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4.7: Distribución de Poisson

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La distribución de Poisson es popular para modelar el número de veces que ocurre un evento en un intervalo de tiempo o espacio. Es una distribución de probabilidad discreta que expresa la probabilidad de que un número dado de eventos ocurran en un intervalo fijo de tiempo y/o espacio si estos eventos ocurren con una tasa promedio conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento.

dos características principales de un experimento de Poisson

1. La distribución de probabilidad de Poisson da la probabilidad de que una serie de eventos ocurran en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos ocurren con una tasa promedio conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento. Por ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas incorrectamente en un libro en particular. Podría ser que, en promedio, haya cinco palabras escritas incorrectamente en 100 páginas. El intervalo es de las 100 páginas.
2. La distribución de Poisson se puede utilizar para aproximar el binomio si la probabilidad de éxito es “pequeña” (como 0.01) y el número de ensayos es “grande” (como 1,000). Verificarás la relación en los ejercicios de tarea. $$n$$es el número de ensayos, y$$p$$ es la probabilidad de un “éxito”.

La variable aleatoria$$X =$$ el número de ocurrencias en el intervalo de interés.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

El promedio de hogazas de pan puestas en una repisa en una panadería en un periodo de media hora es de 12. De interés es el número de barras de pan puestas en la repisa en cinco minutos. El intervalo de tiempo de interés es de cinco minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de panes, seleccionados al azar, puestos en la estantería en cinco minutos sea tres?

Solución

Dejar poner$$X =$$ el número de panes en la repisa en cinco minutos. Si el número promedio de panes puestos en la repisa en 30 minutos (media hora) es de 12, entonces el número promedio de panes puestos en la repisa en cinco minutos son$$\left(\frac{5}{30}\right)(12) = 2$$ panes de pan.

La pregunta de probabilidad te pide que encuentres$$P(x = 3)$$.

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

El promedio de peces capturados en una hora es de ocho. De interés es el número de peces capturados en 15 minutos. El intervalo de tiempo de interés es de 15 minutos. ¿Cuál es el número promedio de peces capturados en 15 minutos?

Contestar

$$\left(\frac{15}{60}\right)(8) = 2$$pescado

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Un banco espera recibir seis cheques incorrectos por día, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que el banco obtenga menos de cinco cheques malos en un día determinado? De interés es el número de cheques que recibe el banco en un día, por lo que el intervalo de tiempo de interés es de un día. Dejar$$X =$$ el número de cheques malos que recibe el banco en un día. Si el banco espera recibir seis cheques incumplidos por día entonces el promedio es de seis cheques diarios. Escribir una declaración matemática para la pregunta de probabilidad.

Contestar

$$P(x < 5)$$

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Una tienda de electrónica espera tener diez devoluciones diarias en promedio. El gerente quiere saber la probabilidad de que la tienda obtenga menos de ocho rendimientos en un día determinado. Indicar matemáticamente la pregunta de probabilidad.

Contestar

$$P(x < 8)$$

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Se nota que un reportero de noticias dice “uh”, en promedio, dos veces por emisión. Cuál es la probabilidad de que el reportero de noticias diga “uh” más de dos veces por emisión. Este es un problema de Poisson porque te interesa saber el número de veces que el reportero de noticias dice “uh” durante una transmisión.

1. ¿Cuál es el intervalo de interés?
2. ¿Cuál es el promedio de veces que el reportero dice “uh” durante una transmisión?
3. Vamos$$X =$$ ____________. ¿Qué valores toma X?
4. La pregunta de probabilidad es$$P($$ ______$$)$$.

Soluciones

1. una emisión
2. 2
3. Que$$X =$$ el número de veces que el reportero de noticias diga “uh” durante una transmisión. $x = 0, 1, 2, 3, \dotsc$
4. $$P(x > 2)$$

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Una sala de urgencias en un hospital en particular recibe un promedio de cinco pacientes por hora. Un médico quiere saber la probabilidad de que la sala de emergencias reciba más de cinco pacientes por hora. Da la razón por la que esta sería una distribución de Poisson.

