Saltar al contenido principal

# 7.1: Estimación de muestra grande de una media poblacional

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Objetivos de aprendizaje

• Familiarizarse con el concepto de estimación de intervalo de la media poblacional.
• Comprender cómo aplicar fórmulas para un intervalo de confianza para una media poblacional.

El Teorema del Límite Central dice que, para muestras grandes (muestras de tamaño$$n \ge 30$$), cuando se ve como una variable aleatoria la media de la muestra$$\overline{X}$$ se distribuye normalmente con media$$\mu_{ \overline{X}}=\mu$$ y desviación estándar$$\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$. La Regla Empírica dice que debemos ir alrededor de dos desviaciones estándar de la media para capturar$$95\%$$ los valores de$$\overline{X}$$ generados por muestra tras muestra. Una distancia más precisa basada en la normalidad de$$\overline{X}$$ es desviaciones$$1.960$$ estándar, que es$$E=\frac{1.960 \sigma}{\sqrt{n}}$$.

La idea clave en la construcción del intervalo de$$95\%$$ confianza es esta, como se ilustra en la Figura$$\PageIndex{1}$$, porque en muestra tras muestra$$95\%$$ de los valores de$$\overline{X}$$ mentira en el intervalo$$[\mu -E,\mu +E]$$, si colindamos a cada lado del punto estimar$$x-a$$ “ala” de longitud$$E$$, $$95\%$$de los intervalos formados por los puntos alados contienen$$\mu$$. El intervalo de$$95\%$$ confianza es así$$\bar{x}\pm 1.960\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$. Para un nivel diferente de confianza, digamos$$90\%$$ o$$99\%$$, el número$$1.960$$ va a cambiar, pero la idea es la misma.

La figura$$\PageIndex{2}$$ muestra los intervalos generados por una simulación por computadora de extraer$$40$$ muestras de una población normalmente distribuida y construir el intervalo de$$95\%$$ confianza para cada una. Esperamos que aproximadamente$$(0.05)(40)=2$$ de los intervalos así construidos no contuvieran la media poblacional$$\mu$$, y en esta simulación dos de los intervalos, mostrados en rojo, sí.

Es una práctica estándar identificar el nivel de confianza en términos del área$$α$$ en las dos colas de la distribución de$$\overline{X}$$ cuando se saca la parte media especificada por el nivel de confianza. Esto se muestra en la Figura$$\PageIndex{3}$$, dibujada para la situación general, y en la Figura$$\PageIndex{4}$$, dibujada para$$95\%$$ la confianza.

Recuerde de la Sección 5.4 que se denota el$$z$$ -valor que corta una cola derecha del área$$c$$$$z_c$$. Así el número$$1.960$$ en el ejemplo es$$z_{.025}$$, que es$$z_{\frac{\alpha }{2}}$$ para$$\alpha =1-0.95=0.05$$.

Para la$$95\%$$ confianza el área en cada cola es$$\alpha /2=0.025$$.

El nivel de confianza puede ser cualquier número entre$$0$$ y$$100\%$$, pero los valores más comunes son probablemente$$90\%$$$$(\alpha =0.10)$$,$$95\%$$$$(\alpha =0.05)$$, y$$99\%$$$$(\alpha =0.01)$$.

Así en general para un intervalo de$$100(1-\alpha )\%$$ confianza,$$E=z_{\alpha /2}(\sigma /\sqrt{n})$$, por lo que la fórmula para el intervalo de confianza es$$\bar{x}\pm z_{\alpha /2}(\sigma /\sqrt{n})$$. Si bien en ocasiones$$\sigma$$ se conoce la desviación estándar de la población, normalmente no lo es. De no ser así, por$$n\geq 30$$ lo general es seguro aproximarse$$\sigma$$ por la desviación estándar de la muestra$$s$$.

Muestra grande$$100(1-\alpha )\%$$ Confidence Interval for a Population Mean

• Si$$\sigma$$ se conoce:$\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\left ( \dfrac{\sigma }{\sqrt{n}} \right )$
• Si$$\sigma$$ se desconoce:$\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\left ( \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right )$

Una muestra se considera grande cuando$$n\geq 30$$.

Como se mencionó anteriormente, el número

$E=z_{\alpha /2}\left ( \frac{\sigma }{\sqrt{n}} \right )$

o

$E=z_{\alpha /2}\left ( \frac{s}{\sqrt{n}} \right )$

se llama el margen de error de la estimación.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Encuentra el número$$z_{\alpha /2}$$ necesario en la construcción de un intervalo de confianza:

1. cuando el nivel de confianza es$$90\%$$;
2. cuando el nivel de confianza es$$99\%$$.

usando las tablas de la Figura$$\PageIndex{5}$$ a continuación.

