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# 3.3: Probabilidad Condicional y Eventos Independientes

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Objetivos de aprendizaje

• Aprender el concepto de probabilidad condicional y cómo calcularlo.
• Aprender el concepto de independencia de los acontecimientos, y cómo aplicarlo.

Supongamos que se ha rodado un dado justo y se le pide que dé la probabilidad de que fuera un cinco. Hay seis resultados igualmente probables, así que tu respuesta es$$1/6$$. Pero supongamos que antes de dar su respuesta se le da la información extra de que el número rodado era impar. Dado que solo hay tres números impares que son posibles, uno de los cuales es cinco, certai: nly revisar su estimación de la probabilidad de que un cinco se rodó de$$1/6$$ a$$1/3$$. En general, la probabilidad revisada de que se haya producido un evento A, tomando en cuenta la información adicional de que otro evento definitivamente$$B$$ ha ocurrido en este ensayo del experimento, se denomina probabilidad condicional de$$A$$ dado $$B$$y se denota por$$P(A\mid B)$$. El razonamiento empleado en este ejemplo puede generalizarse para producir la fórmula computacional en la siguiente definición.

La probabilidad condicional de$$A$$ dado$$B$$, denotada$$P(A\mid B)$$, es la probabilidad de que el evento$$A$$ haya ocurrido en un ensayo de un experimento aleatorio para el que se sabe que el evento$$B$$ ha ocurrido definitivamente. Se podrá computar por medio de la siguiente fórmula:

$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \label{CondProb}$

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: Rolling a Die

Se enrolla una matriz justa (imparcial).

Solución:

El espacio muestral para este experimento es el conjunto$$S={1,2,3,4,5,6}$$ que consta de seis resultados igualmente probables. Let$$F$$ denotar el evento “un cinco es rodado” y vamos$$O$$ denotar el evento “un número impar es rodado”, de manera que

$F={5}\; \; \text{and}\; \; O={1,3,5} \nonumber$

1. Este es el ejemplo introductorio, por lo que ya sabemos que la respuesta es$$1/3$$. Para usar la Ecuación\ ref {condProb} para confirmar esto debemos reemplazar$$A$$ en la fórmula (el evento cuya probabilidad buscamos estimar) por$$F$$ y reemplazar$$B$$ (el evento que conocemos con certeza ha ocurrido) por$$O$$:$P(F\mid O)=\dfrac{P(F\cap O)}{P(O)}\nonumber$ Desde$F\cap O={5}\cap {1,3,5}={5},\; P(F\cap O)=1/6$ Desde$O={1,3,5}, \; P(O)=3/6.$ Así$P(F\mid O)=\dfrac{P(F\cap O)}{P(O)}=\dfrac{1/6}{3/6}=\dfrac{1}{3} \nonumber$
2. Este es el mismo problema, pero con los roles de$$F$$ y$$O$$ revertidos. Ya que se nos da que el número que se rodó es cinco, lo cual es impar, la probabilidad en cuestión debe ser$$1$$. Para aplicar la Ecuación\ ref {condProb} a este caso debemos ahora reemplazar$$A$$ (el evento cuya probabilidad buscamos estimar) por$$O$$ y$$B$$ (el evento que conocemos con certeza ha ocurrido) por$$F$$:$P(O\mid F)=\dfrac{P(O\cap F)}{P(F)} \nonumber$ Obviamente$$P(F)=1/6$$. En la parte (a) encontramos eso$$P(F\mid O)=1/6$$. Así$P(O\mid F)=\dfrac{P(O\cap F)}{P(F)}=\dfrac{1/6}{1/6}=1 \nonumber$

Así como no necesitábamos la fórmula computacional en este ejemplo, no la necesitamos cuando la información se presenta en una tabla de clasificación bidireccional, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$: Marriage and Gender

En una muestra de$$902$$ individuos menores$$40$$ que estaban o habían estado previamente casados, cada persona se clasificó de acuerdo al género y edad al primer matrimonio. Los resultados se resumen en la siguiente tabla de clasificación bidireccional, donde el significado de las etiquetas es:

• $$M$$: macho
• $$F$$: hembra
• $$E$$: un adolescente cuando se casó por primera vez
• $$W$$: en los veinte años cuando se casó por primera vez
• $$H$$: en los treinta cuando se casó por primera vez
$$E$$ $$W$$ $$H$$ Total
$$M$$ \ (E\) ">43 \ (W\) ">293 \ (H\) ">114 450
$$F$$ \ (E\) ">82 \ (W\) ">299 \ (H\) ">71 452
Total \ (E\) ">125 \ (W\) ">592 \ (H\) ">185 902

