7.4: Distribución Normal

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 151733

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$ \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} $

$ \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} $

$ \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} $

$ \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} $

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$ $\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$ $\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$ $\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$ $\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$ $\newcommand{\evec}{\mathbf e}$ $\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$ $\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$ $\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$ $\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$ $\newcommand{\svec}{\mathbf s}$ $\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$ $\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$ $\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$ $\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$ $\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$ $\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$ $\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$ $\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$ $\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$ $\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$ $\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$ $\newcommand{\real}{\mathbb R}$ $\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$ $\newcommand{\bcal}{\cal B}$ $\newcommand{\ccal}{\cal C}$ $\newcommand{\scal}{\cal S}$ $\newcommand{\wcal}{\cal W}$ $\newcommand{\ecal}{\cal E}$ $\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$ $\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$ $\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$ $\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$ $\newcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\col}{\text{Col}}$ $\renewcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$ $\newcommand{\var}{\text{Var}}$ $\newcommand{\corr}{\text{corr}}$ $\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$ $\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$ $\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$ $\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$ $\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$ $\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$ $\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$ $\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$ $\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$ $\newcommand{\lt}{<}$ $\newcommand{\gt}{>}$ $\newcommand{\amp}{&}$ $\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

La distribución de probabilidad más importante en Estadística es la Distribución Normal, la icónica curva en forma de campana. La Distribución Normal es simétrica y se define por dos parámetros: el valor esperado (media)$\mu$ que describe el centro de la distribución y la desviación estándar$\sigma$, que describe el spread.

La función de distribución de probabilidad extremadamente complicada para la Distribución Normal es:

\[f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}},-\infty<X<\infty \nonumber \]

Aquí se muestran ejemplos de la Distribución Normal.

Hay muchos ejemplos de datos que son simétricos y agrupados hacia la media. Por ejemplo, creamos parcelas de puntos de los pesos de manzanas y naranjas en el Capítulo 2. Se puede ver que ambas gráficas están agrupadas hacia el centro y son simétricas. Una distribución normal sería un modelo apropiado para el peso de manzanas y naranjas

Distribución Normal Estándar

Un caso especial de la Distribución Normal es cuándo$\mu=0$ y$\sigma=1$.

Esta variable aleatoria se conoce como la Distribución Normal Estándar y siempre está representada por la letra$Z$.

Para el cálculo de probabilidades y percentiles de la Distribución Normal se necesitan tablas, calculadoras gráficas o computadoras. Para fines ilustrativos, rellenaremos algunas de estas probabilidades para la Distribución Normal Estándar mostrando áreas bajo la curva:

$P(-1<Z<1)=0.3413+0.3413=0.6826$

$P(-2<Z<2)=0.3413+0.3413+0.1359+0.1359=0.9544$

$P(-3<Z<3)=0.3413+0.3413+0.1359+0.1359+0.0214+0.0214=0.9972$

Esto significa que para la Distribución Normal estándar ese 68% de la probabilidad está entre 1 y ‐1, 95% de la probabilidad está entre ‐2 y 2 y 99.7% de la probabilidad está entre ‐3 y 3.

Estos porcentajes pueden parecer familiares a partir de la Regla Empírica del Capítulo 3.

El 68% de los datos se encuentra dentro de 1 desviación estándar de la media.

El 95% de los datos se encuentra dentro de 2 desviaciones estándar de la media.

El 99.7% de los datos se encuentra dentro de 3 desviaciones estándar de la media.

La Regla Empírica proviene directamente de la Distribución Normal Estándar,$Z$. De hecho, cualquier Variable Normal Aleatoria,$X$ con Valor Esperado$\mu$ y Desviación Estándar se$\sigma$ puede convertir a una Distribución Normal Estándar usando la fórmula:$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$

Ejemplo: Uso de agua

El uso diario de agua por persona en un pueblo normalmente se distribuye con una media (valor esperado) de 20 galones y una desviación estándar de 5 galones.

Determinar la proporción de personas que utilizan entre 15 y 25 galones de agua.
Determinar la proporción de personas que usan entre 10 y 30 galones de agua
¿Entre qué dos valores esperarías encontrar cerca del 95% de los usuarios de agua?

