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9.5: Acontecimientos raros, la muestra, decisión y conclusión

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Establecer el tipo de distribución, el tamaño de la muestra y la desviación estándar conocida o desconocida puede ayudarlo a descubrir cómo realizar una prueba de hipótesis. Sin embargo, hay varios otros factores que debes considerar al elaborar una prueba de hipótesis.

Eventos Raros

Supongamos que haces una suposición sobre una propiedad de la población (esta suposición es la hipótesis nula). Después se recopilan datos de muestra al azar. Si la muestra tiene propiedades que sería muy poco probable que ocurrieran si la suposición es cierta, entonces concluiría que su suposición sobre la población probablemente sea incorrecta. (Recuerda que tu suposición es solo una suposición, no es un hecho y puede que sea verdad o no. Pero tus datos de muestra son reales y los datos te están mostrando un hecho que parece contradecir tu suposición.)

Por ejemplo, Didi y Ali están en una fiesta de cumpleaños de un amigo muy rico. Se apresuran a ser los primeros en la fila para agarrar un premio de una canasta alta que no pueden ver por dentro porque les vendarán los ojos vendados. Hay 200 burbujas de plástico en la canasta y a Didi y Ali se les ha dicho que sólo hay una con un billete de 100 dólares. Didi es la primera persona en meterse en la canasta y sacar una burbuja. Su burbuja contiene un billete de 100 dólares. La probabilidad de que esto suceda es$$\frac{1}{200} = 0.005$$. Debido a que esto es tan improbable, Ali espera que lo que les dijeron a los dos esté mal y haya más billetes de 100 dólares en la canasta. Se ha producido un “raro evento” (Didi recibiendo el billete de 100 dólares) por lo que Ali duda de la suposición de que solo un billete de 100 dólares esté en la canasta.

Uso de la muestra para probar la hipótesis nula

Utilice los datos de la muestra para calcular la probabilidad real de obtener el resultado de la prueba, llamado$$p$$ -value. El$$p$$ -valor es la probabilidad de que, si la hipótesis nula es verdadera, los resultados de otra muestra seleccionada aleatoriamente serán tan extremos o más extremos como los resultados obtenidos de la muestra dada.

Un gran$$p$$ valor calculado a partir de los datos indica que no debemos rechazar la hipótesis nula. Cuanto menor es el$$p$$ valor, más improbable es el resultado y más fuerte es la evidencia contra la hipótesis nula. Rechazaríamos la hipótesis nula si la evidencia está fuertemente en contra de ella.

Dibuja una gráfica que muestre el$$p$$ -valor. La prueba de hipótesis es más fácil de realizar si usas una gráfica porque ves el problema con mayor claridad.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Supongamos que un panadero afirma que su altura de pan es de más de 15 cm, en promedio. Varios de sus clientes no le creen. Para persuadir a sus clientes de que tiene razón, el panadero decide hacer una prueba de hipótesis. Él cuece 10 hogazas de pan. La altura media de los panes de muestra es de 17 cm. El panadero sabe por hornear cientos de hogazas de pan que la desviación estándar para la altura es de 0.5 cm. y la distribución de las alturas es normal.

• La hipótesis nula podría ser$$H_{0}: \mu \leq 15$$
• La hipótesis alternativa es$$H_{a}: \mu > 15$$

Las palabras “es más que” se traduce como un "$$>$$" así "$$\mu > 15$$"” entra en la hipótesis alterna. La hipótesis nula debe contradecir la hipótesis alternativa.

Dado que$$\sigma$$ se conoce ($$\sigma = 0.5 cm.$$), se sabe que la distribución para la población es normal con media$$μ = 15$$ y desviación estándar

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.5}{\sqrt{10}} = 0.16. \nonumber$

Supongamos que la hipótesis nula es verdadera (la altura media de los panes no supera los 15 cm). Entonces, ¿la altura media (17 cm) calculada a partir de la muestra es inesperadamente grande? La prueba de hipótesis funciona preguntándose qué tan improbable sería la media de la muestra si la hipótesis nula fuera cierta. La gráfica muestra qué tan lejos está la media de la muestra en la curva normal. El valor p es la probabilidad de que, si tomáramos otras muestras, cualquier otra media muestral caería al menos hasta 17 cm.

El$$p$$ -valor, entonces, es la probabilidad de que una media muestral sea igual o mayor a 17 cm. cuando la media poblacional es, de hecho, de 15 cm. Podemos calcular esta probabilidad usando la distribución normal para medias.

$$p\text{-value} = P(\bar{x} > 17)$$que es aproximadamente cero.

Un$$p$$ -valor de aproximadamente cero nos dice que es muy poco probable que una barra de pan no suba más de 15 cm, en promedio. Es decir, casi 0% de todas las barras de pan serían al menos tan altas como 17 cm. puramente por casualidad si la estatura media de la población hubiera sido realmente de 15 cm. Debido a que el resultado de 17 cm. es tan improbable (lo que significa que está sucediendo NO solo por casualidad), concluimos que la evidencia está fuertemente en contra de la hipótesis nula (la altura media es como máximo de 15 cm.). Existe evidencia suficiente de que la verdadera altura media para la población de las barras de pan panadero es mayor a 15 cm.

