3.12: Medidas Generales

\( \renewcommand{\P}{\mathbb{P}} \)\( \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \)\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \)\( \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \)\( \newcommand{\bs}{\boldsymbol} \)

Teoría Básica

Nuestro punto de partida en esta sección es un espacio medible\( (S, \mathscr{S}) \). Es decir,\( S \) es un conjunto y\( \mathscr{S} \) es un\( \sigma \) -álgebra de subconjuntos de\( S \). Hasta el momento, sólo hemos considerado medidas positivas en dichos espacios. Las medidas positivas tienen aplicaciones, como sabemos, a la longitud, área, volumen, masa, probabilidad, conteo y conceptos similares del tamaño no negativo de un conjunto. Además, hemos definido la integral de una función medible\( f: S \to \R \) con respecto a una medida positiva, y hemos estudiado las propiedades de la integral.

Definición

Pero ahora consideraremos medidas que puedan tomar valores negativos así como valores positivos. Estas medidas tienen aplicaciones a la carga eléctrica, el valor monetario y otros conceptos similares del contenido de un conjunto que podrían ser positivos o negativos. Además, esta generalización ayudará en nuestro estudio de las funciones de densidad en la siguiente sección. La definición es exactamente la misma que para una medida positiva, excepto que\( \R^* = \R \cup \{-\infty, \infty\} \) se permiten valores en.

Una medida on\( (S, \mathscr{S}) \) es una función\( \mu: \mathscr{S} \to \R^* \) que satisface las siguientes propiedades:

1. \( \mu(\emptyset) = 0 \)
2. Si\( \{A_i: i \in I\} \) es una colección contable y disjunta de conjuntos en\( \mathscr{S} \) entonces\( \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \sum_{i \in I} \mu(A_i) \)

Como antes, (b) se conoce como aditividad contable y es la suposición crítica: la medida de un conjunto que consiste en un número contable de piezas disjuntas es la suma de las medidas de las piezas. Implícito en el enunciado de este supuesto es que la suma en (b) existe para cada colección disjunta contable\( \{A_i: i \in I\} \). Es decir, o bien la suma de los términos positivos es finita o la suma de los términos negativos es finita. A su vez, esto significa que el orden de los términos en la suma no importa (algo bueno, ya que no hay orden implícito). El término medida firmada es utilizado por muchos, pero solo usaremos el término simple medida, y agregaremos adjetivos apropiados para los casos especiales. Tenga en cuenta que si\( \mu(A) \ge 0 \) para todos\( A \in \mathscr{S} \), entonces\( \mu \) es una medida positiva, del tipo que ya hemos estudiado (y así la nueva definición realmente es una generalización). En este caso, la suma en (b) siempre existe en\( [0, \infty] \). Si\( \mu(A) \in \R \) para todos\( A \in \mathscr{S} \) entonces\( \mu \) es una medida finita. Obsérvese que en este caso, la suma en (b) es absolutamente convergente para cada colección disjunta contable\( \{A_i: i \in I\} \). Si\( \mu \) es una medida positiva y\( \mu(S) = 1 \) luego\( \mu \) es una medida de probabilidad, nuestro tipo favorito. Por último, al igual que con las medidas positivas,\( \mu \) es \( \sigma \)-finito si existe una colección contable\( \{A_i: i \in I\} \) de conjuntos en\( \mathscr{S} \) tal que\( S = \bigcup_{i \in I} A_i \) y\( \mu(A_i) \in \R \) para\( i \in I \).

Propiedades Básicas

Damos algunas propiedades simples de medidas generales; ojalá muchas de estas resulten familiares. A lo largo de todo, asumimos que\( \mu \) es una medida sobre\( (S, \mathscr{S}) \). Nuestro primer resultado es que aunque\( \mu \) puede tomar el valor\( \infty \) o\( -\infty \), resulta que no puede tomar ambos valores.