Contestar

Este problema quiere encontrar la probabilidad de que ocurran eventos en un intervalo de tiempo fijo con una tasa promedio conocida. Los eventos son independientes.

Notación para la función de distribución de probabilidad de$$P =$$ Poisson: Poisson

$X \sim P(\mu)$

Lee esto como "$$X$$es una variable aleatoria con una distribución de Poisson”. El parámetro es$$\mu$$ (o$$\lambda$$);$$\mu$$ (o$$\lambda) =$$ la media para el intervalo de interés.

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

El contestador automático de Leah recibe alrededor de seis llamadas telefónicas entre las 8 a.m. y las 10 a.m. ¿Cuál es la probabilidad de que Leah reciba más de una llamada en los próximos 15 minutos?

Solución

Let$$X$$ = el número de llamadas que Leah recibe en 15 minutos. (El intervalo de interés es de 15 minutos o$$\frac{1}{4}$$ hora.)

$x = 0, 1, 2, 3, \dotsc$

Si Leah recibe, en promedio, seis llamadas telefónicas en dos horas, y hay ocho intervalos de 15 minutos en dos horas, entonces Leah recibe

$$\left(\frac{1}{8}\right)(6) = 0.75$$llamadas en 15 minutos, en promedio. Entonces,$$\mu = 0.75$$ para este problema.

$$X \sim P(0.75)$$

Encuentra$$P(x > 1)$$. $$P(x > 1) = 0.1734$$(calculadora o computadora)

• Presione 1 — y luego presione 2 nd DISTR.C/.
• Flecha hacia abajo a poissoncdf. Presione ENTER.
• Entrar (.75,1).
• El resultado es$$P(x > 1) = 0.1734$$.

Las calculadoras de TI utilizan$$\lambda$$ (lambda) para la media.

La probabilidad de que Leah reciba más de una llamada telefónica en los próximos 15 minutos es de aproximadamente 0.1734:

$$P(x > 1) = 1 − \text{poissoncdf}(0.75, 1)$$.

La gráfica de$$X \sim P(0.75)$$ es:

El eje y contiene la probabilidad de$$x$$ donde se encuentra$$X =$$ el número de llamadas en 15 minutos.

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Un centro de atención al cliente recibe alrededor de diez correos electrónicos cada media hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el centro de atención al cliente reciba más de cuatro correos electrónicos en los próximos seis minutos? Usa la calculadora TI-83+ o TI-84 para encontrar la respuesta.

Contestar

$$P(x > 4) = 0.0527$$

Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

De acuerdo con Baydin, una empresa de gestión de correo electrónico, un usuario de correo electrónico recibe, en promedio, 147 correos electrónicos por día. Deje que$$X =$$ el número de correos electrónicos que recibe un usuario de correo electrónico por día. La variable aleatoria discreta$$X$$ toma los valores$$x = 0, 1, 2 \dotsc$$. La variable aleatoria$$X$$ tiene una distribución de Poisson:$$X \sim P(147)$$. La media es 147 correos electrónicos.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba exactamente 160 correos electrónicos por día?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba como máximo 160 correos electrónicos por día?
3. ¿Cuál es la desviación estándar?

Soluciones

1. $$P(x = 160) = \text{poissonpdf}(147, 160) \approx 0.0180$$
2. $$P(x \leq 160) = \text{poissoncdf}(147, 160) \approx 0.8666$$
3. Desviación estándar$$= \sigma = \sqrt{\mu} = \sqrt{147} \approx 12.1244$$

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Según una encuesta reciente del Pew Internet Project, las niñas de entre 14 y 17 años envían un promedio de 187 mensajes de texto cada día. Deje que$$X =$$ el número de textos que una niña de 14 a 17 años envía por día. La variable aleatoria discreta$$X$$ toma los valores$$x = 0, 1, 2 \dotsc$$. La variable aleatoria$$X$$ tiene una distribución de Poisson:$$X \sim P(187)$$. La media es 187 mensajes de texto.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una adolescente envíe exactamente 175 mensajes de texto por día?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que una adolescente envíe como máximo 150 mensajes de texto al día?
3. ¿Cuál es la desviación estándar?

