3.17: Efectos de las Transformaciones Lineales
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- Calcule la media de una variable transformada
- Calcule la varianza de una variable transformada
Esta sección cubre los efectos de las transformaciones lineales sobre medidas de tendencia central y variabilidad. Empecemos con un ejemplo que vimos antes en la sección que definió la transformación lineal: las temperaturas de las ciudades. En la tabla se\(\PageIndex{1}\) muestran las temperaturas de\(5\) las ciudades.
| Ciudad | Grados Fahrenheit | Grados Centígrados |
|---|---|---|
| Houston Chicago Mineápolis Miami Phoenix |
54 37 31 78 70 |
12.22 2.78 -0.56 25.56 21.11 |
Mediana media |
54.000 54.000 |
12.220 12.220 |
| Varianza | 330.00 | 101.852 |
| SD | 18.166 | 10.092 |
Recordemos que para transformar los grados Fahrenheit a grados centígrados, utilizamos la fórmula
\[C = 0.556F - 17.778\]
lo que significa que multiplicamos cada temperatura Fahrenheit por\(0.556\) y luego restamos\(17.778\). Como habrías esperado, multiplicas la temperatura media en Fahrenheit por\(0.556\) y luego restas\(17.778\) para obtener la media en Centígrados. Es decir,\((0.556)(54) - 17.778 = 12.22\). Lo mismo es cierto para la mediana. Obsérvese que esta relación se mantiene aunque la media y la mediana no sean idénticas como están en la Tabla\(\PageIndex{1}\).
La fórmula para la desviación estándar es igual de simple: la desviación estándar en grados centígrados es igual a la desviación estándar en grados Fahrenheit veces\(0.556\). Dado que la varianza es la desviación estándar al cuadrado, la varianza en grados centígrados es igual a\(0.5562^2\) veces la varianza en grados Fahrenheit.
Para resumir, si una variable\(X\) tiene una media de\(\mu\), una desviación estándar de\(\sigma\), y una varianza de\(\sigma ^2\), entonces una nueva variable\(Y\) creada usando la transformación lineal
\[Y = bX + A\]
tendrá una media de\(b\mu + A\), una desviación estándar de\(b\sigma\), y una varianza de\(b^2\sigma ^2\).
Cabe señalar que el término “transformación lineal” se define de manera diferente en el campo del álgebra lineal. Para más detalles, siga este enlace.