Ya sea\( \mu(A) \gt -\infty \) para todos\( A \in \mathscr{S} \) o\( \mu(A) \lt \infty \) para todos\( A \in \mathscr{S} \).

Prueba

Supongamos que existen\( A, \, B \in \mathscr{S} \) con\( \mu(A) = \infty \) y\( \mu(B) = -\infty \). Entonces\( A = (A \cap B) \cup (A \setminus B) \) y los conjuntos en la unión son disjuntos. Por la suposición de aditividad,\( \mu(A) = \mu(A \cap B) + \mu(A \setminus B) \). De igual manera,\( \mu(B) = \mu(A \cap B) + \mu(B \setminus A) \). La única manera en que ambas ecuaciones pueden tener sentido es para\( \mu(A \setminus B) = \infty \)\( \mu(B \setminus A) = -\infty \), y\( \mu(A \cap B) \in \R \). Pero entonces no\( \mu(A \bigtriangleup B) = \mu(A \setminus B) + \mu(B \setminus A) \) está definido, y así tenemos una contradicción.

Diremos que dos medidas son del mismo tipo si ninguna toma el valor\( \infty \) o si ninguna toma el valor\( -\infty \). Ser del mismo tipo es trivialmente una relación de equivalencia en la recolección de medidas sobre\( (S, \mathscr{S}) \).

La regla de diferencia se mantiene, siempre y cuando los conjuntos tengan medida finita:

Supongamos que\( A, \, B \in \mathscr{S} \). Si\( \mu(B) \in \R \) entonces\( \mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A \cap B) \).

Prueba

Tenga en cuenta que\( B = (A \cap B) \cup (B \setminus A) \) y los conjuntos en la unión son disjuntos. Así\( \mu(B) = \mu(A \cap B) + \mu(B \setminus A) \). Ya que\( \mu(B) \in \R \), debemos tener\( \mu(A \cap B) \in \R \) y\( \mu(B \setminus A) \in \R \) también, y entonces la regla de diferencia se sostiene por resta.

El siguiente corolario es la regla de diferencia para los subconjuntos, y será necesario a continuación.

Supongamos que\( A, \, B \in \mathscr{S} \) y\( A \subseteq B \). Si\( \mu(B) \in \R \) entonces\( \mu(A) \in \R\) y\( \mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A) \).

Prueba

Tenga en cuenta que\( B = A \cup (B \setminus A) \) y los conjuntos en la unión son disjuntos. Así\( \mu(B) = \mu(A) + \mu(B \setminus A) \). Ya que\( \mu(B) \in \R \), debemos tener\( \mu(A) \in \R \) y\( \mu(B \setminus A) \in \R \) también, y entonces la regla de diferencia se sostiene por resta.

Como consecuencia, supongamos que\( A, \, B \in \mathscr{S} \) y\( A \subseteq B \). Si\( \mu(A) = \infty \), entonces por la regla del infinito no podemos tener\( \mu(B) = -\infty \) y por la regla de la diferencia no podemos tener\( \mu(B) \in \R \), entonces debemos tener\( \mu(B) = \infty \). Del mismo modo, si\( \mu(A) = -\infty \) entonces\( \mu(B) = -\infty \). Las reglas de inclusión-exclusión se mantienen para las medidas generales, siempre y cuando los conjuntos tengan medida finita.

Supongamos que\(A_i \in \mathscr{S}\) para cada\(i \in I\) donde\(\#(I) = n\), y eso\( \mu(A_i) \in \R \) para\( i \in I \). Entonces

\[\mu \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) = \sum_{k = 1}^n (-1)^{k - 1} \sum_{J \subseteq I, \; \#(J) = k} \mu \left( \bigcap_{j \in J} A_j \right)\]

Prueba

Porque\( n = 2 \), tenga en cuenta que\( A_1 \cup A_2 = A_1 \cup (A_2 \setminus A_1) \) y los conjuntos en la última unión son disjuntos. Por el axioma de aditividad y la regla de diferencia (3),\[ \mu(A_1 \cup A_2) = \mu(A_1) + \mu(A_2 \setminus A_1) = \mu(A_1) + \mu(A_2) - \mu(A_1 \cap A_2) \] El resultado general luego sigue por inducción, al igual que la prueba para las medidas de probabilidad.