Contestar

1. $$P(x = 175) = \text{poissonpdf}(187, 175) \approx 0.0203$$
2. $$P(x \leq 150) = \text{poissoncdf}(187, 150) \approx 0.0030$$
3. Desviación estándar$$= \sigma = \sqrt{\mu} = \sqrt{187} \approx 13.6748$$

Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Los usuarios de mensajes de texto reciben o envían un promedio de 41.5 mensajes de texto por día.

1. ¿Cuántos mensajes de texto recibe o envía un usuario por hora?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensaje de texto reciba o envíe dos mensajes por hora?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensaje de texto reciba o envíe más de dos mensajes por hora?

Soluciones

1. Dejar$$X =$$ el número de textos que un usuario envía o recibe en una hora. El promedio de textos recibidos por hora es$$\frac{41.5}{24} \approx 1.7292$$.
2. $$X \sim P(1.7292)$$, entonces$$P(x = 2) = \text{poissonpdf}(1.7292, 2) \approx 0.2653$$
3. $$P(x > 2) = 1 – P(x \leq 2) = 1 – \text{poissoncdf}(1.7292, 2) \approx 1 – 0.7495 = 0.2505$$

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

El Aeropuerto Internacional Hartsfield-Jackson de Atlanta es el aeropuerto más concurrido del mundo. En promedio hay 2,500 llegadas y salidas cada día.

1. ¿Cuántos aviones llegan y salen del aeropuerto por hora?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 100 llegadas y salidas en una hora?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que haya como máximo 100 llegadas y salidas en una hora?

Contestar

1. Deje que$$X =$$ el número de aviones que lleguen y partan de Hartsfield-Jackson en una hora. El promedio de llegadas y salidas por hora es$$\frac{2,500}{24} \approx 104.1667$$.
2. $$X \sim P(104.1667)$$, entonces$$P(x = 100) = \text{poissonpdf}(104.1667, 100) \approx 0.0366$$.
3. $$P(x \leq 100) = \text{poissoncdf}(104.1667, 100) \approx 0.3651$$.

La distribución de Poisson se puede utilizar para aproximar probabilidades para una distribución binomial. Este siguiente ejemplo demuestra la relación entre las distribuciones de Poisson y los binomios. Dejar$$n$$ representar el número de ensayos binomiales y dejar$$p$$ representar la probabilidad de éxito para cada ensayo. Si$$n$$ es lo suficientemente grande y$$p$$ es lo suficientemente pequeño entonces el Poisson se aproxima muy bien al binomio. En general,$$n$$ se considera “lo suficientemente grande” si es mayor o igual a 20. La probabilidad$$p$$ de la distribución binomial debe ser menor o igual a 0.05. Cuando se utiliza el Poisson para aproximar el binomio, usamos la media binomial$$\mu = np$$. La varianza de$$X$$ es$$\sigma^{2} = \sqrt{\mu}$$ y la desviación estándar es$$\sigma = \sqrt{\mu}$$. La aproximación de Poisson a una distribución binomial se utilizó comúnmente en los días previos a que la tecnología hiciera que ambos valores fueran muy fáciles de calcular.

Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 PM, la probabilidad de baja actividad sísmica para las próximas 48 horas en Alaska se reportó como alrededor de 1.02%. Utilice esta información durante los próximos 200 días para encontrar la probabilidad de que haya baja actividad sísmica en diez de los próximos 200 días. Utilice las distribuciones binomial y Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca?

Contestar

Let$$X$$ = el número de días con baja actividad sísmica.

