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# 4.2: Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas

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Objetivos de aprendizaje

• Aprender el concepto de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
• Aprender los conceptos de media, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta, y cómo calcularlos.

Asociada a cada valor posible$$x$$ de una variable aleatoria discreta$$X$$ está la probabilidad de$$P(x)$$ que$$X$$ tome el valor$$x$$ en un ensayo del experimento.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta$$X$$ es una lista de cada valor posible de$$X$$ junto con la probabilidad que$$X$$ toma ese valor en un ensayo del experimento.

Las probabilidades en la distribución de probabilidad de una variable aleatoria$$X$$ deben cumplir las dos condiciones siguientes:

• Cada probabilidad$$P(x)$$ debe estar entre$$0$$ y$$1$$:$0\leq P(x)\leq 1.$
• La suma de todas las probabilidades posibles es$$1$$:$\sum P(x)=1.$

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: two Fair Coins

Una moneda justa se arroja dos veces. $$X$$Sea el número de cabezas que se observen.

1. Construir la distribución de probabilidad de$$X$$.
2. Encuentra la probabilidad de que se observe al menos una cabeza.

Solución:

1. Los valores posibles que$$X$$ pueden tomar son$$0$$,$$1$$, y$$2$$. Cada uno de estos números corresponde a un evento en el espacio muestral$$S=\{hh,ht,th,tt\}$$ de resultados igualmente probables para este experimento:$X = 0\; \text{to}\; \{tt\},\; X = 1\; \text{to}\; \{ht,th\}, \; \text{and}\; X = 2\; \text{to}\; {hh}. \nonumber$ La probabilidad de cada uno de estos eventos, de ahí del valor correspondiente de$$X$$, se puede encontrar simplemente contando, para dar$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(x) & 0.25 & 0.50 & 0.25\\ \end{array} \nonumber$ Esta tabla es la probabilidad distribución de$$X$$.
2. “Al menos una cabeza” es el evento$$X\geq 1$$, que es la unión de los eventos mutuamente excluyentes$$X = 1$$ y$$X = 2$$. Así, en la Figura se da\begin{align*} P(X\geq 1)&=P(1)+P(2)=0.50+0.25 \\[5pt] &=0.75 \end{align*} un histograma que ilustra gráficamente la distribución de probabilidad$$\PageIndex{1}$$.

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$: Two Fair Dice

Se tira un par de dados justos. Dejar$$X$$ denotar la suma del número de puntos en las caras superiores.

1. Construir la distribución de probabilidad de$$X$$ para un dado pagado de justo.
2. Encuentra$$P(X\geq 9)$$.
3. Encuentra la probabilidad de que$$X$$ tome un valor par.

Solución:

El espacio muestral de resultados igualmente probables es

$\begin{matrix} 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16\\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26\\ 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36\\ 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46\\ 51 & 52 & 53 & 54 & 55 & 56\\ 61 & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \end{matrix} \nonumber$

donde el primer dígito es die 1 y el segundo número es die 2.

1. Los valores posibles para$$X$$ son los números$$2$$ a través de$$12$$. $$X= 2$$es el evento$$\{11\}$$, entonces$$P(2)=1/36$$. $$X= 3$$es el evento$$\{12,21\}$$, entonces$$P(3)=2/36$$. Continuando de esta manera obtenemos la siguiente tabla$\begin{array}{c|ccccccccccc} x &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 \\ \hline P(x) &\dfrac{1}{36} &\dfrac{2}{36} &\dfrac{3}{36} &\dfrac{4}{36} &\dfrac{5}{36} &\dfrac{6}{36} &\dfrac{5}{36} &\dfrac{4}{36} &\dfrac{3}{36} &\dfrac{2}{36} &\dfrac{1}{36} \\ \end{array} \nonumber$ Esta tabla es la distribución de probabilidad de$$X$$.
2. El evento$$X\geq 9$$ es la unión de los eventos mutuamente excluyentes$$X = 9$$,$$X = 10$$,$$X = 11$$, y$$X = 12$$. Así\begin{align*}P(X\geq 9) &=P(9)+P(10)+P(11)+P(12) \\[5pt] &=\dfrac{4}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{1}{36} \\[5pt] &=\dfrac{10}{36} \\[5pt] &=0.2\bar{7} \end{align*}
3. Antes saltamos inmediatamente a la conclusión de que la probabilidad que$$X$$ toma un valor par debe ser$$0.5$$, tenga en cuenta que$$X$$ toma seis valores pares diferentes pero sólo cinco valores impares diferentes. Calculamos\begin{align*} P(X\; \text{is even}) &= P(2)+P(4)+P(6)+P(8)+P(10)+P(12) \\[5pt] &= \dfrac{1}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{5}{36}+\dfrac{5}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{1}{36} \\[5pt] &= \dfrac{18}{36} \\[5pt] &= 0.5 \end{align*} Un histograma que ilustra gráficamente la distribución de probabilidad se da en la Figura$$\PageIndex{2}$$.