Las propiedades de continuidad se mantienen para medidas generales. La parte (a) es la propiedad de continuidad para conjuntos crecientes, y la parte (b) es la propiedad de continuidad para conjuntos decrecientes.

Supongamos que\( A_n \in \mathscr{S} \) para\( n \in \N_+ \).

1. Si\( A_n \subseteq A_{n+1} \) para\( n \in \N_+ \) entonces\( \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \).
2. Si\( A_{n+1} \subseteq A_n \) para\( n \in \N_+ \) y\( \mu(A_1) \in \R \), entonces\( \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = \mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty A_i\right) \)

Prueba

Las pruebas son casi las mismas que para las medidas positivas, salvo los tecnicismos que involucran\( \infty \) y\( -\infty \).

1. Vamos\( A = \bigcup_{i=1}^\infty A_i \). De la regla del infinito y la regla de diferencia, si\( \mu(A_m) = \infty \) (respectivamente\( -\infty \)) para algunos\( m \in \N_+ \), entonces\( \mu(A_n) = \infty \) (\( -\infty \)) para\( n \ge m \) y\( \mu(A) = \infty \) (\( -\infty \)), así el resultado se mantiene trivialmente. Así, supongamos que\( \mu(A_n) \in \R \) para todos\( n \in \N_+ \). Dejar\( B_1 = A_1 \) y dejar\( B_i = A_i \setminus A_{i-1} \) para\( i \in \{2, 3, \ldots\} \). Entonces\( \{B_i: i \in \N_+\} \) es una colección disjunta de conjuntos y también tiene unión\( A \). Además, a partir de la regla de diferencia,\( \mu(B_i) = \mu(A_{i+1}) - \mu(A_i) \) para\( i \in \{2, 3, \ldots\} \). Así\[ \mu(A) = \sum_{i=1}^\infty \mu(B_i) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \mu(B_i) = \lim_{n \to \infty} \left(\mu(A_1) + \sum_{i=2}^n [\mu(A_i) - \mu(A_{i-1})]\right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) \]
2. Dejemos\( C_n = A_1 \setminus A_n \) para\( n \in \N_+ \). Entonces\( C_n \subseteq C_{n+1} \) para\( n \in \N_+ \) y\( \bigcup_{i=1}^\infty C_i = A_1 \setminus \bigcap_{i=1}^\infty A_i \). Se aplica la parte (a), entonces\( \lim_{n \to \infty} \mu(C_n) = \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty C_i \right) \). Pero por la regla de la diferencia,\( \mu(C_n) = \mu(A_1) - \mu(A_n) \) para\( n \in \N_+ \) y\( \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty C_i\right) = \mu(A_1) - \mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty A_i\right) \). Todos estos son números reales, por lo que restar\( \mu(A_1) \) da el resultado.

Recordemos que una medida positiva es una función creciente, relativa al orden parcial del subconjunto encendido\( \mathscr{S} \) y el orden ordinario encendido\( [0, \infty] \), y esta propiedad se desprende de la regla de diferencia. Pero para las medidas generales, la propiedad creciente falla, y también lo hacen otras propiedades que fluyen de ella, incluyendo la propiedad subaditiva (la desigualdad de probabilidad de Boole) y las desigualdades Bonferroni.

Construcciones

Es fácil construir medidas generales como diferencias de medidas positivas.

Supongamos que\( \mu \) y\( \nu \) son medidas positivas sobre\( (S, \mathscr{S}) \) y que al menos una de ellas es finita. Entonces\( \delta = \mu - \nu \) es una medida.

