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# 14.7: Predicción

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Una aplicación valiosa del modelo de regresión es hacer predicciones sobre el valor de la variable dependiente si se conoce la variable independiente.

Considera el ejemplo sobre las ventas de lluvia y gafas de sol. Supongamos que sabemos que una ciudad tiene 22 pulgadas de lluvia. Podemos usar la ecuación de regresión para predecir las ventas de gafas de sol:

$$\hat{Y}=45.647-.767 X$$

$$\hat{Y}_{22}=45.647-.767(22)=28.7$$

Para una ciudad con 22 pulgadas de lluvia anual, el modelo predice ventas de 28.7 por 1000 habitantes.

Para medir la confiabilidad de esta predicción, podemos construir intervalos de confianza. No obstante, primero tenemos que decidir qué estamos estimando. Podríamos (1) estar estimando las ventas esperadas para una ciudad con 22 pulgadas de lluvia, o podríamos (2) estar prediciendo las ventas reales para una ciudad con 22 pulgadas de lluvia.

En la gráfica mostrada, la línea verde representa$$Y=\beta_{0}+\beta_{1} X+\varepsilon$$ la línea de regresión real que es desconocida. La línea roja representa la ecuación de mínimos cuadrados$$\hat{Y}=45.647-.767 X$$, que se deriva de los datos. El punto negro representa nuestra predicción$$Y_{22}=28.7$$. El punto verde representa el valor esperado de la población correcta$$Y_{22}$$, mientras que el punto amarillo representa un valor posible para el valor real previsto de$$Y_{22}$$. Hay más incertidumbre en la predicción de un valor real de$$Y_x$$ que el valor esperado.

##### Intervalo de confianza e intervalo de predicción

El intervalo de confianza para el valor esperado de$$Y$$ para un valor dado de$$X$$ viene dado por:

$\hat{Y}_{X} \pm t \cdot s_{e} \sqrt{\dfrac{1}{n}+\dfrac{(X-\bar{X})^{2}}{S S X}} \nonumber$

Grados de libertad para$$t =n‐2$$

El intervalo de predicción para el valor real de$$Y$$ para un valor dado de$$X$$ viene dado por:

$\hat{Y}_{X} \pm t \cdot S_{e} \sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(X-\bar{X})^{2}}{S S X}} \nonumber$

Grados de libertad para$$t =n‐2$$

##### Ejemplo: venta de gafas de sol de lluvia
1. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para el valor esperado de las ventas para una ciudad con 22 pulgadas de lluvia.
2. Encuentre un intervalo de predicción del 95% para el valor de las ventas para una ciudad con 22 pulgadas de lluvia.

Solución

1. Intervalo de confianza

$$28.7 \pm 3.182 \cdot 3.586 \sqrt{\dfrac{1}{5}+\dfrac{(22-23)^{2}}{580}}=28.7 \pm 5.1 \rightarrow(23.6,33.8)$$

Estamos 95% seguros de que las ventas anuales esperadas de gafas de sol para una ciudad con 22 pulgadas de lluvia anual están entre 23.6 y 33.8 ventas por cada 1000 habitantes.

1. Intervalo de predicción

$$28.7 \pm 3.182 \cdot 3.586 \sqrt{1+\dfrac{1}{5}+\dfrac{(22-23)^{2}}{580}}=28.7 \pm 12.5 \rightarrow(16.2,41.2)$$

Estamos 95% seguros de que las ventas anuales reales de gafas de sol para una ciudad con 22 pulgadas de lluvia anual están entre 16.2 y 41.2 ventas por cada 1000 habitantes.

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