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# 11.3: Pruebas F para Igualdad de Dos Varianzas

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Objetivos de aprendizaje

• Para entender qué son$$F$$ las distribuciones.
• Comprender cómo usar una$$F$$ prueba para juzgar si dos varianzas poblacionales son iguales.

## $$F$$-Distribuciones

Otra familia importante y útil de distribuciones en estadística es la familia$$F$$ de distribuciones. Cada miembro de la familia$$F$$ -distribution es especificado por un par de parámetros llamados grados de libertad y denotados$$df_1$$ y$$df_2$$. La figura$$\PageIndex{1}$$ muestra varias$$F$$ distribuciones para diferentes pares de grados de libertad. Una variable$$F$$ aleatoria es una variable aleatoria que asume solo valores positivos y sigue una$$F$$ distribución -.

El parámetro a menudo$$df_1$$ se conoce como los grados de libertad del numerador y el parámetro$$df_2$$ como los grados de libertad del denominador. Es importante tener en cuenta que no son intercambiables. Por ejemplo, la$$F$$ -distribución con grados de libertad$$df_1=3$$ y$$df_2=8$$ es una distribución diferente de la$$F$$ -distribución con grados de libertad$$df_1=8$$ y$$df_2=3$$.

Definición: valor crítico

El valor de la variable$$F$$ aleatoria$$F$$ con grados de libertad$$df_1$$ y$$df_2$$ que corta una cola derecha de área$$c$$ se denota$$F_c$$ y se denomina valor crítico (Figura$$\PageIndex{2}$$).

Las tablas que contienen los valores de$$F_c$$ se dan en el Capítulo 11. Cada una de las tablas es para una colección fija de valores de$$c$$, ya sea$$0.900,\; 0.950,\; 0.975,\; 0.990,\; \text{and}\; 0.995$$ (dando lo que se llama valores críticos “inferiores”), o$$0.005,\; 0.010,\; 0.025,\; 0.050,\; \text{and}\; 0.100$$ (dando lo que se llama valores críticos “superiores”). En cada tabla se dan valores críticos para varios pares$$(df_1,\: df_2)$$. Ilustramos el uso de las tablas con varios ejemplos.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: an $$F$$ random variable

Supongamos que$$F$$ es una variable$$F$$ aleatoria con grados de libertad$$df_1=5$$ y$$df_2=4$$. Usa las tablas para encontrar

1. $$F_{0.10}$$
2. $$F_{0.95}$$

Solución:

1. Los encabezados de columna de todas las tablas contienen$$df_1=5$$. Busque la tabla para la cual$$0.10$$ es una de las entradas en el extremo izquierdo (una tabla de valores críticos superiores) y que tenga un encabezado de fila$$df_2=4$$ en el margen izquierdo de la tabla. Se proporciona una porción de la tabla correspondiente. La entrada en la intersección de la columna con encabezado$$df_1=5$$ y la fila con los encabezamientos$$0.10$$ y$$df_2=4$$, que está sombreada en la tabla proporcionada, es la respuesta, F 0.10 = 4.05.
$$F$$Área de cola $$\frac{df_1}{df_2}$$ $$1$$ $$2$$ $$\cdots$$ $$5$$ $$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (5\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\vdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.005$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$4$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (\ cdots\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (5\)” style="vertical-align:middle; ">$$22.5$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.01$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$4$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (\ cdots\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (5\)” style="vertical-align:middle; ">$$15.5$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.025$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$4$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (\ cdots\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (5\)” style="vertical-align:middle; ">$$9.36$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.05$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$4$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (\ cdots\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (5\)” style="vertical-align:middle; ">$$6.26$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.10$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$4$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (\ cdots\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (5\)” style="vertical-align:middle; ">$$4.05$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (5\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\vdots$$
1. Busque la tabla para la cual$$0.95$$ es una de las entradas en el extremo izquierdo (una tabla de valores críticos inferiores) y que tenga un encabezado de fila$$df_2=4$$ en el margen izquierdo de la tabla. Se proporciona una porción de la tabla correspondiente. La entrada en la intersección de la columna con encabezado$$df_1=5$$ y la fila con los encabezamientos$$0.95$$ y$$df_2=4$$, que está sombreada en la tabla proporcionada, es la respuesta, F 0.95 = 0.19.
$$F$$Área de cola $$\frac{df_1}{df_2}$$ $$1$$ $$2$$ $$\cdots$$ $$5$$ $$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\vdots$$ \ (5\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\vdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.90$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$4$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$ \ (5\)” style="vertical-align:middle; ">$$0.28$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.95$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$4$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$ \ (5\)” style="vertical-align:middle; ">$$0.19$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.975$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$4$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$ \ (5\)” style="vertical-align:middle; ">$$0.14$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.99$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$4$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$ \ (5\)” style="vertical-align:middle; ">$$0.09$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.995$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$4$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$ \ (5\)” style="vertical-align:middle; ">$$0.06$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\vdots$$ \ (5\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\vdots$$