Prueba

Supongamos que\( \nu \) es una medida finita; la prueba cuando\( \mu \) es finita es similar. Primero,\( \delta(\emptyset) = \mu(\emptyset) - \nu(\emptyset) = 0 \). Supongamos que\( \{A_i: i \in I\} \) es una colección contable, disjunta de sets in\( \mathscr{S} \) and let\( A = \bigcup_{i \in I} A_i \). Entonces\[ \delta(A) = \mu(A) - \nu(A) = \sum_{i \in I} \mu(A_i) - \sum_{i \in I} \nu(A_i) \] desde\( \nu(A_i) \lt \infty \) para\( i \in I \), podemos combinar términos para obtener\[ \delta(A) = \sum_{i \in I} [\mu(A_i) - \nu(A_i)] = \sum_{i \in I} \delta(A_i) \]

La colección de medidas en nuestro espacio se cierra bajo multiplicación escalar.

Si\( \mu \) es una medida sobre\( (S, \mathscr{S}) \) y\( c \in \R \), entonces\( c \mu \) es una medida sobre\( (S, \mathscr{S}) \)

Prueba

Primero,\( (c \mu)(\emptyset) = c \mu(\emptyset) = c 0 = 0 \). A continuación supongamos que\( \{A_i: i \in I\} \) es una colección contable y disjunta de conjuntos en\( \mathscr S \). Entonces\[(c \mu) \left(\bigcup_{i \in I} A_i \right) = c \mu \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = c \sum_{i \in I} \mu(A_i) = \sum_{i \in I} c \mu(A_i) = \sum_{i \in I} (c \mu)(A_i)\] El último paso es el importante, y se sostiene ya que la suma existe.

Si\( \mu \) es una medida finita, entonces también lo es\( c \mu \) para\( c \in \R \). Si no\( \mu \) es finito entonces\( \mu \) y\( c \mu \) son del mismo tipo si\( c \gt 0 \) y son de tipos opuestos si\( c \lt 0 \). Podemos agregar dos medidas para obtener otra medida, siempre y cuando sean del mismo tipo. En particular, la colección de medidas finitas se cierra bajo adición así como multiplicación escalar, y por lo tanto forma un espacio vectorial.

Si\( \mu \) y\( \nu \) son medidas\( (S, \mathscr{S}) \) del mismo tipo entonces\( \mu + \nu \) es una medida sobre\( (S, \mathscr{S}) \).

Prueba

Primero,\( (\mu + \nu)(\emptyset) = \mu(\emptyset) + \nu(\emptyset) = 0 + 0 = 0 \). A continuación supongamos que\( \{A_i: i \in I\} \) es una colección contable y disjunta de conjuntos en\( \mathscr S \). Entonces\ begin {align*} (\ mu +\ nu)\ left (\ bigcup_ {i\ in I} a_i\ right) & =\ mu\ left (\ bigcup_ {i\ in I} a_i\ right) +\ nu\ left (\ bigcup_ {i\ in I} a_i\ right)\\ & =\ sum_ {i\ in I}\ mu (a_I) +\ sum_ {i\ in I}\ nu (a_I) =\ suma_ {i\ in I} [\ mu (a_I) +\ nu (a_I) =\ suma_ {i\ in I} (\ mu +\ nu) (a_i)\ end {align*} Las sumas pueden se combinen porque las medidas son del mismo tipo. Es decir, o bien la suma de todos los términos positivos es finita o la suma de todos los términos negativos es finita. En definitiva, no tenemos que preocuparnos por la temida forma indeterminada\( \infty - \infty \).

Finalmente, es fácil construir explícitamente medidas sobre un\( \sigma \) álgebra generada por una partición contable. Tales\( \sigma \) álgebras son importantes para los contra-ejemplos y para obtener conocimiento, y también porque muchos\( \sigma \) -álgebras que ocurren en las aplicaciones se pueden construir a partir de ellos.

