11.2: Datos sobre la distribución de Chi-Cuadrado
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La notación para la distribución chi-cuadrada es:
\[\chi \sim \chi^{2}_{df}\]
donde\(df =\) grados de libertad que depende de cómo se utilice el chi-cuadrado. (Si quieres practicar el cálculo de probabilidades de chi-cuadrado entonces usa\(df = n - 1\). Los grados de libertad para los tres usos principales se calculan cada uno de manera diferente).
Para la\(\chi^{2}\) distribución, la media poblacional es\(\mu = df\) y la desviación estándar poblacional es
\[\sigma = \sqrt{2(df)}.\]
La variable aleatoria se muestra como\(\chi^{2}\), pero puede ser cualquier letra mayúscula. La variable aleatoria para una distribución chi-cuadrada con\(k\) grados de libertad es la suma de variables normales estándar al cuadrado\(k\) independientes.
\[\chi^{2} = (Z_{1})^{2} + ... + (Z_{k})^{2}\]
- La curva es asimétrica y sesgada hacia la derecha.
- Hay una curva de chi-cuadrado diferente para cada uno\(df\).
- El estadístico de prueba para cualquier prueba siempre es mayor o igual a cero.
- Cuando\(df > 90\), la curva chi-cuadrada se aproxima a la distribución normal. Para\(\chi \sim \chi^{2}_{1,000}\) la media,\(\mu = df = 1,000\) y la desviación estándar,\(\mu = \sqrt{2(1,000)}\). Por lo tanto\(X \sim N(1,000, 44.7)\),, aproximadamente.
- La media,\(\mu\), se encuentra justo a la derecha del pico.
Referencias
- Datos de la revista Parade.
- “Epidemiología del VIH/SIDA Condado de Santa Clara”. Departamento de Salud Pública del Condado de Santa Clara, mayo de 2011.
Revisar
La distribución chi-cuadrada es una herramienta útil para la evaluación en una serie de categorías de problemas. Estas categorías de problemas incluyen principalmente (i) si un conjunto de datos se ajusta a una distribución particular, (ii) si las distribuciones de dos poblaciones son iguales, (iii) si dos eventos pueden ser independientes, y (iv) si existe una variabilidad diferente a la esperada dentro de una población.
Un parámetro importante en una distribución de chi-cuadrado son los grados de libertad\(df\) en un problema dado. La variable aleatoria en la distribución chi-cuadrada es la suma de cuadrados de las variables normales estándar df, que deben ser independientes. Las características clave de la distribución de chi-cuadrado también dependen directamente de los grados de libertad.
La curva de distribución de chi-cuadrado está sesgada hacia la derecha, y su forma depende de los grados de libertad\(df\). Para\(df > 90\), la curva se aproxima a la distribución normal. Las estadísticas de prueba basadas en la distribución de chi-cuadrado son siempre mayores o iguales a cero. Tales pruebas de aplicación son casi siempre pruebas de cola derecha.
Revisión de Fórmula
\[\chi^{2} = (Z_{1})^{2} + (Z_{2})^{2} + ... + (Z_{df})^{2}\]variable aleatoria de distribución chi-cuadrada
\(\mu_{\chi^{2}} = df\)distribución chi-cuadrada media de la población
\(\sigma_{\chi^{2}} = \sqrt{2(df)}\)Desviación estándar de la población de Chi-cuadrado
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Si el número de grados de libertad para una distribución de chi-cuadrado es 25, ¿cuál es la media poblacional y la desviación estándar?
Contestar
media\(= 25\) y desviación estándar\(= 7.0711\)
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Si\(df > 90\), la distribución es _____________. Si\(df = 15\), la distribución es ________________.
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
¿Cuándo se aproxima la curva chi-cuadrada a una distribución normal?
Contestar
cuando el número de grados de libertad es mayor que 90
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
¿Dónde se\(\mu\) ubica en una curva chi-cuadrada?
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
¿Es más probable que el df sea 90, 20, o dos en la gráfica?
Contestar
\(df = 2\)