Los números en la primera fila significan que$$43$$ las personas de la muestra eran hombres que se casaron por primera vez en su adolescencia,$$293$$ fueron hombres que se casaron por primera vez a los veinte,$$114$$ hombres que se casaron por primera vez en sus treinta, y un total de$$450$$ personas en la muestra eran hombres. De manera similar para los números de la segunda fila. Los números en la última fila significan que, independientemente del género,$$125$$ las personas de la muestra se casaron$$592$$ en su adolescencia, en sus veintes,$$185$$ en sus treinta, y que había$$902$$ personas en la muestra en total. Supongamos que las proporciones en la muestra reflejan con precisión las de la población de todos los individuos de la población que están menores$$40$$ y que están o han estado casados previamente. Supongamos que esa persona es seleccionada al azar.

Solución:

Es natural dejar$$E$$ también denotar el evento de que la persona seleccionada era un adolescente en el primer matrimonio y dejar$$M$$ denotar el evento de que la persona seleccionada es masculina.

1. Según la tabla, la proporción de individuos en la muestra que estaban en su adolescencia en su primer matrimonio es$$125/902$$. Esta es la frecuencia relativa de tales personas en la población, por lo tanto$$P(E)=125/902\approx 0.139$$ o aproximadamente$$14\%$$.
2. Dado que se sabe que la persona seleccionada es varón, todas las hembras podrán ser retiradas de consideración, de manera que sólo aplique la fila en la tabla correspondiente a los hombres de la muestra:
$$E$$ $$W$$ $$H$$ Total
$$M$$ \ (E\) ">43 \ (W\) ">293 \ (H\) ">114 450

La proporción de varones en la muestra que estaban en la adolescencia en su primer matrimonio es$$43/450$$. Esta es la frecuencia relativa de tales personas en la población de varones, por lo tanto$$P(E/M)=43/450\approx 0.096$$ o aproximadamente$$10\%$$.

En el siguiente ejemplo, se debe utilizar la fórmula computacional en la definición.

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$: Body Weigth and hypertension

Supongamos que en una población adulta la proporción de personas que tienen sobrepeso y sufren hipertensión es$$0.09$$; la proporción de personas que no tienen sobrepeso pero que padecen hipertensión es$$0.11$$; la proporción de personas que tienen sobrepeso pero no sufren hipertensión es$$0.02$$; y la proporción de personas que no tienen sobrepeso ni sufren hipertensión es$$0.78$$. Se selecciona aleatoriamente a un adulto de esta población.

3. Compare las dos probabilidades que se acaban de encontrar para dar respuesta a la pregunta de si las personas con sobrepeso tienden a sufrir hipertensión.
Solución:

Dejar$$H$$ denotar el evento “la persona seleccionada sufre hipertensión”. Dejar$$O$$ denotar el evento “la persona seleccionada tiene sobrepeso”. La información de probabilidad dada en el problema puede organizarse en la siguiente tabla de contingencia:

$$O$$ $$O^c$$
$$H$$ \ (O\) ">0.09 \ (O^C\) ">0.11
$$H^c$$ \ (O\) ">0.02 \ (O^C\) ">0.78
1. Usando la fórmula en la definición de probabilidad condicional (Ecuación\ ref {condProb}),$P(H|O)=\dfrac{P(H\cap O)}{P(O)}=\dfrac{0.09}{0.09+0.02}=0.8182$
2. Usando la fórmula en la definición de probabilidad condicional (Ecuación\ ref {condProb}),$P(H|O)=\dfrac{P(H\cap O^c)}{P(O^c)}=\dfrac{0.11}{0.11+0.78}=0.1236$
3. $$P(H|O)=0.8182$$es más de seis veces más grande que$$P(H|O^c)=0.1236$$, lo que indica una tasa mucho mayor de hipertensión entre las personas con sobrepeso que entre las personas que no tienen sobrepeso. Podría ser interesante señalar que una comparación directa de$$P(H\cap O)=0.09$$ y$$P(H\cap O^c)=0.11$$ no responde a la misma pregunta.