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Supongamos que$$F$$ es una variable$$F$$ aleatoria con grados de libertad$$df_1=2$$ y$$df_2=20$$. Vamos$$α=0.05$$. Usa las tablas para encontrar

1. $$F_{\alpha }$$
2. $$F_{\alpha /2}$$
3. $$F_{1-\alpha }$$
4. $$F_{1-\alpha /2}$$

Solución:

1. Los encabezados de columna de todas las tablas contienen$$df_1=2$$. Busque la tabla para la cual$$\alpha =0.05$$ es una de las entradas en el extremo izquierdo (una tabla de valores críticos superiores) y que tenga un encabezado de fila$$df_2=20$$ en el margen izquierdo de la tabla. Se proporciona una porción de la tabla correspondiente. La entrada sombreada, en la intersección de la columna con encabezado$$df_1=2$$ y la fila con los encabezamientos$$0.05$$ y$$df_2=20$$ es la respuesta, F 0.05 = 3.49.
$$F$$Área de cola $$\frac{df_1}{df_2}$$ $$1$$ $$2$$ $$\cdots$$
\ (F\) Área de la cola">$$\vdots$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\) ">$$\vdots$$ \ (1\) ">$$\vdots$$ \ (2\) ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\) “>$$\vdots$$
\ (F\) Área de la cola">$$0.005$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\) ">$$20$$ \ (1\) ">$$\cdots$$ \ (2\) ">$$6.99$$ \ (\ cdots\) “>$$\cdots$$
\ (F\) Área de la cola">$$0.01$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\) ">$$20$$ \ (1\) ">$$\cdots$$ \ (2\) ">$$5.85$$ \ (\ cdots\) “>$$\cdots$$
\ (F\) Área de la cola">$$0.025$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\) ">$$20$$ \ (1\) ">$$\cdots$$ \ (2\) ">$$4.46$$ \ (\ cdots\) “>$$\cdots$$
\ (F\) Área de la cola">$$0.05$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\) ">$$20$$ \ (1\) ">$$\cdots$$ \ (2\) ">$$3.49$$ \ (\ cdots\) “>$$\cdots$$
\ (F\) Área de la cola">$$0.10$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\) ">$$20$$ \ (1\) ">$$\cdots$$ \ (2\) ">$$2.59$$ \ (\ cdots\) “>$$\cdots$$
\ (F\) Área de la cola">$$\vdots$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\) ">$$\vdots$$ \ (1\) ">$$\vdots$$ \ (2\) ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\) “>$$\vdots$$
1. Busque la tabla para la cual$$\alpha /2=0.025$$ es una de las entradas en el extremo izquierdo (una tabla de valores críticos superiores) y que tenga un encabezado de fila$$df_2=20$$ en el margen izquierdo de la tabla. Se proporciona una porción de la tabla correspondiente. La entrada sombreada, en la intersección de la columna con rumbo$$df_1=2$$ y la fila con los encabezamientos$$0.025$$ y$$df_2=20$$ es la respuesta,$$F_{0.025}=4.46$$.