Supongamos que\( \mathscr{A} = \{A_i: i \in I\} \) es una partición contable de\( S \) en conjuntos no vacíos, y eso\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr{A}) \). Porque\( i \in I \), definir\( \mu(A_i) \in \R^* \) arbitrariamente, sujeto únicamente a la condición de que la suma de los términos positivos sea finita, o la suma de los términos negativos sea finita. Para\( A = \bigcup_{j \in J} A_j \) dónde\( J \subseteq I \), definir\[ \mu(A) = \sum_{j \in J} \mu(A_j) \] Entonces\( \mu \) es una medida sobre\( (S, \mathscr{S}) \).

Prueba

Recordemos que cada uno\( A \in \mathscr{S} \) tiene una representación única de la forma\( A = \bigcup_{j \in J} A_j \) donde\( J \subseteq I \).

1. \( J = \emptyset \)en la representación da\( A = \emptyset \). La suma sobre un conjunto de índices vacíos es 0, entonces\( \mu(\emptyset) = 0 \).
2. Supongamos que\( \{B_k: k \in K\} \) es una colección contable, disjunta de eventos en\( \mathscr{S} \). Entonces para cada uno\( k \in K \) existe\( J_k \subseteq I \) y\( \left\{A^k_j: j \in J_k\right\} \subseteq \mathscr{A} \) tal que\( B_k = \bigcup_{j \in J_k} A^k_j \). De ahí que\[ \mu\left(\bigcup_{k \in K} B_k\right) = \mu\left(\bigcup_{k \in K} \bigcup_{j \in J_k} A^k_j\right) = \sum_{k \in k}\sum_{j \in J_k} \mu(A^k_j) = \sum_{k \in K} \mu(B_k) \] el hecho de que o bien la suma de todos los términos positivos sea finita o la suma de todos los términos negativos sea finita significa que no tenemos que preocuparnos por el orden de la suma.

Conjuntos Positivos, Negativos y Nulos

Para entender la estructura de las medidas generales, necesitamos algunas definiciones y propiedades básicas. Como antes, asumimos que\( \mu \) es una medida sobre\( (S, \mathscr{S}) \).

Definiciones

1. \( A \in \mathscr{S} \)es un conjunto positivo para\( \mu \) si\( \mu(B) \ge 0 \) para todos\( B \in \mathscr{S} \) con\( B \subseteq A \).
2. \( A \in \mathscr{S} \)es un conjunto negativo para\( \mu \) si\( \mu(B) \le 0 \) para cada\( B \in \mathscr{S} \) con\( B \subseteq A \).
3. \( A \in \mathscr{S} \)es un conjunto nulo para\( \mu \) si\( \mu(B) = 0 \) para cada\( B \in \mathscr{S} \) con\( B \subseteq A \).

Tenga en cuenta que positivo y negativo se utilizan en el sentido débil (así como usamos los términos creciente y decreciente en este texto). Por supuesto, si\( \mu \) es una medida positiva, entonces cada\( A \in \mathscr{S} \) es positivo para\( \mu \), y\( A \in \mathscr{S} \) es negativo para\( \mu \) si y solo si\( A \) es nulo para\( \mu \) si y solo si\( \mu(A) = 0 \). Para una medida general,\( A \in \mathscr{S} \) es tanto positivo como negativo para\( \mu \) si y solo si\( A \) es nulo para\( \mu \). En particular,\( \emptyset \) es nulo para\( \mu \). Un conjunto\( A \in \mathscr{S} \) es un conjunto de soporte para\( \mu \) si y solo si\( A^c \) es un conjunto nulo para\( \mu \). Un conjunto de apoyo es un conjunto donde la medida vive en cierto sentido. Los conjuntos positivos, negativos y nulos para\( \mu \) tener una propiedad de herencia básica que es esencialmente equivalente a la definición.

Supongamos\( A \in \mathscr{S} \).

