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# 6.1: Preludio a la distribución normal

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

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$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Al final de este capítulo, el alumno deberá ser capaz de:

• Reconocer la distribución de probabilidad normal y aplicarla adecuadamente.
• Reconocer la distribución normal de probabilidad estándar y aplicarla adecuadamente.
• Compare las probabilidades normales mediante la conversión a la distribución normal estándar.

La normal, una distribución continua, es la más importante de todas las distribuciones. Es ampliamente utilizado y aún más ampliamente abusado. Su gráfica tiene forma de campana. Se ve la curva de campana en casi todas las disciplinas. Algunos de ellos incluyen la psicología, los negocios, la economía, las ciencias, la enfermería y, por supuesto, las matemáticas. Algunos de sus instructores pueden usar la distribución normal para ayudar a determinar su calificación. La mayoría de las puntuaciones de CI se distribuyen normalmente. A menudo los precios inmobiliarios se ajustan a una distribución normal. La distribución normal es sumamente importante, pero no se puede aplicar a todo en el mundo real.

En este capítulo, estudiará la distribución normal, la distribución normal estándar y las aplicaciones asociadas a ellas. La distribución normal tiene dos parámetros (dos medidas descriptivas numéricas), la media ($$\mu$$) y la desviación estándar ($$\sigma$$). Si$$X$$ es una cantidad a medir que tiene una distribución normal con media ($$\mu$$) y desviación estándar ($$\sigma$$), la designamos por escrito

$f(x) = \dfrac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot e^{\left(-\dfrac{1}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}$

La función de densidad de probabilidad es una función bastante complicada. No lo memorices. No es necesario.

La función de distribución acumulativa es$$P(X < x)$$. Se calcula ya sea por una calculadora o una computadora, o se busca en una tabla. La tecnología ha hecho que las mesas sean prácticamente obsoletas. Por esa razón, así como el hecho de que existen diversos formatos de tabla, no estamos incluyendo instrucciones de mesa.

La curva es simétrica alrededor de una línea vertical dibujada a través de la media,$$\mu$$. En teoría, la media es la misma que la mediana, porque la gráfica es simétrica aproximadamente$$\mu$$. Como indica la notación, la distribución normal depende únicamente de la media y de la desviación estándar. Dado que el área bajo la curva debe ser igual a uno, un cambio en la desviación estándar$$\sigma$$,, provoca un cambio en la forma de la curva; la curva se vuelve más gorda o delgada dependiendo de$$\sigma$$. Un cambio en$$\mu$$ hace que la gráfica se desvíe hacia la izquierda o hacia la derecha. Esto significa que hay un número infinito de distribuciones de probabilidad normales. Uno de especial interés se llama la distribución normal estándar.

Actividad de aula colaborativa

• $$X \sim N(\mu, \sigma)$$
• $$\mu =$$la media$$\sigma =$$ de la desviación estándar
una variable aleatoria continua (RV) con pdf$f(x) =﻿ \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{\dfrac{(x \cdot \mu)}{2 \sigma^{2}}^{2}}$, donde$$\mu$$ es la media de la distribución y$$\sigma$$ es la desviación estándar; notación:$$X \sim N(\mu, \sigma)$$. Si$$\mu = 0$$ y$$\sigma = 1$$, el RV se llama la distribución normal estándar.