## La media y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta

Definición: mean

La media (también llamada “valor de expectativa” o “valor esperado”) de una variable aleatoria discreta$$X$$ es el número

$\mu =E(X)=\sum x P(x) \label{mean}$

La media de una variable aleatoria puede interpretarse como la media de los valores asumidos por la variable aleatoria en ensayos repetidos del experimento.

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Encuentra la media de la variable aleatoria discreta$$X$$ cuya distribución de probabilidad es

$\begin{array}{c|cccc} x &-2 &1 &2 &3.5\\ \hline P(x) &0.21 &0.34 &0.24 &0.21\\ \end{array} \nonumber$

Solución

Usando la definición de media (Ecuación\ ref {media}) da

\begin{align*} \mu &= \sum x P(x)\\[5pt] &= (-2)(0.21)+(1)(0.34)+(2)(0.24)+(3.5)(0.21)\\[5pt] &= 1.135 \end{align*}

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Una organización de servicios en un pueblo grande organiza una rifa cada mes. Se venden mil boletos de rifa por$$\1$$ cada uno. Cada uno tiene las mismas posibilidades de ganar. El primer premio es$$\300$$, el segundo premio es$$\200$$, y el tercer premio es$$\100$$. Dejar$$X$$ denotar la ganancia neta de la compra de un boleto.

1. Construir la distribución de probabilidad de$$X$$.
2. Encuentra la probabilidad de ganar dinero en la compra de un boleto.
3. Encontrar el valor esperado de$$X$$, e interpretar su significado.

Solución:

1. Si se selecciona un boleto como ganador del primer premio, la ganancia neta para el comprador es el$$\300$$ premio menos el$$\1$$ que se pagó por el boleto, de ahí$$X = 300-11 = 299$$. Hay uno de esos boletos, entonces$$P(299) = 0.001$$. Al aplicar el mismo principio de “ingresos menos salida” a los ganadores del segundo y tercer premio y a los boletos$$997$$ perdedores se obtiene la distribución de probabilidad:$\begin{array}{c|cccc} x &299 &199 &99 &-1\\ \hline P(x) &0.001 &0.001 &0.001 &0.997\\ \end{array} \nonumber$
2. Dejar$$W$$ denotar el evento de que se selecciona un boleto para ganar uno de los premios. Uso de la tabla\begin{align*} P(W)&=P(299)+P(199)+P(99)=0.001+0.001+0.001\\[5pt] &=0.003 \end{align*}
3. Usando la definición de valor esperado (Ecuación\ ref {media}),\begin{align*}E(X)&=(299)\cdot (0.001)+(199)\cdot (0.001)+(99)\cdot (0.001)+(-1)\cdot (0.997) \\[5pt] &=-0.4 \end{align*} El valor negativo significa que uno pierde dinero en promedio. En particular, si alguien comprara boletos repetidamente, entonces aunque ganaría de vez en cuando, en promedio perdería$$40$$ centavos por boleto comprado.

El concepto de valor esperado también es básico para la industria aseguradora, como lo ilustra el siguiente ejemplo simplificado.

Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Una compañía de seguros de vida venderá una póliza de seguro de vida a término de un$$\200,000$$ año a una persona en un grupo de riesgo en particular por una prima de$$\195$$. Encuentre el valor esperado para la empresa de una sola póliza si una persona de este grupo de riesgo tiene$$99.97\%$$ posibilidades de sobrevivir un año.

Solución:

Dejar$$X$$ denotar la ganancia neta a la empresa por la venta de una de esas pólizas. Hay dos posibilidades: el asegurado vive todo el año o el asegurado muere antes de que termine el año. Aplicando el principio de “ingreso menos salida”, en el primer caso el valor de$$X$$ es$$195-0$$; en el segundo caso lo es$$195-200,000=-199,805$$. Dado que la probabilidad en el primer caso es 0.9997 y en el segundo caso es$$1-0.9997=0.0003$$, la distribución de probabilidad para$$X$$ es:

$\begin{array}{c|cc} x &195 &-199,805 \\ \hline P(x) &0.9997 &0.0003 \\ \end{array}\nonumber$

Por lo tanto

\begin{align*} E(X) &=\sum x P(x) \\[5pt]&=(195)\cdot (0.9997)+(-199,805)\cdot (0.0003) \\[5pt] &=135 \end{align*}

Ocasionalmente (de hecho,$$3$$ veces en$$10,000$$) la compañía pierde una gran cantidad de dinero en una póliza, pero normalmente gana$$\195$$, lo que por nuestro cálculo de$$E(X)$$ funciona a una ganancia neta de$$\135$$ por póliza vendida, en promedio.