## Eventos Independientes

Aunque normalmente esperamos que la probabilidad condicional$$P(A\mid B)$$ sea diferente de la probabilidad$$P(A)$$ de$$A$$, no tiene que ser diferente de$$P(A)$$. Cuando$$P(A\mid B)=P(A)$$, la ocurrencia de no$$B$$ tiene efecto sobre la probabilidad de$$A$$. Que el suceso$$A$$ haya ocurrido o no es independiente del suceso$$B$$.

Usando álgebra se puede demostrar que la igualdad se$$P(A\mid B)=P(A)$$ mantiene si y sólo si la igualdad se$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$ mantiene, lo que a su vez es cierto si y sólo si$$P(B\mid A)=P(B)$$. Esta es la base para la siguiente definición.

Definición: Eventos Independientes y Dependientes

Los eventos$$A$$ y$$B$$ son independientes (es decir, eventos cuya probabilidad de ocurrir juntos es producto de sus probabilidades individuales). si

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Si$$A$$ y no$$B$$ son independientes entonces son dependientes.

La fórmula en la definición tiene dos usos prácticos pero exactamente opuestos:

• En una situación en la que podemos calcular las tres probabilidades$$P(A), P(B)\; \text{and}\; P(A\cap B)$$, se utiliza para verificar si los eventos$$A$$ y$$B$$ son independientes o no:
• Si$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$, entonces$$A$$ y$$B$$ son independientes.
• Si$$P(A\cap B)\neq P(A)\cdot P(B)$$, entonces$$A$$ y no$$B$$ son independientes.
• En una situación en la que cada uno de$$P(A)$$ y se$$P(B)$$ puede calcular$$A$$ y se sabe que y$$B$$ son independientes, entonces podemos calcular$$P(A\cap B)$$ multiplicando juntos$$P(A) \; \text{and}\; P(B)$$:$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$.

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$: Rolling a Die again

Se enrolla un solo troquel justo. Dejar$$A=\{3\}$$ y$$B=\{1,3,5\}$$. ¿Son$$A$$ e$$B$$ independientes?

Solución:

En este ejemplo podemos calcular las tres probabilidades$$P(A)=1/6$$,$$P(B)=1/2$$, y$$P(A\cap B)=P(\{3\})=1/6$$. Ya que el producto no$$P(A)\cdot P(B)=(1/6)(1/2)=1/12$$ es el mismo número que$$P(A\cap B)=1/6$$, los eventos$$A$$ y no$$B$$ son independientes.

Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

La clasificación bidireccional de adultos casados o previamente casados menores$$40$$ según sexo y edad al primer matrimonio produjo la tabla

E W H Total
M 43 293 114 450
F 82 299 71 452
Total 125 592 185 902

Determinar si los eventos$$F$$: “femenino” y$$E$$: “era adolescente en el primer matrimonio” son o no independientes.

Solución:

El cuadro muestra que en la muestra de$$902$$ tales adultos,$$452$$ eran mujeres,$$125$$ eran adolescentes en su primer matrimonio, y$$82$$ eran mujeres que eran adolescentes en su primer matrimonio, de manera que

\begin{align*} P(F) &=\dfrac{452}{902},\\[4pt] P(E) &=\dfrac{125}{902} \\[4pt] P(F\cap E) &=\dfrac{82}{902} \end{align*}

Desde

\begin{align*} P(F)\cdot P(E) &=\dfrac{452}{902}\cdot \dfrac{125}{902} \\[4pt] &=0.069 \end{align*}

no es lo mismo que

$P(F\cap E)=\dfrac{82}{902}=0.091 \nonumber$

concluimos que los dos hechos no son independientes.

Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Muchas pruebas diagnósticas para detectar enfermedades no hacen pruebas para la enfermedad directamente sino para un producto químico o biológico de la enfermedad, por lo tanto, no son perfectamente confiables. La sensibilidad de una prueba es la probabilidad de que la prueba sea positiva cuando se administra a una persona que tiene la enfermedad. Cuanto mayor sea la sensibilidad, mayor será la tasa de detección y menor será la tasa de falsos negativos.

Supongamos que la sensibilidad de un procedimiento diagnóstico para probar si una persona tiene alguna enfermedad en particular es$$92\%$$. Una persona que realmente tiene la enfermedad es evaluada para ello mediante este procedimiento por dos laboratorios independientes.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos resultados de la prueba sean positivos?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos resultados de la prueba sea positivo?

