1.11: Notación de suma

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Objetivos de aprendizaje

Usar notación de suma para expresar la suma de todos los números
Usar notación de suma para expresar la suma de un subconjunto de números
Usar notación de suma para expresar la suma de cuadrados

Muchas fórmulas estadísticas implican sumar números. Afortunadamente hay una notación conveniente para expresar la suma. Esta sección cubre los fundamentos de esta notación de suma.

Digamos que tenemos una variable\(X\) que representa los pesos (en gramos) de\(4\) las uvas. Los datos se muestran en la Tabla\(\PageIndex{1}\).

Tabla\(\PageIndex{1}\): *Pesos de\(4\)* *uvas.*
Uva	X
1	4.6
2	5.1
3	4.9
4	4.4

Etiquetamos el\(1's\) peso de la uva\(X_1\)\(X_2\), el\(2's\) peso de la uva, etc. La siguiente fórmula significa resumir los pesos de las cuatro uvas:

\[ \sum_{i=1}^4 X_i \]

La letra griega sigma mayúscula (\(\sum\)) indica suma. El "\(i = 1\)" en la parte inferior indica que la suma es para comenzar\(X_1\) y el\(4\) en la parte superior indica que la suma terminará con\(X_4\). El "\(X_i\)" indica que\(X\) es la variable a sumar a medida que\(i\) va de\(1\) a\(4\). Por lo tanto,

\[ \sum_{i=1}^4 X_i = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 = 4.6 + 5.1 + 4.9 + 4.4 = 19.0 \]

El símbolo

\[ \sum_{i=1}^3 X_i \]

indica que sólo se van a sumar los primeros\(3\) puntajes. La variable índice\(i\) va de\(1\) a\(3\).

Cuando se van a sumar todas las puntuaciones de una variable (como\(X\)), a menudo es conveniente usar la siguiente notación abreviada:

\[ \sum X \]

Así, cuando no se muestran valores de i, significa sumar todos los valores de\(X\).

Muchas fórmulas implican cuadrar números antes de que se sumaran. Esto se indica como

\[ \sum X^2 = 4.62 + 5.12 + 4.92 + 4.42 = 21.16 + 26.01 + 24.01 + 19.36 = 90.54 \]

Observe que:

\[ \left(\sum X \right)^2 \neq \sum X^2 \]

porque la expresión de la izquierda significa sumar todos los valores de\(X\) y luego cuadrar la suma (\(19^2 = 361\)), mientras que la expresión de la derecha significa cuadrar los números y luego sumar los cuadrados (\(90.54\), como se muestra).

Algunas fórmulas involucran la suma de productos cruzados. En la tabla se\(\PageIndex{2}\) muestran los datos para las variables\(X\) y\(Y\). Los productos cruzados (\(XY\)) se muestran en la tercera columna. La suma de los productos cruzados es\(3+4+21 = 28\).

Mesa\(\PageIndex{2}\): *Productos Cruzados.*
X	Y	XY
1	3	3
2	2	4
3	7	21

En notación sumativa, esto está escrito como:

\[\sum XY = 28.\]

David M. Lane