Usando la distribución binomial:

• $$P(x = 10) = \text{binompdf}(200, .0102, 10) \approx\ 0.000039$$

Usando la distribución de Poisson:

• Calcular$$\mu = np = 200(0.0102) \approx 2.04$$
• $$P(x = 10) = \text{poissonpdf}(2.04, 10) \approx 0.000045$$

Esperamos que la aproximación sea buena porque$$n$$ es grande (mayor que 20) y$$p$$ es pequeña (menos de 0.05). Los resultados son cercanos, ambas probabilidades reportadas son casi 0.

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 PM, la probabilidad de actividad sísmica moderada para las próximas 48 horas en las Islas Kuriles frente a la costa de Japón se reportó en alrededor de 1.43%. Utilice esta información durante los próximos 100 días para encontrar la probabilidad de que haya baja actividad sísmica en cinco de los próximos 100 días. Utilice las distribuciones binomial y Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca?

Contestar

Dejar$$X =$$ el número de días con actividad sísmica moderada.

Usando la distribución binomial:$$P(x = 5) = \text{binompdf}(100, 0.0143, 5) \approx 0.0115$$

Usando la distribución de Poisson:

• Calcular$$\mu = np = 100(0.0143) = 1.43$$
• $$P(x = 5) = \text{poissonpdf}(1.43, 5) = 0.0119$$

Esperamos que la aproximación sea buena porque$$n$$ es grande (mayor que 20) y$$p$$ es pequeña (menos de 0.05). Los resultados son cercanos, la diferencia entre los valores es de 0.0004.

Referencias

1. “ATL Fact Sheet”, Departamento de Aviación en el Aeropuerto Internacional Hartsfield-Jackson Atlanta, 2013. Disponible en línea en www.atl.com/about-atl/atl-factsheet/ (consultado el 15 de mayo de 2013).
2. Centro de Control y Prevención de Enfermedades. “Conductores adolescentes: hoja informativa”, Prevención y Control de Lesiones: Seguridad de los Vehículos Motorizados, 2 de octubre de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/Motorvehiclesafet...factsheet.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
3. “La infancia y la crianza de los hijos”, Secretaría de Salud, Trabajo y Bienestar. Disponible en línea en http://www.mhlw.go.jp/english/policy...ing/index.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
4. “Estadísticas de trastornos alimentarios”, Departamento de Salud Mental de Carolina del Sur, 2006. Disponible en línea en http://www.state.sc.us/dmh/anorexia/statistics.htm (consultado el 15 de mayo de 2013).
5. “Dar a luz en Manila: La sala de maternidad en el Hospital Memorial Dr. Jose Fabella en Manila, el más concurrido de Filipinas, donde hay un promedio de 60 nacimientos diarios”, theguardian, 2013. Disponible en línea en www.theguardian.com/world/gal... 471900&index=2 (consultado el 15 de mayo de 2013).
6. “Cómo usan los estadounidenses la mensajería de texto”, Pew Internet, 2013. Disponible en línea en PEWinternet.org/Reports/2011/... in-Report.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013).
7. Lenhart, Amanda. “Adolescentes, teléfonos inteligentes y pruebas: el volumen de mensajes de texto aumenta mientras la frecuencia de las llamadas de voz está baja. Aproximadamente uno de cada cuatro adolescentes dice poseer teléfonos inteligentes”, Pew Internet, 2012. Disponible en línea en www.Pewinternet.org/~/media/f... nd_Texting.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013).
8. “Uno que nace cada minuto: la unidad de maternidad donde las madres son TRES a una cama”, MailOnline. Disponible en línea en http://www.dailymail.co.uk/news/arti...thers-bed.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
9. Vanderkam, Laura. “Deja de revisar tu correo electrónico, ahora”. CNNMoney, 2013. Disponible en línea en management.fortune.cnn.com/20... nuestro-email-now/ (consultado el 15 de mayo de 2013).
10. “Terremotos mundiales: noticias y aspectos destacados del terremoto en vivo”, Terremotos mundiales, 2012. www.world-earthquake es.com/ind... thq_prediction (consultado el 15 de mayo de 2013).

