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# 3.5: Tablas de Contingencia

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Una tabla de contingencia proporciona una forma de retratar datos que pueden facilitar el cálculo de probabilidades. La tabla ayuda a determinar las probabilidades condicionales con bastante facilidad. La tabla muestra valores de muestra en relación con dos variables diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí. Posteriormente volveremos a utilizar mesas de contingencia, pero de otra manera.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Supongamos que un estudio de violaciones por exceso de velocidad y conductores que utilizan teléfonos celulares produjeron los siguientes datos ficticios:

Violación por exceso de velocidad en el último año No hay violación por exceso de velocidad en el último año Total
Usuario de celular 25 280 305
No es un usuario de teléfono celular 45 405 450
Total 70 685 755

El número total de personas en la muestra es de 755. Los totales de fila son 305 y 450. Los totales de las columnas son 70 y 685. Observe que 305 + 450 = 755 y 70 + 685 = 755.

Calcula las siguientes probabilidades usando la tabla.

1. Encontrar$$P(\text{Person is a cell phone user})$$.
2. Encontrar$$P(\text{person had no violation in the last year})$$.
3. Encontrar$$P(\text{Person had no violation in the last year AND was a cell phone user})$$.
4. Encontrar$$P(\text{Person is a cell phone user OR person had no violation in the last year})$$.
5. Encontrar$$P(\text{Person is a cell phone user GIVEN person had a violation in the last year})$$.
6. Encuentra$$P(\text{Person had no violation last year GIVEN person was not a cell phone user})$$

Responder

1. $$\dfrac{\text{number of cell phone users}}{\text{total number in study}}$$=$$\dfrac{305}{755}$$
2. $$\dfrac{\text{number that had no violation}}{\text{total number in study}} = \dfrac{685}{755}$$
3. $$\dfrac{280}{755}$$
4. $$\left(\dfrac{305}{755} + \dfrac{685}{755}\right) - \dfrac{280}{755} = \dfrac{710}{755}$$
5. $$\dfrac{25}{70}$$(El espacio muestral se reduce al número de personas que tuvieron una violación).
6. $$\dfrac{405}{450}$$(El espacio muestral se reduce al número de personas que no eran usuarios de teléfonos celulares).

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

En la tabla se muestra el número de atletas que se estiran antes de hacer ejercicio y cuántos tuvieron lesiones en el último año.

Lesión en el último año No hubo lesiones en el año pasado Total
Estiramientos 55 295 350
No se estira 231 219 450
Total 286 514 800
1. ¿Qué es$$P(\text{athlete stretches before exercising})$$?
2. ¿Qué es$$P(\text{athlete stretches before exercising|no injury in the last year})$$?

Responder

1. $$P(\text{athlete stretches before exercising}) = \dfrac{350}{800} = 0.4375$$
2. $$P(\text{athlete stretches before exercising|no injury in the last year}) = \dfrac{295}{514} = 0.5739$$

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

En la tabla se muestra una muestra aleatoria de 100 excursionistas y las zonas de senderismo que prefieren.

Preferencia de zona de senderismo
Sexo La costa Cerca de lagos y arroyos En los picos de las montañas Total
Hembra 18 16 ___ 45
Macho ___ ___ 14 55
Total ___ 41 ___ ___
1. Completa la tabla.
2. ¿Los eventos son “ser femeninos” y “preferir la costa” eventos independientes? Dejar F = ser femenino y dejar C = prefiriendo la costa.
1. Encuentra P (F Y C).
2. Buscar P (F) P (C)
3. ¿Estos dos números son iguales? Si lo son, entonces F y C son independientes. Si no lo son, entonces F y C no son independientes.
3. Encuentra la probabilidad de que una persona sea masculina dado que la persona prefiere hacer senderismo cerca de lagos y arroyos. Deja$$\text{M} =$$ ser macho, y deja que$$\text{L} =$$ prefiera hacer senderismo cerca de lagos y arroyos.
1. ¿Qué palabra te dice que esto es un condicional?
2. Rellene los espacios en blanco y calcule la probabilidad:$$P$$ (___|___) = ___.
3. ¿El espacio de muestra para este problema es la totalidad de los 100 excursionistas? Si no, ¿qué es?
4. Encuentra la probabilidad de que una persona sea femenina o prefiera hacer senderismo en las cumbres de las montañas. Dejar$$\text{F} =$$ ser femenino, y dejar que$$\text{P} =$$ prefiera los picos de las montañas.
1. Encontrar$$P(\text{F})$$.
2. Encontrar$$P(\text{P})$$.
3. Encontrar$$P(\text{F AND P})$$.
4. Encontrar$$P(\text{F OR P})$$.

Respuesta s

a.

