3.9: Funciones generales de distribución

\(\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\)\( \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \)

Nuestro objetivo en esta sección es definir y estudiar las funciones que desempeñan el mismo papel para las medidas positivas en\( \R \) que las funciones de distribución (acumulativas) hacen para las medidas de probabilidad en\( \R \). Por supuesto, las medidas de probabilidad en generalmente\( \R \) se asocian con variables aleatorias de valor real. Estas funciones de distribución general son útiles para construir medidas sobre\( \R \) y aparecerán en nuestro estudio de integrales con respecto a una medida en la siguiente sección, así como procesos de Poisson no homogéneos y procesos de renovación general.

Teoría Básica

A lo largo de esta sección, nuestro espacio medible básico es\( (\R, \mathscr{R}) \), donde\( \mathscr{R} \) está la\( \sigma \) -álgebra de los subconjuntos medibles de Borel de\( \R \), y como de costumbre, vamos a dejar\( \lambda \) denotar medida Lebesgue en\( (\R, \mathscr{R}) \). Al igual que con las funciones de distribución acumulativa, es conveniente tener notación compacta para los límites de una función\(F: \R \to \R\) desde la izquierda y la derecha en\(x \in \R\), y at\(\infty\) y\(-\infty\) (asumiendo por supuesto que estos límites existen):\[F(x^+) = \lim_{t \downarrow x}F(t), \; F(x^-) = \lim_{t \uparrow x} F(t), \; F(\infty) = \lim_{t \to \infty} F(t), \; F(-\infty) = \lim_{t \to -\infty} F(t)\]

Funciones de distribución y sus medidas

Una función\( F: \R \to \R \) que satisface las siguientes propiedades es una función de distribución en\( \R \)

1. \( F \)está aumentando: si\( x \le y \) entonces\( F(x) \le F(y) \).
2. \( F \)es continuo desde la derecha:\( F(x^+) = F(x) \) para todos\( x \in \R \).

Ya que\( F \) va en aumento,\(F(x^-)\) existe en\( \R \). De igual manera\(F(\infty) \) existe, como un número real o\( \infty \), y\(F(-\infty)\) existe, como un número real o\( -\infty \).

Si\( F \) es una función de distribución\( \R \) encendida, entonces existe una medida\( \mu \) positiva única\( \mathscr{R} \) que satisface\[ \mu(a, b] = F(b) - F(a), \quad a, \, b \in \R, \; a \le b \]

Prueba

Let\( \mathscr{I} \) denotar la colección de subconjuntos de\( \R \) que consiste en intervalos de la forma\( (a, b] \) donde\( a, \, b \in \R \) con\( a \le b \), e intervalos de la forma\((-\infty, a]\) y\( (a, \infty) \) donde\( a \in \R \). Entonces\( \mathscr{I} \) es una semiálgebra. Es decir, si\( A, \, B \in \mathscr{I} \) entonces\( A \cap B \in \mathscr{I} \), y si\( A \in \mathscr{I} \) entonces\( A^c \) es la unión de un número finito (en realidad uno o dos) establece en\( \mathscr{I} \). Definimos\( \mu \) en\(\mathscr{I}\) por\( \mu(a, b] = F(b) - F(a) \),\( \mu(-\infty, a] = F(a) - F(-\infty) \) y\( \mu(a, \infty) = F(\infty) - F(a) \). Tenga en cuenta que\( \mathscr{I} \) contiene el conjunto vacío a través de intervalos de la forma\( (a, a] \) donde\( a \in \R \), pero la definición da\( \mu(\emptyset) = 0 \). A continuación,\( \mu \) es finitamente aditivo en\( \mathscr{I} \). Es decir, si\( \{A_i: i \in I\} \) es una colección finita y disjunta de conjuntos en\( \mathscr{I} \) y\( \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr{I} \), entonces\[ \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \sum_{i \in I} \mu(A_i) \] Next,\( \mu \) es contablemente subaditiva en\( \mathscr{I} \). Es decir, si\( A \in \mathscr{I} \) y\( A \subseteq \bigcup_{i \in I} A_i \) donde\( \{A_i: i \in I\} \) es una colección contable de conjuntos en\( \mathscr{I} \) entonces\[ \mu(A) \le \sum_{i \in I} \mu(A_i) \] Finalmente,\( \mu \) es claramente\( \sigma \) -finito en\( \mathscr{I} \) ya que\( \mu(a, b] \lt \infty \) para\( a, \, b \in \R \) con\( a \lt b \), y\( \R \) es una unión contable, disjunta de intervalos de esta forma. De ahí que se deduce de los teoremas básicos de extensión y singularidad que se\( \mu \) pueden extender de manera única a una medida sobre el\( \mathscr{R} = \sigma(\mathscr{I}) \).

