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# 4.4: Distribución binomial

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La distribución binomial se utiliza frecuentemente para modelar el número de éxitos en una muestra de tamaño$$n$$ extraída con reemplazo de una población de tamaño$$N$$.

Tres características de un experimento binomial

1. Hay un número fijo de juicios. Piense en los ensayos como repeticiones de un experimento. La letra$$n$$ denota el número de juicios.
2. Solo hay dos resultados posibles, llamados “éxito” y “fracaso”, para cada ensayo. La letra$$p$$ denota la probabilidad de éxito en un ensayo, y$$q$$ denota la probabilidad de un fracaso en un ensayo. $$p + q = 1$$.
3. Los$$n$$ ensayos son independientes y se repiten en condiciones idénticas. Debido a que los$$n$$ juicios son independientes, el resultado de un juicio no ayuda a predecir el resultado de otro juicio. Otra forma de decir esto es que para cada juicio individual, la probabilidad,$$p$$, de un éxito y probabilidad,$$q$$, de un fracaso siguen siendo las mismas. Por ejemplo, adivinar aleatoriamente una pregunta estadística verdadero-falsa tiene solo dos resultados. Si un éxito es adivinar correctamente, entonces un fracaso es adivinar incorrectamente. Supongamos que Joe siempre adivina correctamente sobre cualquier estadística pregunta verdadero-falsa con probabilidad$$p = 0.6$$. Entonces,$$q = 0.4$$. Esto significa que por cada pregunta estadística verdadero-falsa que responde Joe, su probabilidad de éxito ($$p = 0.6$$) y su probabilidad de fracaso ($$q = 0.4$$) siguen siendo las mismas.

Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria$$X =$$ el número de éxitos obtenidos en los ensayos$$n$$ independientes. La media$$\mu$$, y varianza$$\sigma^{2}$$, para la distribución binomial de probabilidad son

$\mu = np$

y

$\sigma^{2} = npq.$

La desviación estándar,$$\sigma$$, es entonces

$\sigma = \sqrt{npq}.$

Cualquier experimento que tenga características dos y tres y donde$$n = 1$$ se llame un Ensayo de Bernoulli (llamado así por Jacob Bernoulli quien, a finales del siglo XVII, los estudió extensamente). Se realiza un experimento binomial cuando se cuenta el número de éxitos en uno o más Ensayos de Bernoulli.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

En ABC College, la tasa de retiro de un curso de física elemental es del 30% para cualquier término dado. Esto implica que, para cualquier periodo dado, el 70% de los alumnos permanecen en la clase durante todo el periodo. Un “éxito” podría definirse como un individuo que se retiró. La variable aleatoria es$$X =$$ el número de alumnos que se retiran de la clase de física primaria seleccionada al azar.

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

A la junta estatal de salud le preocupa la cantidad de fruta disponible en los almuerzos escolares. Cuarenta y ocho por ciento de las escuelas del estado ofrecen fruta en sus almuerzos todos los días. Esto implica que 52% no lo hacen. ¿Qué sería un “éxito” en este caso?

Contestar

una escuela que ofrece fruta en su almuerzo todos los días

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Supongamos que juegas un juego que solo puedes ganar o perder. La probabilidad de que ganes cualquier juego es del 55%, y la probabilidad de que pierdas es del 45%. Cada juego que juegas es independiente. Si juegas al juego 20 veces, escribe la función que describa la probabilidad de que ganes 15 de las 20 veces. Aquí, si$$X$$ se define como el número de victorias, entonces$$X$$ toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 20. La probabilidad de éxito es$$p = 0.55$$. La probabilidad de un fallo es$$q = 0.45$$. El número de juicios es$$n = 20$$. La pregunta de probabilidad se puede plantear matemáticamente como$$P(x = 15)$$.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Un entrenador está enseñando a un delfín a hacer trucos. La probabilidad de que el delfín realice el truco con éxito es del 35%, y la probabilidad de que el delfín no realice el truco con éxito es del 65%. De 20 intentos, quieres encontrar la probabilidad de que el delfín tenga éxito 12 veces. Indicar matemáticamente la pregunta de probabilidad.

