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# 7.3: Distribución Uniforme

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Una distribución uniforme es una variable aleatoria continua en la que todos los valores entre un valor mínimo y un valor máximo tienen la misma probabilidad.

Los dos parámetros que definen la Distribución Uniforme son:

$$a$$= mínimo$$b$$ = máximo

La función de densidad de probabilidad es la función constante$$f(x) = 1/(b‐a)$$, que crea una forma rectangular.

Ejemplo: Té de hojas sueltas

Un amante del té disfruta del té de hojas sueltas Tie Guan Yin y lo bebe frecuentemente. Para ahorrar dinero, cuando el suministro llegue a los 50 gramos comprará este popular té chino en un paquete de 1000 gramos.

La cantidad de té actualmente en stock sigue una variable aleatoria uniforme.

Solución

$$X$$= la cantidad de té actualmente en stock

$$a$$= mínimo = 50 gramos

$$b$$= máximo = 1050 gramos

$$f(x) = 1/(1050 ‐ 50) = 0.001$$

El valor esperado, la varianza poblacional y la desviación estándar se calculan utilizando las fórmulas:

$\mu=\dfrac{a+b}{2} \qquad \sigma^{2}=\dfrac{(b-a)^{2}}{12} \qquad \sigma=\sqrt{\dfrac{(b-a)^{2}}{12}} \nonumber$

Para el problema del té de hojas sueltas:

$$\mu=\dfrac{50+1050}{2}=550$$g

$$\sigma^{2}=\dfrac{(1050-50)^{2}}{12}=83,333$$

$$\sigma=\sqrt{83333}=289$$g

Los problemas de probabilidad pueden resolverse fácilmente encontrando el área de rectángulos.

Encuentra la probabilidad de que haya al menos 700 gramos de té Tie Guan Yin en stock.

$$P(X \geq 700)=\text { width } \times \text { height }=(1050-700)(0.001)=0.35$$

El$$p^{th}$$ percentil de la Distribución Uniforme se calcula usando interpolación lineal:$$x_{p}=a+p(b-a)$$

Encuentra el$$80^{th}$$ percentil de Tie Guan Yin en stock:

$$x_{80}=50+0.80(1050-50)=850$$gramos

Las características importantes de la Distribución Uniforme se resumen aquí:

Distribución Uniforme de Probabilidad (parámetros:$$a, b$$)

$$a$$= valor mínimo

$$b$$= valor máximo

$$a \leq X \leq b$$: Todos los valores de$$X$$ entre$$a$$ y$$b$$ son igualmente probables

$$f(x)=\dfrac{1}{b-a}$$

$$\mu=\dfrac{a+b}{2}$$

$$\sigma^{2}=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}$$

$$\sigma=\sqrt{\dfrac{(b-a)^{2}}{12}}$$

Ejemplo: Esperando un tren

El tren de cercanías Sounder 69 de Lakeview a Seattle, Washington llega a la estación de Tacoma cada 20 minutos durante la hora pico de la mañana. Supongamos que este tren está funcionando a tiempo.

1. Encuentre el tiempo de espera esperado, desviación estándar, nad función de densidad de probabilidad para$$X$$.
2. Encuentra el Rango Intercuartílico para esta Variable Aleatoria. Primero encuentra los cuartiles$$1^{st}$$ y ^ {rd}\).
3. Encuentra la probabilidad de esperar al menos 15 minutos para el siguiente tren de cercanías después de llegar a la estación de Tacoma.
4. Encuentra probabilidades condicionales para la Distribución Uniforme.

Solución

Let$$X$$ = el tiempo de espera para que llegue el siguiente tren. X seguirá una Distribución Uniforme con el tiempo mínimo de espera de 0 minutos (solo toma el tren) y un tiempo máximo de espera de 20 minutos (simplemente pierde el tren).

1. El tiempo de espera esperado es de 10 minutos:$$\mu=\dfrac{0+20}{2}=10$$

La desviación estándar es de 5.77 minutos:$$\sigma^{2}=\dfrac{(20-0)^{2}}{12}=33.33 \quad \sigma=\sqrt{33.33}=5.77$$

La función de densidad de probabilidad para X es:$$f(x)=\dfrac{1}{20-0}=0.05$$

&Q 1=x_ {25} =0+.25 (20-0) =5\\
&Q 3=x_ {75} =0+.75 (20-0) =15

Intercuartil Rango =$$Q 3-Q 1=15-5=10$$ minutos

1. $$P(X \geq 15)=\dfrac{20-15}{20-0}=0.25$$

1. Para encontrar probabilidades condicionales para la Distribución Uniforme, es más fácil simplemente crear una nueva Distribución Uniforme a partir de la información proporcionada.

Después de llegar a la estación de Tacoma, un commuter espera 5 minutos. Encuentra que la probabilidad de que el habitante vaya a esperar al menos 10 minutos adicionales (un total de 15 minutos) antes de que llegue el siguiente tren.

La declaración de probabilidad condicional se puede escribir como$$P(X \geq 15 \mid X \geq 5)$$.

En su lugar, simplemente defina una nueva Variable Aleatoria$$Y$$ = el tiempo de espera total esperado, asumiendo que el viajante espera al menos 5 minutos.

$$a$$= espera mínima = 5 minutos

$$b$$= espera máxima = 20 minutos

$$P(Y \geq 15)=\dfrac{20-15}{20-5}=0.333$$

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