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# 18.6: Aleatorización de Rango Dos Condiciones

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Objetivos de aprendizaje

• Indicar la diferencia entre una prueba de aleatorización y una prueba de aleatorización de rangos
• Describir por qué las pruebas aleatorias de rango son más comunes
• Ser capaz de calcular una$$U$$ prueba de Mann-Whitney

El principal problema con las pruebas de aleatorización es que son muy difíciles de calcular. Las pruebas de aleatorización de rangos se realizan convirtiendo primero los puntajes a rangos y luego calculando una prueba de aleatorización. La principal ventaja de las pruebas de aleatorización de rangos es que existen tablas que pueden ser utilizadas para determinar la significancia. La desventaja es que se pierde cierta información cuando los números se convierten a rangos. Por lo tanto, las pruebas de aleatorización de rangos son generalmente menos potentes que las pruebas de aleatorización basadas en los números originales

Existen varios nombres para las pruebas de aleatorización de rangos para las diferencias en la tendencia central. Las dos más comunes son la prueba de Mann-Whitney y la$$U$$ prueba de Wilcoxon Rank Sum.

Considere los datos mostrados en la Tabla$$\PageIndex{1}$$ que se utilizaron como ejemplo en la sección de pruebas de aleatorización.

Tabla$$\PageIndex{1}$$: Datos ficticios
Experimental Control
7 0
8 2
11 5
30 9

Una prueba de aleatorización de rangos en estos datos comienza convirtiendo los números a rangos.

Cuadro$$\PageIndex{2}$$: Datos ficticios convertidos a rangos. Suma de rango =$$24$$
Experimental Control
4 1
5 2
7 3
8 6

El valor de probabilidad se determina calculando la proporción de los posibles arreglos de estos rangos que dan como resultado una diferencia entre rangos tan grandes o mayores que los de los datos reales (Tabla$$\PageIndex{2}$$). Dado que la suma de los rangos (los números$$1-8$$) es una constante ($$36$$en este caso), podemos utilizar el atajo computacional de encontrar la proporción de arreglos para los que la suma de los rangos en el Grupo Experimental es tan alta o superior a la suma aquí ($$4 + 5 + 7 + 8 = 24$$).

Primero, considere cuántas formas podrían dividirse los$$8$$ valores en dos conjuntos de$$4$$. Podemos aplicar la fórmula de la sección de Permutaciones y Combinaciones para el número de combinaciones de$$n$$ elementos tomados$$r$$ a la vez ($$\text{n = the total number of observations; r = the number of observations in the first group}$$) y encontrar que hay$$70$$ formas.

$_{n}\textrm{C}_r = \frac{n!}{(n-r)!r!} = \frac{8!}{(8-4)!4!} = 70$

De estas$$70$$ formas de dividir los datos, ¿cuántas resultan en una suma de rangos de$$24$$ o más? Las tablas$$3-5$$ muestran tres reordenamientos que conducirían a una suma de rango de$$24$$ o mayor.

Cuadro$$\PageIndex{3}$$: Reordenamiento de datos convertidos a rangos. Suma de rango =$$26$$
Experimental Control
6 1
5 2
7 3
8 4
Cuadro$$\PageIndex{4}$$: Reordenamiento de datos convertidos a rangos. Suma de rango =$$25$$
Experimental Control
4 1
6 2
7 3
8 5
Cuadro$$\PageIndex{5}$$: Reordenamiento de datos convertidos a rangos. Suma de rango =$$24$$
Experimental Control
3 1
6 2
7 4
8 5

Por lo tanto, los datos reales representan$$1$$ arreglos con una suma de rango de$$24$$ o más y los$$3$$ arreglos representan otros tres. Por lo tanto, hay$$4$$ arreglos con una suma de rango de$$24$$ o más. Esto hace que la probabilidad sea igual a$$4/70 = 0.057$$. Dado que solo se considera una dirección de diferencia (Experimental mayor que Control), esta es una probabilidad de una cola. La probabilidad de dos colas es$$(2)(0.057) = 0.114$$ ya que hay$$8/70$$ formas de organizar los datos para que la suma de los rangos sea

1. como grandes o más grandes o
2. tan pequeña o menor que la suma encontrada para los datos reales.

Al inicio de esta sección se indicó que las pruebas de aleatorización de rangos fueron más fáciles de calcular que las pruebas de aleatorización porque las tablas están disponibles para las pruebas de aleatorización Tabla se$$\PageIndex{6}$$ puede utilizar para obtener los valores críticos para tamaños de muestra iguales de$$4-10$$.

Tabla para tamaños de muestra desiguales

Para los presentes datos, ambos$$n_1$$ y$$n_2 = 4$$ así, como se puede determinar a partir de la tabla, la suma de rangos para el Grupo Experimental debe ser al menos$$25$$ para que la diferencia sea significativa en el$$0.05$$ nivel (de una cola). Dado que la suma de rangos es igual$$24$$, el valor de probabilidad está algo por encima$$0.05$$. De hecho, al contar los arreglos con la suma de rangos mayor o igual a$$24$$, encontramos que el valor de probabilidad es$$0.057$$. Naturalmente, una tabla solo puede dar el valor crítico en lugar del$$p$$ valor en sí. Sin embargo, con un tamaño de muestra mayor, como$$10$$ sujetos por grupo, se vuelve muy lento contar todos los arreglos igualando o excediendo la suma de rango de los datos. Por lo tanto, por razones prácticas, el valor crítico a veces es suficiente.

Cuadro$$\PageIndex{6}$$: Valores críticos. Prueba de una cola. Suma de rango para Grupo Superior
n 1 n 2 0.20 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
4 4 22 23 25 26 . .
5 5 33 35 36 38 39 40
6 6 45 48 50 52 54 55
7 7 60 64 66 69 71 73
8 8 77 81 85 87 91 93
9 9 96 101 105 109 112 115
10 10 117 123 128 132 136 139

Para tamaños de muestra más grandes que los cubiertos en las tablas, puede usar la siguiente expresión que se distribuye aproximadamente normalmente para tamaños de muestra moderados a grandes.

$Z=\frac{W_a-n_a(n_a+n_b+1)/2}{\sqrt{n_an_b(n_a+n_b+1)/12}}$

donde:

• $$W_a$$es la suma de las filas para el primer grupo
• $$n_a$$es el tamaño de la muestra para el primer grupo
• $$n_b$$es el tamaño de la muestra para el segundo grupo
• $$Z$$es el estadístico de prueba

El valor de probabilidad se puede determinar a partir del$$Z$$ uso de la calculadora de distribución normal.

Los datos del Estudio de Caso de Estereogramas se pueden analizar mediante esta prueba. Para estos datos, la suma de los rangos para el Grupo 1 ($$W_a$$) es$$1911$$, el tamaño de la muestra para el Grupo 1 ($$n_a$$) es$$43$$, y el tamaño de la muestra para el Grupo 2 ($$n_b$$) es$$35$$. Al enchufar estos valores a la fórmula resulta en una$$Z$$ de$$2.13$$, que tiene una de dos colas$$p$$ de$$0.033$$.

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