Contestar

$$P(x = 12)$$

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Una moneda justa es volteada 15 veces. Cada volteo es independiente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de diez cabezas? Dejar$$X =$$ el número de cabezas en 15 volteretas de la moneda justa. $$X$$toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 15. Dado que la moneda es justa,$$p = 0.5$$ y$$q = 0.5$$. El número de juicios es$$n = 15$$. Indicar matemáticamente la pregunta de probabilidad.

Solución

$$P(x > 10)$$

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Un dado justo de seis lados se enrolla diez veces. Cada rollo es independiente. Se quiere encontrar la probabilidad de rodar un uno más de tres veces. Indicar matemáticamente la pregunta de probabilidad.

Contestar

$$P(x > 3)$$

Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Aproximadamente el 70% de los estudiantes de estadística hacen su tarea a tiempo para que sea recopilada y calificada. Cada alumno hace la tarea de forma independiente. En una clase de estadística de 50 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 40 hagan su tarea a tiempo? Los alumnos son seleccionados aleatoriamente.

1. Este es un problema binomial porque solo hay un éxito o un __________, hay un número fijo de ensayos, y la probabilidad de éxito es de 0.70 para cada ensayo.
2. Si nos interesa el número de alumnos que hacen su tarea a tiempo, entonces ¿cómo definimos$$X$$?
3. ¿Qué valores$$x$$ toma?
4. ¿Qué es un “fracaso”, en palabras?
5. Si$$p + q = 1$$, entonces ¿qué es$$q$$?
6. Las palabras “al menos” se traducen como qué tipo de desigualdad para la pregunta de probabilidad$$P(x$$ ____$$40$$).

Solución

1. fracaso
2. $$X$$= el número de estudiantes de estadística que hacen su tarea a tiempo
3. 0, 1, 2,..., 50
4. El fracaso se define como un estudiante que no completa su tarea a tiempo. La probabilidad de éxito es$$p = 0.70$$. El número de juicios es$$n = 50$$.
5. $$q = 0.30$$
6. mayor o igual a ($$\geq$$). La pregunta de probabilidad es$$P(x \geq 40)$$.

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

El sesenta y cinco por ciento de las personas aprueban el examen de conducir estatal en el primer intento. Se selecciona al azar un grupo de 50 individuos que han realizado el examen de conducir. Dar dos razones por las que se trata de un problema binomial.

Contestar

Este es un problema binomial porque solo hay un éxito o un fracaso, y hay un número definido de ensayos. La probabilidad de éxito se mantiene igual para cada ensayo.

Notación para el Binomio:$$B =$$ Binomial Probability Distribution Function

$X \sim B(n, p)$

Lee esto como "$$X$$es una variable aleatoria con una distribución binomial”. Los parámetros son$$n$$ y$$p$$;$$n =$$ número de ensayos,$$p =$$ probabilidad de éxito en cada ensayo.

Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Se ha afirmado que alrededor del 41% de los trabajadores adultos cuentan con un diploma de preparatoria pero no cursan ninguna educación superior. Si 20 trabajadores adultos son seleccionados al azar, encuentra la probabilidad de que como máximo 12 de ellos tengan un diploma de secundaria pero no cursen ninguna educación superior. ¿Cuántos trabajadores adultos esperas tener un diploma de secundaria pero no cursan ninguna educación superior?