Para la parte final de la singularidad, supongamos que\( \mu \) es una medida de\( \mathscr{R} \) satisfacción\( \mu(a, b] = F(b) - F(a) \) para\( a, \, b \in \R \) con\( a \lt b \). Entonces por el teorema de continuidad para conjuntos crecientes,\( \mu(-\infty, a] = F(a) - F(-\infty) \) y\( \mu(a, \infty) = F(\infty) - F(a) \) para\( a \in \R \). De ahí\( \mu \) es la medida única construida arriba.

La medida\( \mu \) se llama la medida Lebesgue-Stieltjes asociada con\( F \), llamada así por Henri Lebesgue y Thomas Joannes Stieltjes. De esta manera se\( \R \) puede construir una variedad muy rica de medidas sobre. En particular, cuando la función\( F \) toma valores\( [0, 1] \), la medida asociada\( \P \) es una medida de probabilidad. Otro caso especial de interés es la función de distribución definida por\( F(x) = x \) for\( x \in \R \), en cuyo caso\( \mu(a, b] \) es la longitud del intervalo\( (a, b] \) y por lo tanto\( \mu = \lambda \), Lebesgue mide on\( \mathscr{R} \). Pero aunque la medida asociada a una función de distribución es única, la función de distribución en sí no lo es. Tenga en cuenta que si\( c \in \R \) entonces la función de distribución definida por\( F(x) = x + c\) for\( x \in \R \) también genera medida Lebesgue. Este ejemplo captura la situación general.

Supongamos que\( F \) y\( G \) son funciones de distribución que generan la misma medida\( \mu \) en\( \R \). Entonces existe\( c \in \R \) tal que\( G = F + c \).

Prueba

Para\( x \in \R \), tenga en cuenta que\( F(x) - F(0) = G(x) - G(0) \). El valor común es\( \mu(0, x] \) si\( x \ge 0 \) y\( -\mu(x, 0] \) si\( x \lt 0 \). Así\( G(x) = F(x) - F(0) + G(0) \) para\( x \in \R \).

Volviendo al caso de una medida de probabilidad\( \P \) on\( \R \), la función de distribución acumulativa\( F \) que estudiamos en este capítulo es la función de distribución única satisfactoria\( F(-\infty) = 0 \). De manera más general, habiendo construido una medida a partir de una función de distribución, consideremos ahora el problema complementario de encontrar una función de distribución para una medida dada. La prueba del último teorema señala el camino.

Supongamos que\( \mu \) es una medida positiva sobre\( (\R, \mathscr{R}) \) con la propiedad que\( \mu(A) \lt \infty \) si\( A \) está acotada. Entonces existe una función de distribución que genera\( \mu \).

Prueba

Definir\( F \)\( \R \) por\[ F(x) = \begin{cases} \mu(0, x], & x \ge 0 \\ -\mu(x, 0], & x \lt 0 \end{cases} \] Entonces\( F: \R \to \R \) por la suposición sobre\( \mu \). También\( F \) está aumentando: si\( 0 \le x \le y \) entonces\( \mu(0, x] \le \mu(0, y] \) por la propiedad creciente de una medida positiva. De igual manera\( x \le y \le 0 \), si, la\( \mu(x, 0] \ge \mu(y, 0] \), así\( -\mu(x, 0] \le -\mu(y, 0] \). Por último, si\( x \le 0 \le y \), entonces\(-\mu(x, 0] \le 0\) y\( \mu(0, y] \ge 0 \). Siguiente,\( F \) es continuo desde la derecha: Supongamos que\( x_n \in \R \) para\( n \in \N_+ \) y\( x_n \downarrow x \) como\( n \to \infty \). Si\( x \ge 0 \) entonces\( \mu(0, x_n] \downarrow \mu(0, x] \) por el teorema de continuidad para conjuntos decrecientes, lo que aplica ya que las medidas son finitas. Si\( x \lt 0 \) entonces\( \mu(x_n, 0] \uparrow \mu(x, 0] \) por el teorema de continuidad para conjuntos crecientes. Entonces en ambos casos,\( F(x_n) \downarrow F(x) \) como\( n \to \infty \). De ahí\( F \) que sea una función de distribución, y queda por demostrar que genera\( \mu \). Déjalo\( a, \, b \in \R \) con\( a \le b \). Si\( a \ge 0 \) entonces\( \mu(a, b] = \mu(0, b] - \mu(0, a] = F(b) - F(a) \) por la diferencia propiedad de una medida positiva. Del mismo modo, si\( b \le 0 \) entonces\( \mu(a, b] = \mu(a, 0] - \mu(b, 0] = -F(a) + F(b) \). Por último, si\( a \le 0 \) y\( b \ge 0 \), entonces\( \mu(a, b] = \mu(a, 0] + \mu(0, b] = -F(a) + F(b) \).

