14.6:\( r^2\), The Correlation of Determination
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En el capítulo anterior sobre estadística descriptiva, se introdujo el coeficiente de correlación (\(r\)), un valor entre ‐1 y 1. Los valores\(r\) cercanos a 0 significaron que hubo poca correlación entre las variables, mientras que los valores más cercanos a 1 o ‐1 representaron correlaciones más fuertes.
En la práctica, la mayoría de los estadísticos e investigadores prefieren utilizar\(r^{2}\), el coeficiente de determinación como medida de fuerza ya que representa la proporción o porcentaje de la variabilidad de\(Y\) que se explica por la variabilidad de\(X\). 87
\(r^{2}=\dfrac{S S_{\text{regression}}{S S_{\text {Total }}} \dquad 0 \% \leq r^{2} \leq 100 \%\)
\(r^{2}\)representa el porcentaje de la variabilidad de\(Y\) que se explica por la variabilidad de\(X\).
También podemos calcular el coeficiente de correlación (\(r\)) tomando la raíz cuadrada apropiada de\(r^{2}\), dependiendo de si la estimación de la pendiente (\(b_1\)) es positiva o negativa:
Si\(b_{1}>0, r=\sqrt{r^{2}}\)
Si\(b_{1}<0, r=-\sqrt{r^{2}}\)
Para los datos de precipitación, el coeficiente de determinación es:
\(r^{2}=\dfrac{341.422}{380}=89.85 \%\)
El 89.85% de la variabilidad de las ventas de gafas de sol se explica por la lluvia.
Podemos calcular el coeficiente de correlación (\(r\)) tomando la raíz cuadrada apropiada de\(r^{2}\):
\(r=-\sqrt{.8985}=-0.9479\)
Aquí tomamos la raíz cuadrada negativa ya que la pendiente de la línea de regresión es negativa. Esto demuestra que existe una correlación fuerte y negativa entre las ventas de gafas de sol y la lluvia.