Solución:

1. Dejar$$A_1$$ denotar el evento “la prueba por el primer laboratorio es positiva” y dejar$$A_2$$ denotar el evento “la prueba por el segundo laboratorio es positiva”. Dado que$$A_1$$ y$$A_2$$ son independientes,\begin{align*} P(A_1\cap A_2) &=P(A_1)\cdot P(A_2) \\[4pt] &=0.92\times 0.92 \\[4pt] &=0.8464 \end{align*}
2. Usando la Regla Aditiva para Probabilidad y la probabilidad recién calculada,\begin{align*}P(A_1\cup A_2) &= P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2) \\[4pt] &=0.92+0.92-0.8464 \\[4pt] &=0.9936 \end{align*}

Ejemplo$$\PageIndex{7}$$: specificity of a diagnostic test

La especificidad de una prueba diagnóstica para una enfermedad es la probabilidad de que la prueba sea negativa cuando se administre a una persona que no tenga la enfermedad. Cuanto mayor sea la especificidad, menor será la tasa de falsos positivos. Supongamos que es la especificidad de un procedimiento diagnóstico para probar si una persona tiene alguna enfermedad en particular$$89\%$$.

1. A una persona que no tiene la enfermedad se le hace la prueba mediante este procedimiento. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea positivo?
2. Una persona que no tiene la enfermedad es evaluada para ello por dos laboratorios independientes que utilizan este procedimiento. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos resultados de la prueba sean positivos?

Solución:

1. Dejar$$B$$ denotar el evento “el resultado de la prueba es positivo”. El complemento de$$B$$ es que el resultado de la prueba es negativo, y tiene probabilidad la especificidad de la prueba,$$0.89$$. Así$P(B)=1-P(B^c)=1-0.89=0.11 \nonumber$
2. Dejar$$B_1$$ denotar el evento “la prueba por el primer laboratorio es positiva” y dejar$$B_2$$ denotar el evento “la prueba por el segundo laboratorio es positiva”. Dado que$$B_1$$ y$$B_2$$ son independientes, por la parte (a) del ejemplo$P(B_1\cap B_2)=P(B_1)\cdot P(B_2)=0.11\times 0.11=0.0121 \nonumber$

El concepto de independencia se aplica a cualquier número de eventos. Por ejemplo, tres eventos$$A,\; B,\; \text{and}\; C$$ son independientes si$$P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)$$. Obsérvese cuidadosamente que, como es el caso de solo dos eventos, esta no es una fórmula que siempre es válida, sino que se sostiene precisamente cuando los eventos en cuestión son independientes.

Ejemplo$$\PageIndex{8}$$: redundancy

La confiabilidad de un sistema se puede mejorar por redundancia, lo que significa construir dos o más dispositivos independientes para hacer el mismo trabajo, como dos sistemas de frenado independientes en un automóvil. Supongamos que una especie particular de perros entrenados tiene la$$90\%$$ posibilidad de detectar contrabando en el equipaje de la aerolínea. Si el equipaje es facturado tres veces por tres perros diferentes independientemente uno del otro, ¿cuál es la probabilidad de que se detecte contrabando?

Solución:

Dejar$$D_1$$ denotar el evento de que el contrabando es detectado por el primer perro,$$D_2$$ el evento de que es detectado por el segundo perro, y$$D_3$$ el evento que es detectado por el tercero. Dado que cada perro tiene una$$90\%$$ de detectar el contrabando, por la Regla de Probabilidad para Complementos tiene$$10\%$$ posibilidades de fallar. En símbolos,$P(D_{1}^{c})=0.10,\; \; P(D_{2}^{c})=0.10,\; \; P(D_{3}^{c})=0.10$

Dejar$$D$$ denotar el suceso de que se detecta el contrabando. Buscamos$$P(D)$$. Es más fácil de encontrar$$P(D^c)$$, porque aunque hay varias formas para que se detecte el contrabando, solo hay una manera para que pase desapercibido: los tres perros deben fallar. Así$$D^c=D_{1}^{c}\cap D_{2}^{c}\cap D_{3}^{c}$$ y$P(D)=1-P(D^c)=1-P(D_{1}^{c}\cap D_{2}^{c}\cap D_{3}^{c})$ Pero los acontecimientos$$D_1$$,$$D_2$$, y$$D_3$$ son independientes, lo que implica que sus complementos son independientes, por lo que$P(D_{1}^{c}\cap D_{2}^{c}\cap D_{3}^{c})=P(D_{1}^{c})\cdot P(D_{2}^{c})\cdot P(D_{3}^{c})=0.10\times 0.10\times 0.10=0.001$

Usando este número en la pantalla anterior obtenemos$P(D)=1-0.001=0.999$

Es decir, aunque cualquier perro solo tiene$$90\%$$ posibilidades de detectar el contrabando, tres perros que trabajan de forma independiente tienen la$$99.9\%$$ posibilidad de detectarlo.