Preferencia de zona de senderismo
Sexo La costa Cerca de lagos y arroyos En los picos de las montañas Total
Hembra 18 16 11 45
Macho 16 25 14 55
Total 34

41

25 100

b.

$$P(\text{F AND C}) = \dfrac{18}{100} = 0.18$$

$$P(\text{F})P(\text{C}) = \left(\dfrac{45}{100}\right) \left(\dfrac{34}{100}\right) = (0.45)(0.34) = 0.153$$

$$P(\text{F AND C}) \neq P(\text{F})P(\text{C})$$, por lo que los acontecimientos$$\text{F}$$ y no$$\text{C}$$ son independientes.

c.

1. La palabra 'dado' te dice que esto es un condicional.
2. $$P(\text{M|L}) = \dfrac{25}{41}$$
3. No, el espacio muestral para este problema son los 41 excursionistas que prefieren lagos y arroyos.

d.

1. Encontrar$$P(\text{F})$$.
2. Encontrar$$P(\text{P})$$.
3. Encontrar$$P(\text{F AND P})$$.
4. Encontrar$$P(\text{F OR P})$$.

d.

1. $$P(\text{F}) = \dfrac{45}{100}$$
2. $$P(\text{P}) = \dfrac{25}{100}$$
3. $$P(\text{F AND P}) = \dfrac{11}{100}$$
4. $$P(\text{F OR P}) = \dfrac{45}{100} + \dfrac{25}{100} - \dfrac{11}{100} = \dfrac{59}{100}$$

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

En el cuadro se muestra una muestra aleatoria de 200 ciclistas y las rutas que prefieren. Dejemos que$$\text{M} =$$ los machos y el camino$$\text{H} =$$ montañoso.

Género Sendero del Lago Sendero Colinoso Sendero Arbolado Total
Hembra 45 38 27 110
Macho 26 52 12 90
Total 71 90 39 200
1. Fuera de los machos, ¿cuál es la probabilidad de que el ciclista prefiera un camino montañoso?
2. ¿Son los eventos “ser masculinos” y “preferir el camino montañoso” eventos independientes?

Responder

1. P (H | M) =$$\dfrac{52}{90}$$ = 0.5778
2. Para que M y H sean independientes, mostrar P (H | M) = P (H)
P (H | M) = 0.5778, P (H) =$$\dfrac{90}{200}$$ = 0.45
P (H | M) no es igual a P (H) por lo que M y H NO son independientes.

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Muddy Mouse vive en una jaula con tres puertas. Si Muddy sale por la primera puerta, la probabilidad de que sea atrapado por Alissa el gato es$$\dfrac{1}{5}$$ y la probabilidad de que no sea atrapado es$$\dfrac{4}{5}$$. Si sale por la segunda puerta, la probabilidad de que Alissa lo$$\dfrac{1}{4}$$ atrape es y la probabilidad de que no sea atrapado es$$\dfrac{3}{4}$$. La probabilidad de que Alissa atrapa a Muddy saliendo de la tercera puerta es$$\dfrac{1}{2}$$ y la probabilidad de que no atrape a Muddy es$$\dfrac{1}{2}$$. Es igualmente probable que Muddy elija cualquiera de las tres puertas por lo que la probabilidad de elegir cada puerta es$$\dfrac{1}{3}$$.

Elección de puerta
Atrapados o no Puerta Uno Puerta Dos Puerta Tres Total
Atrapado $$\dfrac{1}{15}$$ $$\dfrac{1}{12}$$ $$\dfrac{1}{6}$$ ____
No Atrapado $$\dfrac{4}{15}$$ $$\dfrac{3}{12}$$ $$\dfrac{1}{6}$$ ____
Total ____ ____ ____ 1
• La primera entrada$$\dfrac{1}{15} = \left(\dfrac{1}{5}\right) \left(\dfrac{1}{3}\right)$$ es$$P(\text{Door One AND Caught})$$
• La entrada$$\dfrac{4}{15} = \left(\dfrac{4}{5}\right) \left(\dfrac{1}{3}\right)$$ es$$P(\text{Door One AND Not Caught})$$

Verificar las entradas restantes.

1. Completar la tabla de contingencia de probabilidad. Calcular las entradas para los totales. Verifique que la entrada de la esquina inferior derecha sea 1.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que Alissa no atrape a Muddy?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que Muddy elija Door One OR Door Two dado que Muddy es atrapado por Alissa?

Solución

Elección de puerta
Atrapados o no Puerta Uno Puerta Dos Puerta Tres Total
Atrapado $$\dfrac{1}{15}$$ $$\dfrac{1}{12}$$ $$\dfrac{1}{6}$$ $$\dfrac{19}{60}$$
No Atrapado $$\dfrac{4}{15}$$ $$\dfrac{3}{12}$$ $$\dfrac{1}{6}$$ $$\dfrac{41}{60}$$
Total $$\dfrac{5}{15}$$ $$\dfrac{4}{12}$$ $$\dfrac{2}{6}$$ 1

b.$$\dfrac{41}{60}$$

c.$$\dfrac{9}{19}$$

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

El cuadro contiene el número de delitos por cada 100 mil habitantes de 2008 a 2011 en Estados Unidos.