1. Si\( A \) es positivo para\( \mu \) entonces\( B \) es positivo\( \mu \) para todos\( B \in \mathscr{S} \) con\( B \subseteq A \).
2. Si\( A \) es negativo para\( \mu \) entonces\( B \) es negativo\( \mu \) para todos\( B \in \mathscr{S} \) con\( B \subseteq A \).
3. Si\( A \) es nulo para\( \mu \) entonces\( B \) es nulo\( \mu \) para cada\( B \in \mathscr{S} \) con\( B \subseteq A \).

Las colecciones de conjuntos positivos, conjuntos negativos y conjuntos nulos para\( \mu \) se cierran bajo uniones contables.

Supongamos que\( \{A_i: i \in I\} \) es una colección contable de conjuntos en\( \mathscr{S} \).

1. Si\( A_i \) es positivo\( \mu \) para\( i \in I \) entonces\( \bigcup_{i \in I} A_i \) es positivo para\( \mu \).
2. Si\( A_i \) es negativo\( \mu \) para\( i \in I \) entonces\( \bigcup_{i \in I} A_i \) es negativo para\( \mu \).
3. Si\( A_i \) es nulo\( \mu \) para\( i \in I \) entonces\( \bigcup_{i \in I} A_i \) es nulo para\( \mu \).

Prueba

Vamos a probar (a); las pruebas para (b) y (c) son análogas. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer eso\( I = \N_+ \). Vamos\( A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n \). Ahora vamos\( B_1 = A_1 \) y\( B_n = A_n \setminus \left(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i\right) \) para\( n \in \{2, 3, \ldots\} \). Ellos\( \{B_n: n \in \N_+\} \) es un contable, colección disjunta en\( \mathscr{S} \), y\( \bigcup_{n=1}^\infty B_n = A \). Si\( C \subseteq A \) entonces\( C = \bigcup_{n=1}^\infty (C \cap B_n) \) y los conjuntos en esta unión son disjuntos. De ahí por aditividad,\( \mu(C) = \sum_{=1}^\infty \mu(C \cap B_n) \). Pero\( C \cap B_n \subseteq B_n \subseteq A_n \) así\( \mu(C \cap B_n) \ge 0 \). De ahí\( \mu(C) \ge 0 \).

Es fácil ver qué sucede con los conjuntos positivo, negativo y nulo cuando una medida se multiplica por una constante distinta de cero.

Supongamos que\( \mu \) es una medida sobre\( (S, \mathscr{S}) \),\( c \in \R \), y\( A \in \mathscr{S} \).

1. Si\( c \gt 0 \) entonces\( A \) es positivo (negativo) para\( \mu \) si y solo si\( A \) es positivo (negativo) para\( c \mu \).
2. Si\( c \lt 0 \) entonces\( A \) es positivo (negativo) para\( \mu \) si y solo si\( A \) es negativo (positivo) para\( c \mu \).
3. Si\( c \ne 0 \) entonces\( A \) es nulo para\( \mu \) si y solo si\( A \) es nulo para\( c \mu \)

Los conjuntos positivos, negativos y nulos también se conservan bajo sumas contables, asumiendo que las medidas hacen senes.

Supongamos que\( \mu_i \) es una medida\( (S, \mathscr{S}) \) para cada uno\( i \) en un conjunto de índices contables\( I \), y que\( \mu = \sum_{i \in I} \mu_i \) es una medida bien definida en\( (S, \mathscr{S}) \). Vamos\( A \in \mathscr{S} \).

1. Si\( A \) es positivo\( \mu_i \) para cada\( i \in I \) entonces\( A \) es positivo para\( \mu \).
2. Si\( A \) es negativo\( \mu_i \) para cada\( i \in I \) entonces\( A \) es negativo para\( \mu \).
3. Si\( A \) es nulo\( \mu_i \) para cada\( i \in I \) entonces\( A \) es nulo para\( \mu \).

En particular, tenga en cuenta que\( \mu = \sum_{i \in I} \mu_i \) es una medida bien definida si\( \mu_i \) es una medida positiva para cada una\( i \in I \), o si\( I \) es finita y\( \mu_i \) es una medida finita para cada una\( i \in I \). Es fácil entender los conjuntos positivos, negativos y nulos para un\( \sigma \) álgebra generado por una partición contable.

