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# 6.8: Distribución de Poisson

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Las variables aleatorias que se pueden considerar como “Cuántas ocurrencias por periodo de tiempo”, o “Cuántas ocurrencias por región” tienen muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo:

El número de sismos fuertes por año en California.

El número de clientes por hora en un restaurante.

El número de accidentes por semana en una planta manufacturera.

El número de errores por página en un manuscrito.

Si la tasa es constante, estas variables aleatorias seguirán una distribución de Poisson.

La Distribución de Poisson en realidad se deriva de una Distribución Binomial en la que el tamaño de la muestra$$n$$ se vuelve muy grande y la probabilidad de éxito$$p$$ es muy pequeña. Un buen ejemplo de esto es la Lotería Powerball.

Ejemplo: Lotería Powerball

Las probabilidades de ganar el premio mayor de la Lotería Powerball con un solo boleto son de 292,000,000 a 1. Supongamos que el premio mayor se hace grande y se venden 292,000,000 de boletos.

Solución

Let$$X$$ = Número de boletos ganadores del premio mayor vendidos.

Bajo la distribución Binomial,$$n=292,000,000$$ y$$p = 1/292,000,000$$. Tenga en cuenta que$$p$$ está muy cerca de cero, por lo que$$1‐p$$ está muy cerca de 1.

$$\mu=n p=1$$

$$\sigma^{2}=n p(1-p) \approx n p=\mu=1$$

El número de ganadores puede ser modelado por la Distribución de Poisson, en la que el parámetro único$$\(\mu$$ es el número esperado de ganadores; en este caso$$\mu=1$$. Teóricamente podría haber millones de ganadores, por lo que los posibles valores del Poisson está diseñado para que no haya límite teórico para el valor de$$X$$ (aunque hay límites prácticos en problemas de la vida real).

Las características importantes de la distribución de Poisson se muestran aquí:

Distribución de probabilidad de Poisson (parámetro=$$\mu$$)

$$\mu$$= ocurrencias esperadas por periodo de tiempo o región dado. Esta tasa debe ser constante.

$$X$$= número de ocurrencia por periodo de tiempo o región determinados Posibles valores de$$X$$ {0, 1, 2,...} (sin límite superior)

$$\sigma^{2}=\mu$$

$$\sigma=\sqrt{\mu}$$

$$P(x)=\dfrac{e^{-\mu} \mu^{x}}{x !}$$

Ejemplo: Continuación de la Lotería Powerball

$$P(0)=\dfrac{e^{-1} 2^{0}}{0 !}=0.368$$

Encuentra la probabilidad de al menos un ganador del premio mayor. La respuesta calculada directamente es una suma infinita, así que en su lugar usa la Regla de Complemento

$$P(X \geq 1)=P(1)+P(2)+\cdots$$

$$P(X \geq 1)=1-P(0)=1-\dfrac{e^{-1} 2^{0}}{0 !}=0.632$$

Hay un 63.2% de probabilidad de que se venda al menos un boleto ganador.

Ejemplo: Sismos

Los sismos de Richter magnitud 3 o mayor ocurren en una cierta falla a una tasa de dos veces por año. Supongamos que esta tasa es constante.

Solución

Encuentra la probabilidad de al menos un sismo de RM 3 o mayor en el próximo año.

$$\mu=2$$por año.

$$P(X \geq 1)=1-P(0)=1-\dfrac{e^{-2} 2^{0}}{0 !}=0.865$$

Encuentra la probabilidad de exactamente 6 sismos de RM 3 o mayor en los próximos 2 años.

Al determinar el parámetro m para la Distribución de Poisson, asegúrese de que el valor esperado sea a lo largo del periodo de tiempo o región dada en el problema. Dado que estos sismos ocurren a una tasa de 2 por año, esperaríamos 4 sismos en 2 años.

$$\mu$$= (2 por año) (2 años) = 4

$$P(X=6)=\dfrac{e^{-6} 4^{0}}{6 !}=0.104$$

Los métodos de conteo que son modelados por variables aleatorias que siguen una Distribución de Poisson también se denominan Proceso de Poisson.

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