Solución

\ (\ begin {alineado}
P (15<X<25) &=P\ izquierda (\ dfrac {15-20} {5} <Z<\ dfrac {25-20} {5}\ derecha)\\
&=P (-1<Z<1)\\ &=0.6826
\ end {alineado}\)
\ (\ begin {alineado}
P (10<X<30) &=P\ izquierda (\ dfrac {10-20} {5} <Z<\ dfrac {30-20} {5}\ derecha)\\
&=P (-2<Z<2)\\ &=0.9544
\ end {alineado}\)
Ya que$P(-2<Z<2)=0.9544$, podemos decir que alrededor del 95% de los usuarios de agua se encuentran dentro de dos desviaciones estándar de la media, o que utilizan entre 10 y 30 galones por día.

Distribución de probabilidad normal (parámetros:$\mu, \sigma$)

$\mu$= Valor esperado de X, media poblacional

$\sigma$= Desviación estándar poblacional

$f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}},-\infty<X<\infty$

Cálculo de probabilidades	Cálculo de percentiles
\(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\) \(P(a<X<b)=P\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}<Z<\dfrac{b-\mu}{\sigma}\right)\)	\(X=\mu+Z \sigma\) \(P\left(Z<z_{p}\right)=P\left(X<\mu+z_{p} \sigma\right)=p\)

Cálculo de probabilidades

Cálculo de percentiles

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$

$P(a<X<b)=P\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}<Z<\dfrac{b-\mu}{\sigma}\right)$

$X=\mu+Z \sigma$

$P\left(Z<z_{p}\right)=P\left(X<\mu+z_{p} \sigma\right)=p$

En general, las preguntas de probabilidad y percentiles que utilizan la Distribución Normal requerirán tablas o tecnología que puedan calcular probabilidades o percentiles de Distribución Normal para$Z$ valores no enteros

Ejemplo: Uso de agua

El uso diario de agua por persona en un pueblo normalmente se distribuye con una media de 20 galones y una desviación estándar de 5 galones.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona del pueblo seleccionado al azar use menos de 18 galones por persona por día?
¿Qué proporción de las personas usa entre 18 y 24 galones por persona por día?
¿Qué porcentaje de la población utiliza más de 26.2 galones por persona y día?
Se va a cobrar un impuesto especial sobre el 5% superior de los usuarios de agua. Encontrar el valor del uso diario de agua que genera el impuesto especial.

Solución

\ (\ begin {alineado}
P (X<18) &=P\ izquierda (Z<\ dfrac {18-20} {5}\ derecha)\\
&=P (Z<-0.40)\\ &=0.3446
\ end {alineado}\)

\ (\ begin {alineado}
P (18<X<24) &=P\ izquierda (\ dfrac {18-20} {5} <Z<\ dfrac {24-20} {5}\ derecha)\\
&=P (-0.40<Z<0.80)\\ &=0.4435
\ end {alineado}\)

\ (\ begin {alineado}
P (X>26.2) &=P\ left (Z>\ dfrac {26.2-20} {5}\ derecha)\\
&=P (Z>1.24)\\ &=10.75\%
\ end {alineado}\)

Este problema es realmente encontrar el$95^{th}$ percentil.

El$Z$ valor asociado al$95^{th}$ percentil =1.645

$X_{95}=20 + 5(1.645) = 28.2$galones por día

Ejemplo: Gradaje en la curva

El profesor Kurv ha determinado que los promedios finales en su curso de estadística se distribuyen normalmente con una media de 77.1 y una desviación estándar de 11.2. Decide asignar sus calificaciones para su curso actual de tal manera que el 15% superior de los alumnos reciban una A.

¿Cuál es el promedio más bajo que un estudiante puede recibir para obtener una A?

Solución

El 15% superior sería el hallazgo del$85^{th}$ percentil. El$Z$ valor correspondiente es 1.04.

La nota mínima para una A:$X=77.1+(1.04)(11.2)$, o$X=88.75$ puntos.

Ejemplo: sugerencia de servidor

El monto de propina que reciben los servidores en un restaurante exclusivo por turno normalmente se distribuye con una media de $80 y una desviación estándar de $10. Shelli siente que ha prestado un mal servicio si su propina total para el turno es inferior a 65 dólares. (Esto no quiere decir que haya dado un mal servicio, sino que simplemente se sienta como lo hizo).

¿Qué porcentaje del tiempo sentirá que brindó un servicio deficiente?

Solución

Deja$y$ ser la cantidad de propina.

El$Z$ valor asociado a$X=65$ es$Z= (65‐80)/10= ‐1.5$.

Así$P(X<65)=P(Z<-1.5)=.0668$

Search

Text Color

Text Size

Margin Size

Font Type