## Probabilidades en Diagramas de Árbol

Algunos problemas de probabilidad se hacen mucho más simples cuando se abordan usando un diagrama de árbol. El siguiente ejemplo ilustra cómo colocar probabilidades en un diagrama de árbol y usarlo para resolver un problema.

Ejemplo$$\PageIndex{9}$$: A jar of Marbles

Un frasco contiene$$10$$ canicas, en$$3$$ blanco y$$7$$ negro. Se dibujan dos canicas sin reemplazo, lo que significa que la primera no se vuelve a poner antes de que se dibuje la segunda.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas canicas sean negras?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una canica sea negra?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una canica sea negra?

Solución:

En la Figura se muestra un diagrama de árbol para la situación de dibujar una canica tras otra sin reemplazo$$\PageIndex{1}$$. El círculo y el rectángulo se explicarán más adelante, y deben ignorarse por ahora.

Los números en las dos ramas más a la izquierda son las probabilidades de obtener ya sea una canica negra,$$7$$ fuera de$$10$$, o una canica blanca,$$3$$ fuera de$$10$$, en el primer sorteo. El número en cada rama restante es la probabilidad de que ocurra el evento correspondiente al nodo del extremo derecho de la rama, dado que se ha producido el evento correspondiente al nodo del extremo izquierdo de la rama. Así para la rama superior, conectando las dos Bs, es$$P(B_2\mid B_1)$$, donde$$B_1$$ denota el evento “el primer mármol dibujado es negro” y$$B_2$$ denota el evento “el segundo mármol dibujado es negro”. Ya que después de dibujar una canica negra por ahí quedan$$9$$ mármoles, de los cuales$$6$$ son negros, esta probabilidad lo es$$6/9$$.

El número a la derecha de cada nodo final se calcula como se muestra, utilizando el principio de que si la fórmula en la Regla Condicional para Probabilidad se multiplica por$$P(B)$$, entonces el resultado es

$P(B\cap A)=P(B)\cdot P(A\mid B)$

1. El evento “ambas canicas son negras” es$$B_1\cap B_2$$ y corresponde al nodo superior derecho en el árbol, el cual ha sido encerrado en un círculo. Así como ahí se indica, lo es$$0.47$$.
2. El evento “exactamente una canica es negra” corresponde a los dos nodos del árbol encerrados por el rectángulo. Los eventos que corresponden a estos dos nodos son mutuamente excluyentes: el negro seguido del blanco es incompatible con el blanco seguido del negro. Por lo tanto, de acuerdo con la Regla Aditiva para Probabilidad simplemente sumamos las dos probabilidades junto a estos nodos, ya que lo que se restaría de la suma es cero. Así es la probabilidad de dibujar exactamente un mármol negro en dos intentos$$0.23+0.23=0.46$$.
3. El evento “al menos un mármol es negro” corresponde a los tres nodos del árbol encerrados por el círculo o el rectángulo. Los eventos que corresponden a estos nodos son mutuamente excluyentes, así como en la parte (b) simplemente agregamos las probabilidades junto a estos nodos. Así es la probabilidad de dibujar al menos un mármol negro en dos intentos$$0.47+0.23+0.23=0.93$$.

Por supuesto, esta respuesta podría haberse encontrado más fácilmente usando la Ley de Probabilidad para Complementos, simplemente restando la probabilidad del evento complementario, “se dibujan dos canicas blancas”, de 1 para obtener$$1-0.07=0.93$$.

Como muestra este ejemplo, encontrar la probabilidad para cada rama es bastante sencillo, ya que la calculamos conociendo todo lo que ha sucedido en la secuencia de pasos hasta el momento. De este ejemplo se desprenden dos principios que son ciertos en general:

• Dos eventos$$A$$ y$$B$$ son independientes si la probabilidad$$P(A\cap B)$$ de su intersección$$A\cap B$$ es igual al producto$$P(A)\cdot P(B)$$ de sus probabilidades individuales.