Solución:

1. Por nivel de confianza$$90\%$$,$$\alpha =1-0.90=0.10$$, entonces$$z_{\alpha /2}=z_{0.05}$$. Dado que el área bajo la curva normal estándar a la derecha de$$z_{0.05}$$ es$$0.05$$, el área a la izquierda de$$z_{0.05}$$ es$$0.95$$. Buscamos el área$$0.9500$$ en Figura$$\PageIndex{5}$$. Las entradas más cercanas en la tabla son$$0.9495$$ y$$0.9505$$, correspondientes a$$z$$ -valores$$1.64$$ y$$1.65$$. Ya que$$0.95$$ está a medio camino entre$$0.9495$$ y$$0.9505$$ usamos el promedio$$1.645$$ de los$$z$$ -valores para$$z_{0.05}$$.
2. Por nivel de confianza$$99\%$$,$$\alpha =1-0.99=0.01$$, entonces$$z_{\alpha /2}=z_{0.005}$$. Dado que el área bajo la curva normal estándar a la derecha de$$z_{0.005}$$ es$$0.005$$, el área a la izquierda de$$z_{0.005}$$ es$$0.9950$$. Buscamos el área$$0.9950$$ en Figura$$\PageIndex{5}$$. Las entradas más cercanas en la tabla son$$0.9949$$ y$$0.9951$$, correspondientes a$$z$$ -valores$$2.57$$ y$$2.58$$. Ya que$$0.995$$ está a medio camino entre$$0.9949$$ y$$0.9951$$ usamos el promedio$$2.575$$ de los$$z$$ -valores para$$z_{0.005}$$.

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Utilice la Figura a$$\PageIndex{6}$$ continuación para encontrar el número$$z_{\alpha /2}$$ necesario en la construcción de un intervalo de confianza:

1. cuando el nivel de confianza es$$90\%$$;
2. cuando el nivel de confianza es$$99\%$$.

Solución:

1. En la siguiente sección aprenderemos sobre una variable aleatoria continua que tiene una distribución de probabilidad llamada$$t$$ distribución Student. La figura$$\PageIndex{6}$$ da el valor$$t_c$$ que corta una cola derecha de área$$c$$ para diferentes valores de$$c$$. La última línea de esa tabla, aquella cuyo encabezado es el símbolo$$\infty$$ del infinito y$$[z]$$, da el$$z$$ -valor correspondiente$$z_c$$ que corta una cola derecha de la misma área$$c$$. En particular,$$z_{0.05}$$ es el número en esa fila y en la columna con el encabezamiento$$t_{0.05}$$. Leemos eso directamente$$z_{0.05}=1.645$$.
2. En Figura$$\PageIndex{6}$$$$z_{0.005}$$ se encuentra el número en la última fila y en la columna encabezada$$t_{0.005}$$, es decir$$2.576$$.

Figura se$$\PageIndex{6}$$ puede utilizar para encontrar$$z_c$$ sólo para aquellos valores de$$c$$ para los cuales hay una columna con el encabezado que$$t_c$$ aparece en la tabla; de lo contrario debemos usar Figura$$\PageIndex{5}$$ a la inversa. Pero cuando se puede hacer es a la vez más rápido y más preciso usar la última línea de Figura$$\PageIndex{6}$$ para encontrar$$z_c$$ que hacerlo usando Figura a$$\PageIndex{5}$$ la inversa.

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Una muestra de tamaño$$49$$ tiene media muestral$$35$$ y desviación estándar de la muestra$$14$$. Construir un intervalo de$$98\%$$ confianza para la media poblacional utilizando esta información. Interpretar su significado.

Solución:

Por nivel de confianza$$98\%$$,$$\alpha =1-0.98=0.02$$, entonces$$z_{\alpha /2}=z_{0.01}$$. De la Figura$$\PageIndex{6}$$ leemos directamente$$z_{0.01}=2.326$$ eso.Así

$\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\frac{s}{\sqrt{n}}=35\pm 2.326\left ( \frac{14}{\sqrt{49}} \right )=35\pm 4.652\approx 35\pm 4.7$

Estamos$$98\%$$ seguros de que la media poblacional$$\mu$$ se encuentra en el intervalo$$[30.3,39.7]$$, en el sentido de que en el muestreo repetido$$98\%$$ de todos los intervalos construidos a partir de la muestra los datos de esta manera contendrán$$\mu$$.

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Una muestra aleatoria de$$120$$ estudiantes de una universidad grande produce promedio de GPA$$2.71$$ con desviación estándar de la muestra$$0.51$$. Construir un intervalo de$$90\%$$ confianza para el promedio promedio de todos los estudiantes de la universidad.

Solución:

Por nivel de confianza$$90\%$$,$$\alpha =1-0.90=0.10$$, entonces$$z_{\alpha /2}=z_{0.05}$$. De Figura$$\PageIndex{6}$$ leemos directamente eso$$z_{0.05}=1.645$$. Desde$$n=120$$,$$\bar{x}=2.71$$, y$$s=0.51$$,

$\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\frac{s}{\sqrt{n}}=2.71\pm 1.645\left ( \frac{0.51}{\sqrt{120}} \right )=2.71\pm 0.0766$

Uno puede estar$$90\%$$ seguro de que el verdadero promedio promedio de todos los estudiantes de la universidad está contenido en el intervalo$$(2.71-0.08,2.71+0.08)=(2.63,2.79)$$.

Llave para llevar

• Un intervalo de confianza para una media poblacional es una estimación de la media poblacional junto con una indicación de confiabilidad.
• Existen diferentes fórmulas para un intervalo de confianza en función del tamaño de la muestra y si se conoce o no la desviación estándar de la población.
• Los intervalos de confianza se construyen en su totalidad a partir de los datos de la muestra (o datos de la muestra y la desviación estándar de la población, cuando se conoce).

## Colaborador

This page titled 7.1: Estimación de muestra grande de una media poblacional is shared under a CC BY-NC-SA 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.