Supongamos que\( \mathscr{A} = \{A_i: i \in I\} \) es una partición contable de\( S \) en conjuntos no vacíos, y eso\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr{A}) \). Supongamos que\( \mu \) es una medida sobre\( (S, \mathscr{S}) \). Definir\[ I_+ = \{i \in I: \mu(A_i) \gt 0\}, \; I_- = \{i \in I: \mu(A_i) \lt 0\}, \; I_0 = \{i \in I: \mu(A_i) = 0\} \] Let\( A \in \mathscr{S} \),\( A = \bigcup_{j \in J} A_j \) para que para algunos\( J \subseteq I \) (y esta representación sea única). Entonces

1. \( A \)es positivo para\( \mu \) si y solo si\( J \subseteq I_+ \cup I_0 \).
2. \( A \)es negativo para\( \mu \) si y solo si\( J \subseteq I_- \cup I_0 \).
3. \( A \)es nulo para\( \mu \) si y solo si\( J \subseteq I_0 \).

La descomposición de Hahn

Los resultados fundamentales en esta sección y en la siguiente son dos teoremas de descomposición que muestran precisamente la relación entre medidas generales y medidas positivas. Primero mostramos que si un conjunto tiene una medida finita, positiva, entonces tiene un subconjunto positivo con al menos esa medida.

Si\( A \in \mathscr{S} \) y\( 0 \le \mu(A) \lt \infty \) entonces existe\( P \in \mathscr{S} \) con\( P \subseteq A \) tal que\( P \) es positivo para\( \mu \) y\( \mu(P) \ge \mu(A) \).

Prueba

La prueba es recursiva, y funciona eliminando sucesivamente conjuntos de medida negativa de\( A \). Para el paso de inicialización, vamos\( A_0 = A \). Entonces trivialmente,\( A_0 \subseteq A \) y\( \mu(A_0) \ge \mu(A) \). Para el paso recursivo, supongamos que se\( A_n \in \mathscr{S} \) ha definido con\( A_n \subseteq A \) y\( \mu(A_n) \ge \mu(A) \). Si\( A_n \) es positivo para\( \mu \), vamos\( P = A_n \). De lo contrario vamos\( a_n = \inf\{\mu(B): B \in \mathscr{S}, B \subseteq A_n, \mu(B) \lt 0\} \). Tenga en cuenta que dado que no\( A_n \) es positivo para\( \mu \), el conjunto en el infimum no está vacío y por lo tanto\( a_n \lt 0 \) (y posiblemente\( -\infty \)). Deja\( b_n = a_n / 2 \) si\( -\infty \lt a_n \lt 0 \) y deja\( b_n = -1 \) si\( a_n = -\infty \). Ya que\( b_n \gt a_n \), por definición del infimum, existe\( B_n \subseteq A \) con\(\mu(B_n) \le b_n \). Vamos\( A_{n+1} = A_n \setminus B_n \). Entonces\( A_{n+1} \subseteq A_n \subseteq A \) y\[ \mu(A_{n+1}) = \mu(A_n) - \mu(B_n) \ge \mu(A_n) - b_n \ge \mu(A_n) \ge \mu(A) \] Ahora, si el proceso recursivo termina después de un número finito de pasos,\( P \) está bien definido y es positivo para\( \mu \). De lo contrario, tenemos una secuencia disjunta de conjuntos\( (B_1, B_2, \ldots) \). Vamos\( P = A \setminus \left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right) \). Entonces\( P \subseteq A \), y por aditividad contable y la regla de diferencia,\[ \mu(P) = \mu(A) - \sum_{n=1}^\infty \mu(B_n) \ge \mu(A) - \sum_{n=1}^\infty b_n \ge \mu(A) \] Supongamos que\( B \subseteq P \) y\( \mu(B) \lt 0 \). Entonces\( B \subseteq A_n \) y por definición,\( a_n \le \mu(B) \) para cada\( n \in \N_+ \). De ello se deduce eso\( b_n \le \frac{1}{2} \mu(B) \) o\( b_n = -1 \) para cada uno\( n \in \N_+ \). De ahí\( \sum_{n=1}^\infty b_n = -\infty \) y por tanto\( \mu(P) = \infty \), una contradicción desde entonces\( \mu(A) \lt \infty \). De ahí que debemos tener\( \mu(B) \ge 0 \) y así\( P \) es positivo para\( \mu \).