Let$$X$$ = el número de trabajadores que tienen un diploma de preparatoria pero que no cursan ninguna educación superior.

$$X$$toma los valores 0, 1, 2,..., 20 dónde$$n = 20, p = 0.41$$, y$$q = 1 – 0.41 = 0.59$$. $$X \sim B(20, 0.41)$$

Encuentra$$P(x \leq 12)$$. $$P(x \leq 12) = 0.9738$$. (calculadora o computadora)

Ir a 2ª DISTR.C/. La sintaxis de las instrucciones es la siguiente:

Para calcular ($$x = \text{value}): \text{binompdf}(n, p, \text{number}$$) si se omite “número”, el resultado es la tabla binomial de probabilidad.

Para calcular$$P(x \leq \text{value}): \text{binomcdf}(n, p, \text{number})$$ si se omite “número”, el resultado es la tabla de probabilidad binomial acumulativa.

Para este problema: Después de estar en la 2ª DISTR.C/DESC, flecha abajo a binomcdf. Presione ENTER. Ingresa 20,0.41,12). El resultado es$$P(x \leq 12) = 0.9738$$.

Si quieres encontrar$$P(x = 12)$$, usa el pdf (binompdf). Si quieres encontrar$$P(x > 12)$$, usa$$1 - \text{binomcdf}(20,0.41,12)$$.

La probabilidad de que como máximo 12 trabajadores tengan un diploma de preparatoria pero no cursen ninguna educación superior es de 0.9738.

La gráfica de$$X \sim B(20, 0.41)$$ es la siguiente:

El eje y contiene la probabilidad de$$x$$, where $$X =$$ the number of workers who have only a high school diploma.

El número de trabajadores adultos que esperas tener un diploma de secundaria pero no cursar ninguna educación superior es la media,$$\mu = np = (20)(0.41) = 8.2$$.

La fórmula para la varianza es$$\sigma^{2} = npq$$. La desviación estándar es$$\sigma = \sqrt{npq}$$.

$\sigma = \sqrt{(20)(0.41)(0.59)} = 2.20.$

Ejercicio 4.4.5

Alrededor del 32% de los estudiantes participan en un programa de voluntariado comunitario fuera de la escuela. Si 30 alumnos son seleccionados al azar, encuentra la probabilidad de que como máximo 14 de ellos participen en un programa de voluntariado comunitario fuera de la escuela. Usa la calculadora TI-83+ o TI-84 para encontrar la respuesta.

Contestar

$$P(x \leq 14) = 0.9695$$

Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

En el catálogo de suministros artísticos de Jerry's Artarama 2013, hay 560 páginas. Ocho de las páginas cuentan con artistas de la firma. Supongamos que probamos 100 páginas al azar. Deje que$$X =$$ el número de páginas que cuentan con artistas de la firma.

1. ¿Qué valores$$x$$ toma?
1. la probabilidad de que dos páginas presenten artistas de la firma
2. la probabilidad de que como máximo seis páginas presenten artistas de la firma
3. la probabilidad de que más de tres páginas cuenten con artistas de la firma.
3. Utilizando las fórmulas, se calcula la (i) media y (ii) la desviación estándar.

Contestar

1. $$x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$$
2. $$X \sim B(100,8560)(100,8560)$$
1. $$P(x = 2) = \text{binompdf}\left(100,\dfrac{8}{560},2\right) = 0.2466$$
2. $$P(x \leq 6) = \text{binomcdf}\left(100,\dfrac{8}{560},6\right) = 0.9994$$
3. $$P(x > 3) = 1 – P(x \leq 3) = 1 – \text{binomcdf}\left(100,\dfrac{8}{560},3\right) = 1 – 0.9443 = 0.0557$$
1. Media$$= np = (100)\left(\dfrac{8}{560}\right) = \dfrac{800}{560} \approx 1.4286$$
2. Desviación estándar$$= \sqrt{npq} = \sqrt{(100)\left(\dfrac{8}{560}\right)\left(\dfrac{552}{560}\right)} \approx 1.1867$$

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Según una encuesta de Gallup, el 60% de los adultos estadounidenses prefieren ahorrar sobre el gasto. Let$$X$$ = el número de adultos estadounidenses de una muestra aleatoria de 50 que prefieren ahorrar a gastar.