Definición: varianza

La varianza ($$\sigma ^2$$) de una variable aleatoria discreta$$X$$ es el número

$\sigma ^2=\sum (x-\mu )^2P(x) \label{var1}$

que por álgebra es equivalente a la fórmula

$\sigma ^2=\left [ \sum x^2 P(x)\right ]-\mu ^2 \label{var2}$

Definición: desviación estándar

La desviación estándar,$$\sigma$$, de una variable aleatoria discreta$$X$$ es la raíz cuadrada de su varianza, de ahí viene dada por las fórmulas

$\sigma =\sqrt{\sum (x-\mu )^2P(x)}=\sqrt{\left [ \sum x^2 P(x)\right ]-\mu ^2} \label{std}$

La varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta$$X$$ puede interpretarse como medidas de la variabilidad de los valores asumidos por la variable aleatoria en ensayos repetidos del experimento. Las unidades en la desviación estándar coinciden con las de$$X$$.

Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Una variable aleatoria discreta$$X$$ tiene la siguiente distribución de probabilidad:

$\begin{array}{c|cccc} x &-1 &0 &1 &4\\ \hline P(x) &0.2 &0.5 &a &0.1\\ \end{array} \label{Ex61}$

Un histograma que ilustra gráficamente la distribución de probabilidad se da en la Figura$$\PageIndex{3}$$.

1. $$a$$.
2. $$P(0)$$.
3. $$P(X> 0)$$.
4. $$P(X\geq 0)$$.
5. $$P(X\leq -2)$$.
6. La media$$\mu$$ de$$X$$.
7. La varianza$$\sigma ^2$$ de$$X$$.
8. La desviación estándar$$\sigma$$ de$$X$$.

Solución:

1. Dado que todas las probabilidades deben sumar hasta 1,$a=1-(0.2+0.5+0.1)=0.2 \nonumber$
2. Directamente de la tabla, P (0) =0.5$P(0)=0.5 \nonumber$
3. De la Tabla\ ref {Ex61},$P(X> 0)=P(1)+P(4)=0.2+0.1=0.3 \nonumber$
4. De la Tabla\ ref {Ex61},$P(X\geq 0)=P(0)+P(1)+P(4)=0.5+0.2+0.1=0.8 \nonumber$
5. Dado que ninguno de los números listados como posibles valores para$$X$$ es menor o igual a$$-2$$, el evento$$X\leq -2$$ es imposible, por lo que$P(X\leq -2)=0 \nonumber$
6. Usando la fórmula en la definición de$$\mu$$ (Ecuación\ ref {media})\begin{align*}\mu &=\sum x P(x) \\[5pt] &=(-1)\cdot (0.2)+(0)\cdot (0.5)+(1)\cdot (0.2)+(4)\cdot (0.1) \\[5pt] &=0.4 \end{align*}
7. Usando la fórmula en la definición de$$\sigma ^2$$ (Ecuación\ ref {var1}) y el valor de$$\mu$$ eso se acaba de calcular,\begin{align*} \sigma ^2 &=\sum (x-\mu )^2P(x) \\ &= (-1-0.4)^2\cdot (0.2)+(0-0.4)^2\cdot (0.5)+(1-0.4)^2\cdot (0.2)+(4-0.4)^2\cdot (0.1)\\ &= 1.84 \end{align*}
8. Usando el resultado de la parte (g),$$\sigma =\sqrt{1.84}=1.3565$$

## Resumen

• La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta$$X$$ es un listado de cada valor posible$$x$$ tomado por$$X$$ junto con la probabilidad$$P(x)$$ que$$X$$ toma ese valor en un ensayo del experimento.
• La media$$\mu$$ de una variable aleatoria discreta$$X$$ es un número que indica el valor promedio de$$X$$ más de numerosos ensayos del experimento. Se calcula usando la fórmula$$\mu =\sum xP(x)$$.
• La varianza$$\sigma ^2$$ y desviación estándar$$\sigma$$ de una variable aleatoria discreta$$X$$ son números que indican la variabilidad de$$X$$ más de numerosos ensayos del experimento. Se pueden computar usando la fórmula$$\sigma ^2=\left [ \sum x^2P(x) \right ]-\mu ^2$$.

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