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9.7: Distribución de muestreo de r de Pearson

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Objetivos de aprendizaje

• Transformar$$r$$ a$$z'$$
• Calcular la probabilidad de obtener un valor$$r$$ por encima de un valor especificado

Supongamos que la correlación entre los puntajes SAT cuantitativos y verbales en una población determinada es$$0.60$$. En otras palabras,$$\rho =0.60$$. Si$$12$$ los estudiantes fueran muestreados aleatoriamente, la correlación muestral$$r$$,, no sería exactamente igual a$$0.60$$. Naturalmente diferentes muestras de$$12$$ estudiantes producirían diferentes valores de$$r$$. La distribución de valores de$$r$$ después de muestras repetidas de$$12$$ estudiantes es la distribución muestral de$$r$$.

La forma de la distribución de$$r$$ muestreo del ejemplo anterior se muestra en la Figura$$\PageIndex{1}$$. Se puede ver que la distribución de muestreo no es simétrica: está sesgada negativamente. La razón del sesgo es que$$r$$ no puede tomar valores mayores que$$1.0$$ y por lo tanto la distribución no puede extenderse tan lejos en la dirección positiva como puede en la dirección negativa. Cuanto mayor sea el valor de$$\rho$$, más pronunciado es el sesgo.

La figura$$\PageIndex{2}$$ muestra la distribución de muestreo para$$\rho =0.90$$. Esta distribución tiene una cola positiva muy corta y una cola larga negativa.

Refiriéndose de nuevo al ejemplo del SAT, supongamos que quería saber la probabilidad de que en una muestra de$$12$$ alumnos, el valor muestral de$$r$$ sea$$0.75$$ o superior. Se podría pensar que todo lo que necesitaría saber para calcular esta probabilidad es la media y el error estándar de la distribución de muestreo de$$r$$. No obstante, dado que la distribución del muestreo no es normal, todavía no se podría resolver el problema. Afortunadamente, el estadístico Fisher desarrolló una forma de transformarse$$r$$ a una variable que normalmente se distribuye con un error estándar conocido. Se llama a la variable$$z'$$ y a continuación se da la fórmula para la transformación.

$z' = 0.5\: \ln \frac{1+r}{1-r}$

Los detalles de la fórmula no son importantes aquí ya que normalmente usarás ya sea una tabla, Pearson r a Fisher z' o calculadora para hacer la transformación. Lo importante es que$$z'$$ se distribuya normalmente y tenga un error estándar de

$\frac{1}{\sqrt{N-3}}$

donde$$N$$ está el número de pares de puntajes.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Volvamos a la cuestión de determinar la probabilidad de obtener una correlación muestral de$$0.75$$ o superior en una muestra$$12$$ de una población con una correlación de$$0.60$$.

Solución

El primer paso es convertir ambos$$0.60$$ y$$0.75$$ a sus$$z'$$ valores, que son$$0.693$$ y$$0.973$$, respectivamente.

El error estándar de$$z'$$ for$$N = 12$$ es$$0.333$$.

Por lo tanto, la pregunta se reduce a lo siguiente: dada una distribución normal con una media de$$0.693$$ y una desviación estándar de$$0.333$$, ¿cuál es la probabilidad de obtener un valor de$$0.973$$ o superior?

La respuesta se puede encontrar directamente desde el applet “Calcular Área para una X dada” a ser$$0.20$$.

Alternativamente, podrías usar la fórmula:

$z = \frac{X - \mu }{\sigma } = \frac{0.973 - 0.693}{0.333} = 0.841$

y usa una mesa para encontrar que el área de arriba$$0.841$$ es$$0.20$$.

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