tenga en cuenta que el Valor Esperado de una variable aleatoria no tiene por qué ser una respuesta posible. Por ejemplo, en 2015 el número esperado de hijos que una mujer estadounidense dará a luz es de 1.84, cantidad también conocida como tasa de fertilidad.
Para encontrar la varianza poblacional, determinar la cantidad\((x-\mu)^{2}\) para cada valor de la variable aleatoria, peso por probabilidad, y sumarlos.
| \(x\) | \(P(x)\) | \(x \cdot P(x)\) | \(x-\mu\) | \((x-\mu)^{2}\) | \((x-\mu)^{2} \cdot P(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \ (x\) ">0 | \ (P (x)\) ">0.1 | \ (x\ cdot P (x)\) ">0.0 | \ (x-\ mu\) ">‐2.5 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) ">6.25 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) ">0.625 |
| \ (x\) ">1 | \ (P (x)\) ">0.1 | \ (x\ cdot P (x)\) ">0.1 | \ (x-\ mu\) ">‐1.5 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) ">2.25 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) ">0.225 |
| \ (x\) ">2 | \ (P (x)\) ">0.2 | \ (x\ cdot P (x)\) ">0.4 | \ (x-\ mu\) ">‐0.5 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) ">0.25 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) ">0.050 |
| \ (x\) ">3 | \ (P (x)\) ">0.4 | \ (x\ cdot P (x)\) ">1.2 | \ (x-\ mu\) ">0.5 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) ">0.25 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) ">0.100 |
| \ (x\) ">4 | \ (P (x)\) ">0.2 | \ (x\ cdot P (x)\) ">0.8 | \ (x-\ mu\) ">1.5 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) ">2.25 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) ">0.450 |
| \ (x\) "> Total | \ (P (x)\) "> 1.0 | \ (x\ cdot P (x)\) "> \(\mu\)= 2.5 | \ (x-\ mu\) "> | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) "> | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) "> \(\sigma^{2}\)= 1.45 |
La varianza poblacional es de 1.45 y la desviación estándar poblacional es respuestas\(\sqrt{1.45}=1.20\) correctas.
Ejemplo: Grandes huracanes en el Atlántico
Los huracanes son ciclones tropicales que tienen velocidades de viento de al menos 74 MPH. Los huracanes se clasifican por velocidad del viento de Categoría 1 a Categoría 5 por la Escala Saffir-Simpson. Los huracanes mayores son tormentas que tienen vientos sostenidos de al menos 111 MPH (Categoría 3 o superior).
Históricamente, ha habido entre cero y ocho huracanes importantes en el Océano Atlántico durante un año. Con base en estos datos, podemos crear una función de distribución de probabilidad discreta X para el número de grandes huracanes atlánticos en un año 65:
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P(x)\) | 0.187 | 0.290 | 0.271 | 0.090 | 0.054 | 0.054 | 0.036 | 0.012 | 0.006 |
Encuentra el valor esperado y la varianza poblacional de esta variable aleatoria.
Solución
Aquí hay una tabla siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior:
| \(x\) | \(P(x)\) | \(x \cdot P(x)\) | \(x-\mu\) | \((x-\mu)^{2}\) | \((x-\mu)^{2} \cdot P(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \ (x\) ">0 | \ (P (x)\) ">0.187 | \ (x\ cdot P (x)\) ">0.000 | \ (x-\ mu\) ">‐1.936 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) ">3.748 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) ">0.701 |
| \ (x\) ">1 | \ (P (x)\) ">0.290 | \ (x\ cdot P (x)\) ">0.290 | \ (x-\ mu\) ">‐0.936 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) ">0.876 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) ">0.254 |
| \ (x\) ">2 | \ (P (x)\) ">0.271 | \ (x\ cdot P (x)\) ">0.542 | \ (x-\ mu\) ">0.064 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) ">0.004 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) ">0.001 |
| \ (x\) ">3 | \ (P (x)\) ">0.090 | \ (x\ cdot P (x)\) ">0.270 | \ (x-\ mu\) ">1.064 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) ">1.132 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) ">0.102 |
| \ (x\) ">4 | \ (P (x)\) ">0.054 | \ (x\ cdot P (x)\) ">0.216 | \ (x-\ mu\) ">2.064 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) ">4.260 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) ">0.230 |
| \ (x\) ">5 | \ (P (x)\) ">0.054 | \ (x\ cdot P (x)\) ">0.270 | \ (x-\ mu\) ">3.064 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) ">9.388 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) ">0.507 |
| \ (x\) ">6 | \ (P (x)\) ">0.036 | \ (x\ cdot P (x)\) ">0.216 | \ (x-\ mu\) ">4.064 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) ">16.516 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) ">0.595 |
| \ (x\) ">7 | \ (P (x)\) ">0.012 | \ (x\ cdot P (x)\) ">0.084 | \ (x-\ mu\) ">5.064 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) ">25.644 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) ">0.308 |
| \ (x\) ">8 | \ (P (x)\) ">0.006 | \ (x\ cdot P (x)\) ">0.048 | \ (x-\ mu\) ">6.064 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) ">36.772 | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) ">0.221 |
| \ (x\) "> Total | \ (P (x)\) "> 1.0 | \ (x\ cdot P (x)\) "> 1.936 =\(\mu\) | \ (x-\ mu\) "> | \ ((x-\ mu) ^ {2}\) "> | \ ((x-\ mu) ^ {2}\ cdot P (x)\) "> 2.919 =\(\sigma^{2}\) |
El número esperado de grandes huracanes atlánticos en cualquier año es 1.936. La varianza poblacional es de 2.919 y la desviación estándar poblacional es de 1.709 huracanes mayores por año.