En la prueba del último teorema, el uso de 0 como punto de referencia es arbitrario, por supuesto. Cualquier otro punto en\( \R \) haría también, y produciría una función de distribución que difiera de la de la prueba por una constante. Si\( \mu \) tiene la propiedad que\( \mu(-\infty, x] \lt \infty \) para\( x \in \R \), entonces es fácil ver que\( F \) definido por\( F(x) = \mu(-\infty, x] \) for\( x \in \R \) es una función de distribución que genera\( \mu \), y es la función de distribución única con\( F(-\infty) = 0 \). Por supuesto, en el caso de una medida de probabilidad, esta es la función de distribución acumulativa, como se señaló anteriormente.

Propiedades

Las funciones de distribución general disfrutan de muchas de las mismas propiedades que la función de distribución acumulativa (pero no todas por la falta de singularidad). En particular, podemos calcular fácilmente la medida de cualquier intervalo a partir de la función de distribución.

Supongamos que\( F \) es una función de distribución y\( \mu \) es la medida positiva en\( (\R, \mathscr{R}) \) asociada con\( F \). Para\( a, \, b \in \R \) con\( a \lt b \),

1. \( \mu[a, b] = F(b) - F(a^-) \)
2. \( \mu\{a\} = F(a) - F(a^-) \)
3. \( \mu(a, b) = F(b^-) - F(a) \)
4. \( \mu[a, b) = F(b^-) - F(a^-) \)

Prueba

Todos estos resultados se derivan de los teoremas de continuidad para una medida positiva. Supongamos que\( (x_1, x_2, \ldots) \) es una secuencia de puntos distintos en\( \R \).

1. Si\( x_n \uparrow a \) como\( n \to \infty \) entonces\( (x_n, b] \uparrow [a, b] \) así\( \mu(x_n, b] \uparrow \mu[a, b] \) como\( n \to \infty \). Pero también\( \mu(x_n, b] = F(b) - F(x_n) \to F(b) - F(a^-) \) como\( n \to \infty \).
2. Esto se desprende de (a) tomando\( a = b \)
3. Si\( x_n \uparrow b \) como\( n \to \infty \) entonces\( (a, x_n] \uparrow (a, b) \) así\( \mu(a, x_n] \uparrow \mu(a, b) \) como\( n \to \infty \). Pero también\( \mu(a, x_n] = F(x_n) - F(a) \to F(b^-) - F(a) \) como\( n \to \infty \).
4. De los apartados a) y b) y la regla de la diferencia,\[ \mu[a, b) = \mu[a, b] - \mu\{b\} = F(b) - F(a^-) - \left[F(b) - F(b^-)\right] = F(b^-) - F(a^-) \]

Tenga en cuenta que\( F \) es continuo en\( x \in \R \) si y solo si\( \mu\{x\} = 0 \). En particular,\( \mu \) es una medida continua (recordemos que esto significa que\( \mu\{x\} = 0 \) para todos\( x \in \R \)) si y sólo si\( F \) es continua en\( \R \). Por otro lado,\( F \) es discontinuo en\( x \in \R \) si y solo si\( \mu\{x\} \gt 0 \), por lo que\( \mu \) tiene un átomo at\( x \). Así\( \mu \) es una medida discreta (recordemos que esto significa que\( \mu \) tiene soporte contable) si y solo si\( F \) es una función de paso.