$$F$$Área de cola $$\frac{df_1}{df_2}$$ $$1$$ $$2$$ $$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\vdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.005$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$20$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$6.99$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.01$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$20$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$5.85$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.025$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$20$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$4.46$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.05$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$20$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$3.49$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.10$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$20$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$2.59$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\vdots$$
1. Busque la tabla para la cual$$1-\alpha =0.95$$ es una de las entradas en el extremo izquierdo (una tabla de valores críticos inferiores) y que tenga un encabezado de fila$$df_2=20$$ en el margen izquierdo de la tabla. Se proporciona una porción de la tabla correspondiente. La entrada sombreada, en la intersección de la columna con rumbo$$df_1=2$$ y la fila con los encabezamientos$$0.95$$ y$$df_2=20$$ es la respuesta,$$F_{0.95}=0.05$$.
$$F$$Área de cola $$\frac{df_1}{df_2}$$ $$1$$ $$2$$ $$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.90$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$20$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$0.11$$ \ (\ cdots\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.95$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$20$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$0.05$$ \ (\ cdots\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.975$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$20$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$0.03$$ \ (\ cdots\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.99$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$20$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$0.01$$ \ (\ cdots\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.995$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$20$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$0.01$$ \ (\ cdots\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$
1. Busque la tabla para la cual$$1-\alpha /2=0.975$$ es una de las entradas en el extremo izquierdo (una tabla de valores críticos inferiores) y que tenga un encabezado de fila$$df_2=20$$ en el margen izquierdo de la tabla. Se proporciona una porción de la tabla correspondiente. La entrada sombreada, en la intersección de la columna con rumbo$$df_1=2$$ y la fila con los encabezamientos$$0.975$$ y$$df_2=20$$ es la respuesta,$$F_{0.975}=0.03$$.

$$F$$Área de cola $$\frac{df_1}{df_2}$$ $$1$$ $$2$$ $$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\vdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.90$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$20$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$0.11$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.95$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$20$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$0.05$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.975$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$20$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$0.03$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.99$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$20$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$0.01$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$0.995$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$20$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\cdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$0.01$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\cdots$$
\ (F\) Área de cola” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ frac {df_1} {df_2}\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (2\)” style="vertical-align:middle; ">$$\vdots$$ \ (\ cdots\) "style="vertical-align:middle;" >$$\vdots$$

Un hecho que a veces nos permite encontrar un valor crítico a partir de una tabla que de otra manera no podríamos leer es:

Si$$F_u(r,s)$$ denota el valor de la$$F$$ -distribución con grados de libertad$$df_1=r$$ y$$df_2=s$$ eso corta una cola derecha de área$$u$$, entonces

$F_c(k,l)=\frac{1}{F_{1-c}(l,k)}$

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Usa las tablas para encontrar

1. $$F_{0.01}$$para una variable$$F$$ aleatoria con$$df_1=13$$ y$$df_2=8$$.
2. $$F_{0.975}$$para una variable$$F$$ aleatoria con$$df_1=40$$ y$$df_2=10$$.

Solución:

1. No hay mesa con$$df_1=13$$, pero hay una con$$df_1=8$$. Así utilizamos el hecho de que$F_{0.01}(13,8)=\frac{1}{F_{0.99}(8,13)}$ Usando la tabla relevante nos encontramos con eso$$F_{0.99}(8,13)=0.18$$, de ahí$$F_{0.01}(13,8)=0.18^{-1}=5.556$$.
2. No hay mesa con$$df_1=40$$, pero hay una con$$df_1=10$$. Así utilizamos el hecho de que$F_{0.975}(40,10)=\frac{1}{F_{0.025}(10,40)}$ Usando la tabla relevante nos encontramos con eso$$F_{0.025}(10,40)=3.31$$, de ahí$$F_{0.975}(40,10)=3.31^{-1}=0.302$$.

## $$F$$-Pruebas de Igualdad de Dos Varianzas

En el Capítulo 9 vimos cómo poner a prueba hipótesis sobre la diferencia entre dos medias poblacionales$$μ_1$$ y$$μ_2$$. En algunas situaciones prácticas la diferencia entre las desviaciones estándar de la población$$σ_1$$ y también$$σ_2$$ es de interés. La desviación estándar mide la variabilidad de una variable aleatoria. Por ejemplo, si la variable aleatoria mide el tamaño de una pieza mecanizada en un proceso de fabricación, el tamaño de la desviación estándar es un indicador de la calidad del producto. Es deseable una desviación estándar menor entre los artículos producidos en el proceso de fabricación, ya que indica consistencia en la calidad del producto.