1. ¿Para qué sirve la distribución de probabilidad$$X$$?
1. la probabilidad de que 25 adultos en la muestra prefieran el ahorro sobre el gasto
3. Usando las fórmulas, calcule la (i) media y (ii) la desviación estándar de$$X$$.

Contestar

1. $$X \sim B(50, 0.6)$$
2. Usando la calculadora TI-83, 83+, 84 con las instrucciones proporcionadas en el Ejemplo:
1. $$P(x = 25) = \text{binompdf}(50, 0.6, 25) = 0.0405$$
2. $$P(x \leq 20) = \text{binomcdf}(50, 0.6, 20) = 0.0034$$
3. $$(x > 30) = 1 - \text{binomcdf}(50, 0.6, 30) = 1 – 0.5535 = 0.4465$$
1. Media$$= np = 50(0.6) = 30$$
2. Desviación estándar$$= \sqrt{npq} = \sqrt{50(0.6)(0.4)} \approx 3.4641$$

Ejemplo$$\PageIndex{8}$$

El riesgo de por vida de desarrollar cáncer de páncreas es aproximadamente uno de cada 78 (1.28%). Supongamos que tomamos muestras al azar de 200 personas Let$$X$$ = el número de personas que desarrollarán cáncer de páncreas.

1. ¿Para qué sirve la distribución de probabilidad$$X$$?
2. Usando las fórmulas, calcule la (i) media y (ii) la desviación estándar de$$X$$.
3. Usa tu calculadora para encontrar la probabilidad de que como máximo ocho personas desarrollen cáncer de páncreas
4. ¿Es más probable que cinco o seis personas desarrollen cáncer de páncreas? Justifica tu respuesta numéricamente.

Contestar

1. $$X \sim B(200, 0.0128)$$
1. Media$$= np = 200(0.0128) = 2.56$$
2. Desviación estándar$$= \sqrt{npq} = \sqrt{(200)(0.0128)(0.9872)} \approx 1.5897$$
2. Usando la calculadora TI-83, 83+, 84 con las instrucciones proporcionadas en el Ejemplo:
$$P(x \leq 8) = \text{binomcdf}(200, 0.0128, 8) = 0.9988$$
3. $$P(x = 5) = \text{binompdf}(200, 0.0128, 5) = 0.0707$$
$$P(x = 6) = \text{binompdf}(200, 0.0128, 6) = 0.0298$$
Entonces$$P(x = 5) > P(x = 6)$$; es más probable que cinco personas desarrollen cáncer que seis.

Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Durante la temporada regular de la NBA 2013, DeAndre Jordan de los Clippers de Los Ángeles tuvo la tasa de finalización de goles de campo más alta de la liga. DeAndre anotó con 61.3% de sus tiros. Supongamos que eliges una muestra aleatoria de 80 tomas realizadas por DeAndre durante la temporada 2013. Deje que$$X =$$ el número de tiros que anotaron puntos.

1. ¿Para qué sirve la distribución de probabilidad$$X$$?
2. Usando las fórmulas, calcule la (i) media y (ii) la desviación estándar de$$X$$.
3. Usa tu calculadora para encontrar la probabilidad de que DeAndre anotó con 60 de estos tiros.
4. Encuentra la probabilidad de que DeAndre haya anotado con más de 50 de estos tiros.