Supongamos nuevamente que\( F \) es una función de distribución y\( \mu \) es la medida positiva en\( (\R, \mathscr{R}) \) asociada con\( F \). Si\( a \in \R \) entonces

1. \( \mu(a, \infty) = F(\infty) - F(a) \)
2. \( \mu[a, \infty) = F(\infty) - F(a^-) \)
3. \( \mu(-\infty, a] = F(a) - F(-\infty) \)
4. \( \mu(-\infty, a) = F(a^-) - F(-\infty) \)
5. \( \mu(\R) = F(\infty) - F(-\infty) \)

Prueba

Las pruebas, como antes, solo usan los teoremas de continuidad. Supongamos que\( (x_1, x_2, \ldots) \) es una secuencia de puntos distintos en\( \R \)

1. Si\( x_n \uparrow \infty \) como\( n \to \infty \) entonces\( (a, x_n] \uparrow (a, \infty) \) así\( \mu(a, x_n] \uparrow \mu(a, \infty) \) como\( n \to \infty \). Pero también\( \mu(a, x_n] = F(x_n) - F(a) \to F(\infty) - F(a) \) como\( n \to \infty \)
2. Del mismo modo, si\( x_n \uparrow \infty \) como\( n \to \infty \) entonces\( [a, x_n] \uparrow (a, \infty) \) así\( \mu[a, x_n] \uparrow \mu[a, \infty) \) como\( n \to \infty \). Pero también\( \mu[a, x_n] = F(x_n) - F(a^-) \to F(\infty) - F(a^-) \) como\( n \to \infty \)
3. Si\( x_n \downarrow -\infty \) como\( n \to \infty \) entonces\( (x_n, a] \uparrow (-\infty, a] \) así\( \mu(x_n, a] \uparrow \mu(-\infty, a] \) como\( n \to \infty \). Pero también\( \mu(x_n, a] = F(a) - F(x_n) \to F(a) - F(-\infty) \) como\( n \to \infty \)
4. Del mismo modo, si\( x_n \downarrow -\infty \) como\( n \to \infty \) entonces\( (x_n, a) \uparrow (-\infty, a) \) así\( \mu(x_n, a) \uparrow \mu(-\infty, a) \) como\( n \to \infty \). Pero también\( \mu(x_n, a) = F(a^-) - F(x_n) \to F(a^-) - F(-\infty) \) como\( n \to \infty \)
5. \( \mu(\R) = \mu(-\infty, 0] + \mu(0, \infty) = \left[F(0) - F(-\infty)\right] + \left[F(\infty) - F(0)\right] = F(\infty) - F(-\infty) \).

Funciones de distribución en\( [0, \infty) \)

Las medidas positivas y las funciones de distribución\([0, \infty)\) son particularmente importantes en la teoría de la renovación y los procesos de Poisson, ya que modelan tiempos aleatorios.

El caso discreto. Supongamos que\( G \) es discreto, para que exista un conjunto contable\( C \subset [0, \infty) \) con\( G\left(C^c\right) = 0 \). Dejemos\( g(t) = G\{t\} \) para\( t \in C \) así que esa\( g \) es la función de densidad de\( G \) con respecto a contar medida en\( C \). Si\( u: [0, \infty) \to \R \) está delimitado localmente entonces\[ \int_0^t u(s) \, dG(s) = \sum_{s \in C \cap [0, t]} u(s) g(s) \]

Figura\(\PageIndex{1}\): Una medida discreta

En el caso discreto, la distribución suele ser aritmética. Recordemos que esto significa que el conjunto contable\( C \) es de la forma\( \{n d: n \in \N\} \) para algunos\( d \in (0, \infty) \). En los siguientes resultados,

El caso continuo. Supongamos que\( G \) es absolutamente continuo con respecto a la medida de Lebesgue\( [0, \infty) \) con función de densidad\( g: [0, \infty) \to [0, \infty) \). Si\( u: [0, \infty) \to \R \) está delimitado localmente entonces\[ \int_0^t u(s) \, dG(s) = \int_0^t u(s) g(s) \, ds \]

Figura\(\PageIndex{2}\): Una medida continua

El caso mixto. Supongamos que existe un conjunto contable\( C \subset [0, \infty) \) con\( G(C) \gt 0 \) y\( G\left(C^c\right) \gt 0 \), y que\( G \) restringido a subconjuntos de\( C^c \) es absolutamente continuo con respecto a la medida de Lebesgue. Dejar\( g(t) = G\{t\} \)\( t \in C \) y dejar\( h \) ser una densidad con respecto a Lebesgue medida de\( G \) restringido a subconjuntos de\( C^c \). Si\( u: [0, \infty) \to \R \) está delimitado localmente entonces,\[ \int_0^t u(s) \, dG(s) = \sum_{s \in C \cap [0, t]} u(s) g(s) + \int_0^t u(s) h(s) \, ds \]

Figura\(\PageIndex{3}\): Una medida mixta

Los tres casos especiales no agotan las posibilidades, sino que son, con mucho, los casos más comunes en problemas aplicados.