Por razones teóricas es más fácil comparar los cuadrados de la población desviaciones estándar, las varianzas poblacionales$$\sigma _{1}^{2}$$ y$$\sigma _{2}^{2}$$. Esto no es un problema, ya que$$σ_1=σ_2$$ precisamente cuándo$$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$$,$$σ_1<σ_2$$ precisamente cuándo$$\sigma _{1}^{2}<\sigma _{2}^{2}$$, y$$σ_1>σ_2$$ precisamente cuándo$$\sigma _{1}^{2}>\sigma _{2}^{2}$$.

La hipótesis nula siempre tiene la forma$$H_0: \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$$. Las tres formas de la hipótesis alternativa, con la terminología para cada caso, son:

Forma de$$H_a$$ Terminología
\ (H_a\) ">$$H_a: \sigma _{1}^{2}>\sigma _{2}^{2}$$ Cola derecha
\ (H_a\) ">$$H_a: \sigma _{1}^{2}<\sigma _{2}^{2}$$ Cola izquierda
\ (H_a\) ">$$H_a: \sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}$$ Dos colas

Así como cuando probamos hipótesis relativas a dos medias poblacionales, tomamos una muestra aleatoria de cada población, de tamaños$$n_1$$ y$$n_2$$, y calculamos las desviaciones estándar de la muestra$$s_1$$ y$$s_2$$. En este contexto las muestras son siempre independientes. Las poblaciones mismas deben estar normalmente distribuidas.

Estadístico de prueba para pruebas de hipótesis sobre la diferencia entre dos varianzas poblacionales

$F=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}$

Si las dos poblaciones están normalmente distribuidas y si$$H_0: \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$$ es cierto entonces bajo muestreo independiente sigue$$F$$ aproximadamente una$$F$$ -distribución con grados de libertad$$df_1=n_1-1$$ y$$df_2=n_2-1$$.

Una prueba basada en el estadístico de prueba$$F$$ se llama $$F$$-test.

Un punto muy importante es que si bien la región de rechazo para una prueba de cola derecha es exactamente como en cualquier otra situación que nos hemos encontrado, debido a la asimetría en la$$F$$ distribución el valor crítico para una prueba de cola izquierda y el valor crítico inferior para una prueba de dos colas tienen el especial formas que se muestran en la siguiente tabla:

Terminología Hipótesis alternativa Región de Rechazo
Cola derecha $$H_a: \sigma _{1}^{2}>\sigma _{2}^{2}$$ $$F\geq F_\alpha$$
Cola izquierda $$H_a: \sigma _{1}^{2}<\sigma _{2}^{2}$$ $$F\leq F_{1-\alpha }$$
Dos colas $$H_a: \sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}$$ $$F\leq F_{1-\alpha /2}\; \text{or}\; F\geq F_{\alpha /2}$$

La figura$$\PageIndex{3}$$ ilustra estas regiones de rechazo.

La prueba se realiza utilizando el procedimiento habitual de cinco pasos descrito al final de la Sección 8.1.

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Una de las medidas de calidad de las tiras de medidor de glucosa en sangre es la consistencia de los resultados de las pruebas en la misma muestra de sangre. La consistencia se mide por la varianza de las lecturas en pruebas repetidas. Supongamos que dos tipos de tiras$$B$$,$$A$$ y, se comparan por sus respectivas consistencias. Etiquetamos arbitrariamente la población de$$A$$ Tiras Tipo Población$$1$$ y la población de$$B$$ Tiras Tipo Población$$2$$. Supongamos que$$A$$ las tiras$$15$$ Type se probaron con gotas de sangre de un vial bien agitado y$$B$$ las tiras$$20$$ Type se probaron con la sangre del mismo vial. Los resultados se resumen en la Tabla$$\PageIndex{3}$$. Supongamos que las lecturas de glucosa usando$$A$$ tiras Type siguen una distribución normal con varianza$$\sigma _{1}^{2}$$ y las que usan$$B$$ tiras Type siguen una distribución normal con varianza con$$\sigma _{2}^{2}$$. Pruebe, a$$10\%$$ nivel de significancia, si los datos proporcionan evidencia suficiente para concluir que las consistencias de los dos tipos de tiras son diferentes.