Índice de Delincuencia de Estados Unidos Tasas Por 100 mil habitantes 2008—2011
Año Robo Robo Violación Vehículo Total
2008 145.7 732.1 29.7 314.7
2009 133.1 717.7 29.1 259.2
2010 119.3 701 27.7 239.1
2011 113.7 702.2 26.8 229.6
Total

TOTAL cada columna y cada fila. Datos totales = 4,520.7

1. Encontrar$$P(\text{2009 AND Robbery})$$.
2. Encontrar$$P(\text{2010 AND Burglary})$$.
3. Encontrar$$P(\text{2010 OR Burglary})$$.
4. Encontrar$$P(\text{2011|Rape})$$.
5. Encontrar$$P(\text{Vehicle|2008})$$.

Responder

a. 0.0294, b. 0.1551, c. 0.7165, d. 0.2365, e. 0.2575

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

La tabla relaciona los pesos y alturas de un grupo de individuos que participan en un estudio observacional.

Peso/Altura Alto Mediano Corto Totales
Obesos 18 28 14
Normal 20 51 28
Con bajo peso 12 25 9
Totales
1. Encuentra el total para cada fila y columna
2. Encuentra la probabilidad de que un individuo elegido aleatoriamente de este grupo sea Alto.
3. Encuentra la probabilidad de que un individuo elegido al azar de este grupo sea Obeso y Alto.
4. Encuentra la probabilidad de que un individuo escogido aleatoriamente de este grupo sea Alto dado que el idividual es Obeso.
5. Encuentra la probabilidad de que un individuo escogido aleatoriamente de este grupo sea Obeso dado que el individuo es Alto.
6. Encuentra la probabilidad de que un individuo elegido al azar de este grupo sea Alto y Bajo Peso.
7. ¿Los eventos son Obesos y Tall independientes?

Responder

Peso/Altura Alto Mediano Corto Totales
Obesos 18 28 14 60
Normal 20 51 28 99
Con bajo peso 12 25 9 46
Totales 50 104 51 205
1. Totales de Fila: 60, 99, 46. Totales de columnas: 50, 104, 51.
2. $$P(\text{Tall}) = \dfrac{50}{205} = 0.244$$
3. $$P(\text{Obese AND Tall}) = \dfrac{18}{205} = 0.088$$
4. $$P(\text{Tall|Obese}) = \dfrac{18}{60} = 0.3$$
5. $$P(\text{Obese|Tall}) = \dfrac{18}{50} = 0.36$$
6. $$P(\text{Tall AND Underweight}) = \dfrac{12}{205} = 0.0585$$
7. No. $$P(\text{Tall})$$no es igual$$P(\text{Tall|Obese})$$.

## Referencias

1. “Tipos de sangre”. Cruz Roja Americana, 2013. Disponible en línea en www.redcrossblood.org/learn-a... od/blood-types (consultado el 3 de mayo de 2013).
2. Datos del Centro Nacional de Estadísticas de Salud, parte del Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos.
3. Datos del Senado de Estados Unidos. Disponible en línea en www.senate.gov (consultado el 2 de mayo de 2013).
4. Himan, Christopher A., Daniel O. Stram, Lynn R. Wilkens, Malcom C. Pike, Laurence N. Kolonel, Brien E. Henderson y Loīc Le Marchand. “Diferencias étnicas y raciales en el riesgo de cáncer de pulmón relacionado con el tabaquismo”. The New England Journal of Medicine, 2013. Disponible en línea en http://www.nejm.org/doi/full/10.1056/NEJMoa033250 (consultado el 2 de mayo de 2013).
5. “Tipos de Sangre Humana”. Unite Blood Services, 2011. Disponible en línea en www.UnitedBloodServices.org/LearnMore.aspx (consultado el 2 de mayo de 2013).
6. Samuel, T. M. “Hechos extraños sobre RH Negativo Sangre.” eHow Salud, 2013. Disponible en línea en www.ehow.com/facts_5552003_st... ive-blood.html (consultado el 2 de mayo de 2013).
7. “Estados Unidos: Reporte Uniforme de Delitos — Estadísticas Estatales de 1960—2011”. El Centro de Desastres. Disponible en línea en http://www.disastercenter.com/crime/ (consultado el 2 de mayo de 2013).

## Revisar

Existen varias herramientas que puede utilizar para ayudar a organizar y ordenar los datos al calcular las probabilidades. Las tablas de contingencia ayudan a mostrar datos y son particularmente útiles a la hora de calcular probabilidades que tienen múltiples variables dependientes.