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Una distribución normal tiene una desviación estándar de 1. Queremos verificar una afirmación de que la media es mayor a 12. Se toma una muestra de 36 con una media muestral de 12.5.

• $$H_{0}: \mu \leq 12$$
• $$H_{a}: \mu > 12$$

El$$p$$ valor -es 0.0013

Dibuja una gráfica que muestre el$$p$$ -valor.

Contestar

$$p\text{-value} = 0.0013$$

Decisión y Conclusión

Una manera sistemática de tomar una decisión de rechazar o no rechazar la hipótesis nula es comparar el$$p$$ -valor y un preestablecido o preconcebido$$\alpha$$ (también llamado "nivel de significancia “). Un preset$$\alpha$$ es la probabilidad de un error Tipo I (rechazando la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). Se le puede dar o no al inicio del problema.

Cuando tome una decisión de rechazar o no rechazar$$H_{0}$$, haga lo siguiente:

• Si$$\alpha > p\text{-value}$$, rechace$$H_{0}$$. Los resultados de los datos de la muestra son significativos. Hay pruebas suficientes para concluir que$$H_{0}$$ es una creencia incorrecta y que la hipótesis alternativa,$$H_{a}$$, puede ser correcta.
• Si$$\alpha \leq p\text{-value}$$, no rechace$$H_{0}$$. Los resultados de los datos de la muestra no son significativos.No hay evidencia suficiente para concluir que la hipótesis alternativa,$$H_{a}$$, pueda ser correcta.

Cuando “no rechaces$$H_{0}$$ “, no significa que debas creer que H 0 es verdad. Simplemente significa que los datos de la muestra no han aportado pruebas suficientes para arrojar serias dudas sobre la veracidad de$$H_{0}$$.

Conclusión: Después de tomar su decisión, escriba una conclusión reflexiva sobre las hipótesis en términos del problema dado.

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Cuando se usa el$$p$$ -value para evaluar una prueba de hipótesis, a veces es útil usar el siguiente dispositivo de memoria

• Si el$$p$$ valor -es bajo, el nulo debe ir.
• Si el$$p$$ valor -es alto, el nulo debe volar.

Esta ayuda de memoria relaciona un$$p$$ -valor menor que el alfa establecido (el$$p$$ es bajo) como rechazar la hipótesis nula y, de igual manera, relaciona un$$p$$ -valor mayor que el alfa establecido (el$$p$$ es alto) como no rechazar la hipótesis nula.

Rellene los espacios en blanco.

Rechazar la hipótesis nula cuando ______________________________________.

Los resultados de los datos de la muestra _____________________________________.

No rechace el nulo cuando hipótesis cuando __________________________________________.

Los resultados de los datos de la muestra ____________________________________________.

Contestar

Rechazar la hipótesis nula cuando el$$p$$ valor -valor es menor que el valor alfa establecido. Los resultados de los datos de la muestra apoyan la hipótesis alternativa.

No rechace la hipótesis nula cuando el$$p$$ valor -valor es mayor que el valor alfa establecido. Los resultados de los datos de la muestra no apoyan la hipótesis alternativa.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Es un Boy Genetics Labs afirma que sus procedimientos mejoran las posibilidades de que nazca un niño. Los resultados para una prueba de una sola proporción poblacional son los siguientes:

• $$H_{0}: p = 0.50, H_{a}: p > 0.50$$
• $$\alpha = 0.01$$
• $$p\text{-value} = 0.025$$

Interpretar los resultados y exponer una conclusión en términos simples, no técnicos.

Contestar

Dado que el$$p$$ -valor es mayor que el valor alfa establecido (el$$p$$ -valor es alto), no rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes que respalden la afirmación afirmada de It's a Boy Genetics Labs de que sus procedimientos mejoran las posibilidades de que nazca un niño.

Revisar

Cuando la probabilidad de que ocurra un evento es baja, y sucede, se llama un evento raro. Los eventos raros son importantes a considerar en las pruebas de hipótesis porque pueden informar su voluntad de no rechazar o rechazar una hipótesis nula. Para probar una hipótesis nula, encuentre el valor p para los datos de la muestra y grafique los resultados. Al decidir si rechazar o no el nulo la hipótesis, tenga en cuenta estos dos parámetros:

• $$\alpha > p-value$$, rechazar la hipótesis nula
• $$\alpha \leq p-value$$, no rechacen la hipótesis nula

Glosario

Nivel de significancia de la prueba
probabilidad de un error Tipo I (rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera). Notación:$$\alpha$$. En las pruebas de hipótesis, el Nivel de Importancia se llama el preconcebido$$\alpha$$ o el preestablecido$$\alpha$$.
$$p$$-valor
la probabilidad de que un evento ocurra puramente por casualidad asumiendo que la hipótesis nula es verdadera. Cuanto menor es el$$p$$ -valor, más fuerte es la evidencia contra la hipótesis nula.

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