Revisar

Una distribución de probabilidad de Poisson de una variable aleatoria discreta da la probabilidad de que ocurran varios eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio, si estos eventos ocurren a una tasa promedio conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución de Poisson se puede utilizar para aproximar el binomio, si la probabilidad de éxito es “pequeña” (menor o igual a 0.05) y el número de ensayos es “grande” (mayor o igual a 20).

Revisión de Fórmula

$$X \sim P(\mu)$$significa que$$X$$ tiene una distribución de probabilidad de Poisson donde$$X =$$ el número de ocurrencias en el intervalo de interés.

$$X$$adquiere los valores$$x = 0, 1, 2, 3, \dotsc$$

La media$$\mu$$ se da típicamente.

La varianza es$$\sigma = \mu$$, y la desviación estándar es

$\sigma = \sqrt{\mu}$.

Cuando$$P(\mu)$$ se utiliza para aproximar una distribución binomial,$$\mu = np$$ donde$$n$$ representa el número de ensayos independientes y$$p$$ representa la probabilidad de éxito en un solo ensayo.

Utilice la siguiente información para responder a los siguientes seis ejercicios: En promedio, una tienda de ropa recibe 120 clientes por día.

Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Supongamos que el evento ocurre independientemente en un día determinado. Define la variable aleatoria$$X$$.

Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

¿Qué valores$$X$$ toma?

Contestar

0, 1, 2, 3, 4,...

Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

¿Cuál es la probabilidad de conseguir 150 clientes en un día?

Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

¿Cuál es la probabilidad de conseguir 35 clientes en las primeras cuatro horas? Supongamos que la tienda está abierta 12 horas cada día.

Contestar

0.0485

Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

¿Cuál es la probabilidad de que la tienda tenga más de 12 clientes en la primera hora?

Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

¿Cuál es la probabilidad de que la tienda tenga menos de 12 clientes en las dos primeras horas?

Contestar

0.0214

Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

¿Qué tipo de distribución se puede utilizar el modelo de Poisson para aproximarse? ¿Cuándo harías esto?

Utilice la siguiente información para responder los siguientes seis ejercicios: En promedio, ocho adolescentes en Estados Unidos mueren por lesiones en vehículos motorizados por día. En consecuencia, los estados de todo el país están debatiendo elevar la edad de manejo.

Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Supongamos que el evento ocurre independientemente en un día determinado. En palabras, defina la variable aleatoria$$X$$.

Contestar

$$X =$$el número de adolescentes estadounidenses que mueren por lesiones en vehículos motorizados por día.

Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

$$X \sim$$_____ (_____, _____)

Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

¿Qué valores$$X$$ toma?

Contestar

$$0, 1, 2, 3, 4, \dotsc$$

Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

Para los valores dados de la variable aleatoria$$X$$, rellene las probabilidades correspondientes.

Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

¿Es probable que no haya adolescentes muertos por lesiones en vehículos motorizados en un día determinado en Estados Unidos? Justifica tu respuesta numéricamente.

Contestar

No

Ejercicio$$\PageIndex{20}$$

¿Es probable que haya más de 20 adolescentes muertos por lesiones en vehículos motorizados en un día cualquiera en Estados Unidos? Justifica tu respuesta numéricamente.

Glosario

La distribución se define por la media$$\mu$$ del evento en el intervalo. Notación:$$X \sim P(\mu)$$. La media es$$\mu = np$$. La desviación estándar es$$\sigma = \sqrt{\mu}$$. La probabilidad de tener exactamente$$x$$ éxitos en los$$r$$ ensayos es$$P(X = x) =$$
$\left(e^{-\mu}\right)\frac{\mu^{x}}{x!}$
. La distribución de Poisson se suele utilizar para aproximar la distribución binomial, cuando$$n$$ es “grande” y$$p$$ “pequeña” (una regla general es que$$n$$ debe ser mayor o igual a 20 y$$p$$ debe ser menor o igual a 0.05).