Utilice la siguiente información para responder a los siguientes cuatro ejercicios. En la tabla se muestra una muestra aleatoria de músicos y cómo aprendieron a tocar sus instrumentos.

Género Autodidacta Estudió en la Escuela Instrucción Privada Total
Hembra 12 38 22 72
Macho 19 24 15 58
Total 31 62 37 130

Ejercicio 3.5.4

Find P (el músico es una mujer).

Ejercicio 3.5.5

Encontrar$$P(\text{musician is a male AND had private instruction})$$.

Responder

$$P(\text{musician is a male AND had private instruction}) = \dfrac{15}{130} = \dfrac{3}{26} = 0.12$$

Ejercicio 3.5.6

Find P (el músico es una mujer O es autodidacta).

Ejercicio 3.5.7

¿Los eventos “ser músico femenina” y “aprender música en la escuela” son eventos mutuamente excluyentes?

Responder

Los eventos no son mutuamente excluyentes. Es posible ser una músico femenina que aprendió música en la escuela.

## Reuniéndolo

Utilice la siguiente información para responder a los siguientes siete ejercicios. Un artículo en el New England Journal of Medicine, informó sobre un estudio de fumadores en California y Hawai. En una parte del reporte, se dieron los niveles de etnia autoreportada y tabaquismo por día. De las personas que fuman como máximo diez cigarrillos diarios, había 9 mil 886 afroamericanos, 2 mil 745 nativos hawaianos, 12 mil 831 latinos, 8 mil 378 japoneses americanos y 7 mil 650 blancos. De las personas que fumaban de 11 a 20 cigarrillos diarios, había 6 mil 514 afroamericanos, 3 mil 062 nativos hawaianos, 4 mil 932 latinos, 10 mil 680 japoneses americanos y 9 mil 877 blancos. De las personas que fumaban de 21 a 30 cigarrillos diarios, había 1,671 afroamericanos, 1,419 nativos hawaianos, 1,406 latinos, 4,715 japoneses-americanos y 6,062 blancos. De las personas que fuman al menos 31 cigarrillos al día, había 759 afroamericanos, 788 nativos hawaianos, 800 latinos, 2,305 japoneses-americanos y 3,970 blancos.

Ejercicio 3.5.8

Completar la tabla utilizando los datos proporcionados. Supongamos que una persona del estudio es seleccionada al azar. Encuentra la probabilidad de que la persona haya fumado de 11 a 20 cigarrillos por día.

Niveles de tabaquismo por origen
Nivel de tabaquismo Afroamericano Nativo hawaiano Latino Japoneso-americanos Blanco TOTALES
1—10
11—20
21—30
31+
TOTALES

Ejercicio 3.5.9

Supongamos que una persona del estudio es seleccionada al azar. Encuentra la probabilidad de que la persona haya fumado de 11 a 20 cigarrillos por día.

Contestar

$$\dfrac{35,065}{100,450}$$

Ejercicio 3.5.10

Encuentra la probabilidad de que la persona sea latina.

Ejercicio 3.5.11

En palabras, explique lo que significa elegir a una persona del estudio que sea “japonesa-estadounidense Y fume de 21 a 30 cigarrillos por día”. Además, encuentra la probabilidad.

Contestar

Elegir a una persona del estudio que sea japonesa-americana Y fume de 21 a 30 cigarrillos al día significa que la persona tiene que cumplir con ambos criterios: tanto japoneses-americanos como fuma de 21 a 30 cigarrillos. El espacio muestral debe incluir a todos en el estudio. La probabilidad es$$\dfrac{4,715}{100,450}$$.

Ejercicio 3.5.12

En palabras, explique lo que significa elegir a una persona del estudio que sea “japoneso-estadounidense O fuma de 21 a 30 cigarrillos por día”. Además, encuentra la probabilidad.

Ejercicio 3.5.13

En palabras, explique lo que significa elegir a una persona del estudio que sea “japonesa-estadounidense DADO que la persona fuma de 21 a 30 cigarrillos por día”. Además, encuentra la probabilidad.

Contestar

Elegir a una persona del estudio que sea japonesa-estadounidense dado que esa persona fuma 21-30 cigarrillos al día, significa que la persona debe cumplir ambos criterios y el espacio de muestra se reduce a quienes fuman 21-30 cigarrillos por día. La probabilidad es$$\dfrac{4,715}{15,273}$$.

Ejercicio 3.5.14

Demostrar que el nivel/día de fumar y la etnia son eventos dependientes.

## Glosario

tabla de contingencia
el método de mostrar una distribución de frecuencia como una tabla con filas y columnas para mostrar cómo dos variables pueden ser dependientes (contingentes) entre sí; la tabla proporciona una manera fácil de calcular probabilidades condicionales.

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