Contestar

1. $$X \sim B(80, 0.613)$$
1. Media$$= np = 80(0.613) = 49.04$$
2. Desviación estándar$$= \sqrt{npq} = \sqrt{80(0.613)(0.387)} \approx 4.3564$$
2. Usando la calculadora TI-83, 83+, 84 con las instrucciones proporcionadas en el Ejemplo:
$$P(x = 60) = \text{binompdf}(80, 0.613, 60) = 0.0036$$
3. $$P(x > 50) = 1 – P(x \leq 50) = 1 – \text{binomcdf}(80, 0.613, 50) = 1 – 0.6282 = 0.3718$$

Ejemplo$$\PageIndex{9}$$

El siguiente ejemplo ilustra un problema que no es binomial. Viola la condición de independencia. ABC College cuenta con un comité asesor estudiantil integrado por diez miembros del personal y seis estudiantes. El comité desea elegir un presidente y un registrador. ¿Cuál es la probabilidad de que el presidente y el registrador sean ambos estudiantes? Los nombres de todos los miembros del comité se ponen en una caja, y se dibujan dos nombres sin reemplazo. El primer nombre dibujado determina el presidente y el segundo nombre el registrador. Hay dos juicios. Sin embargo, los juicios no son independientes porque el resultado del primer ensayo afecta el resultado del segundo. La probabilidad de que un estudiante esté en el primer sorteo es$$\dfrac{6}{16}$$. La probabilidad de que un alumno esté en el segundo sorteo es$$\dfrac{5}{15}$$, cuando el primer sorteo selecciona a un alumno. La probabilidad es$$\dfrac{6}{15}$$, cuando el primer sorteo selecciona a un miembro del personal. La probabilidad de dibujar el nombre de un estudiante cambia para cada uno de los juicios y, por lo tanto, viola la condición de independencia.

Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Un equipo de lacrosse está seleccionando a un capitán. Los nombres de todos los adultos mayores se ponen en sombrero, y los tres primeros que se sortearán serán los capitanes. Los nombres no se sustituyen una vez que se dibujan (una persona no puede ser dos capitanes). Quieres ver si todos los capitanes juegan la misma posición. Indicar si esto es binomio o no y exponer por qué.

Contestar

Esto no es binomial porque los nombres no son reemplazados, lo que significa que la probabilidad cambia por cada vez que se dibuja un nombre. Esto viola la condición de independencia.

## Referencias

1. “Acceso a la electricidad (% de la población)”, El Banco Mundial, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/...first&sort=asc (consultado el 15 de mayo de 2015).
2. “Educación a Distancia”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.Wikipedia.org/wiki/Distance_education (consultado el 15 de mayo de 2013).
3. “Estadísticas de la NBA — 2013”, ESPN NBA, 2013. Disponible en línea en http://espn.go.com/nba/statistics/_/seasontype/2 (consultado el 15 de mayo de 2013).
4. Newport, Frank. “Los estadounidenses todavía disfrutan ahorrando en lugar de gastar: pocas diferencias demográficas vistas en estos puntos de vista además de los ingresos”, GALLUP® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162368/am... -spending.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013).
5. Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: Normas Nacionales Otoño 2011. Los Ángeles: Programa de Investigación Institucional Cooperativa en el Instituto de Investigación en Educación Superior de la UCLA, 2011. También disponible en línea en http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/N...eshman2011.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013).
6. “The World FactBook”, Agencia Central de Inteligencia. Disponible en línea en https://www.cia.gov/library/publicat...k/geos/af.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
7. “¿Cuáles son las estadísticas clave sobre el cáncer de páncreas?” Sociedad Americana contra el Cáncer, 2013. Disponible en línea en www.cancer.org/cancer/pancrea... clave-estadística (consultado el 15 de mayo de 2013).

## Revisar

Un experimento estadístico puede clasificarse como un experimento binomial si se cumplen las siguientes condiciones:

Hay un número fijo de juicios,$$n$$.

Solo hay dos resultados posibles, llamados “éxito” y, “fracaso” para cada ensayo. La letra$$p$$ denota la probabilidad de éxito en un ensayo y$$q$$ denota la probabilidad de un fracaso en un ensayo.

Los$$n$$ ensayos son independientes y se repiten en condiciones idénticas.

Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria$$X =$$ el número de éxitos obtenidos en los ensayos$$n$$ independientes. La media de se$$X$$ puede calcular usando la fórmula$$\mu = np$$, y la desviación estándar viene dada por la fórmula$$\sigma = \sqrt{npq}$$.

## Revisión de Fórmula

• $$X \sim B(n, p)$$significa que la variable aleatoria discreta$$X$$ tiene una distribución binomial de probabilidad con$$n$$ ensayos y probabilidad de éxito$$p$$.
• $$X =$$el número de éxitos en ensayos$$n$$ independientes
• $$n =$$el número de juicios independientes
• $$X$$adquiere los valores$$x = 0, 1, 2, 3, \dotsc, n$$
• $$p =$$la probabilidad de éxito para cualquier juicio
• $$q =$$la probabilidad de un fracaso para cualquier juicio
• $$p + q = 1$$
• $$q = 1 – p$$

La media de$$X$$ es$$\mu = np$$. La desviación estándar de$$X$$ es$$\sigma = \sqrt{npq}$$.

Utiliza la siguiente información para responder a los siguientes ocho ejercicios: El Instituto de Investigación en Educación Superior de UCLA recopiló datos de 203,967 estudiantes de primer año entrantes de tiempo completo de 270 colegios y universidades de cuatro años en Estados Unidos. El 71.3% de esos estudiantes respondió que, sí, creen que las parejas del mismo sexo deben tener derecho al estado civil legal. Supongamos que eliges al azar ocho estudiantes de primer año de tiempo completo de la encuesta. Te interesa el número que cree que las parejas del mismo sexo deben tener derecho al estado civil legal.

Ejercicio 4.4.9

En palabras, defina la variable aleatoria$$X$$.

Contestar

$$X =$$el número que responde “sí”

Ejercicio 4.4.10

$$X \sim$$_____ (_____, _____)

Ejercicio 4.4.11

¿Qué valores adquiere la$$X$$ variable aleatoria?

Contestar

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Ejercicio 4.4.12

Construir la función de distribución de probabilidad (PDF).

$$x$$ $$P(x)$$

Ejercicio 4.4.13

En promedio ($$\mu$$), ¿cuántos esperarías responder sí?

Contestar

5.7

Ejercicio 4.4.14

¿Cuál es la desviación estándar ($$\sigma$$)?

Ejercicio 4.4.15

¿Cuál es la probabilidad de que como máximo cinco de los estudiantes de primer año respondan “sí”?

Contestar

0.4151

Ejercicio 4.4.16

¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los estudiantes de primer año respondan “sí”?

## Glosario

Experimento binomial
un experimento estadístico que satisfaga las siguientes tres condiciones:
1. Hay un número fijo de juicios,$$n$$.
2. Solo hay dos resultados posibles, llamados “éxito” y, “fracaso”, para cada ensayo. La letra$$p$$ denota la probabilidad de éxito en un ensayo, y$$q$$ denota la probabilidad de un fracaso en un ensayo.
3. Los$$n$$ ensayos son independientes y se repiten en condiciones idénticas.
Juicios de Bernoulli
un experimento con las siguientes características:
2. La probabilidad$$p$$ de éxito es la misma para cualquier ensayo (por lo que la probabilidad$$q = 1 − p$$ de un fracaso es la misma para cualquier juicio).
una variable aleatoria discreta (RV) que surge de los ensayos de Bernoulli; hay un número fijo,$$n$$, de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo uno) no afecta los resultados de los siguientes ensayos, y todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, el RV binomial$$X$$ se define como el número de éxitos en los$$n$$ ensayos. La notación es:$$X ~ B(n, p)$$. La media es$$\mu = np$$ y la desviación estándar es$$\sigma = \sqrt{npq}$$. La probabilidad de exactamente$$x$$ éxitos en los$$n$$ ensayos es
$$P(X = x) = {n \choose x}p^{x}q^{n-x}$$.