Tabla$$\PageIndex{3}$$: Dos Tipos de Tiras Reactivas
Tipo de tira Tamaño de la muestra Varianza de la muestra
$$A$$ $$n_1=16$$ $$s_{1}^{2}=2.09$$
$$B$$ $$n_2=21$$ $$s_{2}^{2}=1.10$$

Solución:

• Paso 1. La prueba de hipótesis es$H_0: \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}\\ vs.\\ H_a: \sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}\; @\; \alpha =0.10$
• Paso 2. La distribución es la$$F$$ -distribución con grados de libertad$$df_1=16-1=15$$ y$$df_2=21-1=20$$.
• Paso 3. La prueba es de dos colas. El valor crítico izquierdo o inferior es$$F_{1-\alpha }=F_{0.95}=0.43$$. El valor crítico derecho o superior es$$F_{\alpha /2}=F_{0.05}=2.20$$. Así, la región de rechazo es$$[0,-0.43]\cup [2.20,\infty )$$, como se ilustra en la Figura$$\PageIndex{4}$$.
• Paso 4. El valor del estadístico de prueba es$F=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}=\frac{2.09}{1.10}=1.90$
• Paso 5. Como se muestra en la Figura$$\PageIndex{4}$$, el estadístico de prueba$$1.90$$ no se encuentra en la región de rechazo, por lo que la decisión es no rechazar$$H_0$$. Los datos no proporcionan evidencia suficiente, a$$10\%$$ nivel de significancia, para concluir que existe una diferencia en la consistencia, medida por la varianza, de los dos tipos de tiras reactivas.

Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

En el contexto de “Ejemplo$$\PageIndex{4}$$ “, supongamos que las$$A$$ tiras reactivas Type son las actuales líderes del mercado y las$$B$$ tiras reactivas Type son una versión recientemente mejorada de Type$$A$$. Pruebe, a$$10\%$$ nivel de significancia, si los datos dados en la Tabla$$\PageIndex{3}$$ proporcionan evidencia suficiente para concluir que las$$B$$ tiras reactivas Tipo tienen mejor consistencia (menor varianza) que las$$A$$ tiras reactivas Tipo.

Solución:

• Paso 1. La prueba de hipótesis es ahora$H_0: \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}\\ vs.\\ H_a: \sigma _{1}^{2}>\sigma _{2}^{2}\; @\; \alpha =0.10$
• Paso 2. La distribución es la$$F$$ -distribución con grados de libertad$$df_1=16-1=15$$ y$$df_2=21-1=20$$.
• Paso 3. El valor del estadístico de prueba es$F=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}=\frac{2.09}{1.10}=1.90$
• Paso 4. La prueba es de cola derecha. El único valor crítico es$$F_\alpha =F_{0.10}=1.84$$. Así, la región de rechazo es$$[1.84,\infty )$$, como se ilustra en la Figura$$\PageIndex{5}$$.
Figura$$\PageIndex{5}$$: Región de rechazo y estadística de prueba para “Ejemplo$$\PageIndex{5}$$"
• Paso 5. Como se muestra en la Figura$$\PageIndex{5}$$, el estadístico de prueba$$1.90$$ se encuentra en la región de rechazo, por lo que la decisión es rechazar$$H_0$$ Los datos proporcionan evidencia suficiente, a$$10\%$$ nivel de significancia, para concluir que las$$B$$ tiras reactivas Tipo tienen mejor consistencia (menor varianza) que Tipo $$A$$tiras reactivas hacen.

## Valores Críticos Inferiores de$$F$$ -Distribuciones

Llave para llevar

• Los valores críticos$$F$$ de una distribución con grados de libertad$$df_1$$ y$$df_2$$ se encuentran en las tablas anteriores.
• Se puede utilizar una$$F$$ prueba para evaluar la hipótesis de dos varianzas de población normales idénticas.