El supuesto que\( \mu(A) \lt \infty \) es crítico; a continuación se da un contraejemplo. Nuestro primer resultado de descomposición es el teorema de descomposición de Hahn, llamado así por el matemático austriaco Hans Hahn. Afirma que se\( S \) puede dividir en un conjunto positivo y un conjunto negativo, y esta descomposición es esencialmente única.

Teorema de Descomposición de Hahn. Existe\( P \in \mathscr{S} \) tal que\( P \) es positivo para\( \mu \) y\( P^c \) es negativo para\( \mu \). El par\( (P, P^c) \) es una descomposición de Hahn de\( S \). Si\( (Q, Q^c) \) es otra descomposición de Hahn, entonces\( P \bigtriangleup Q \) es nula para\( \mu \).

Prueba

Supongamos primero que\( \mu \) no toma el valor\( \infty \). Al igual que con el resultado anterior, la prueba es recursiva. Para el paso de inicialización, vamos\( P_0 = \emptyset \). Entonces trivialmente,\( P_0 \) es positivo para\( \mu \). Para el paso recursivo, supongamos que eso\( P_n \in \mathscr{S} \) es positivo para\( \mu \). Si\( P_n^c \) es negativo para\( \mu \), vamos\( P = P_n \). De lo contrario vamos\( a_n = \sup\{\mu(A): A \in \mathscr{S}, A \subseteq P_n^c\} \). Dado que no\( P_n^c \) es negativo para\( \mu \), se deduce que\( a_n \gt 0 \) (y posiblemente\( \infty \)). Que\( b_n = a_n / 2 \) si\( 0 \lt a_n \lt \infty \) y\( b_n = 1 \) si\( a_n = \infty \). \( b_n \lt a_n \)Entonces así existe\( B_n \in \mathscr{S} \) con\( B_n \subseteq P_n^c \) y\( \mu(B_n) \ge b_n \gt 0 \). Por el lema anterior, existe\( A_n \in \mathscr{S} \) con\( A_n \subseteq B_n \),\( A_n \) positivo para\( \mu \), y\( \mu(A_n) \ge \mu(B_n) \). Vamos\( P_{n+1} = P_n \cup A_n \). Entonces\( P_{n+1} \in \mathscr{S} \) es positivo para\( \mu \).

Si el proceso recursivo termina después de un número finito de pasos, entonces\( P \) está bien definido y\( (P, P^c) \) es una descomposición de Hahn. De lo contrario generamos una secuencia infinita\( (A_1, A_2, \ldots) \) de conjuntos disjuntos en\( \mathscr{S} \), cada positivo para\( \mu \). Vamos\( P = \bigcup_{n=1}^\infty A_n\). Entonces\( P \in \mathscr{S} \) es positivo para\( \mu \) por el resultado de cierre anterior. Vamos\( A \subseteq P^c \). Si\( \mu(A) \gt 0 \) entonces\( \mu(A) \le a_n \) por cada\( n \in \N_+ \). De ahí\( b_n \ge \frac{1}{2} \mu(A) \) o\( b_n = 1 \) para cada\( n \in \N_+ \). Pero luego\[ \mu(P) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n) \ge \sum_{n=1}^\infty \mu(B_n) \ge \sum_{n=1}^\infty b_n = \infty \] una contradicción. De ahí\( \mu(A) \le 0 \) que así\( P^c \) sea negativo para\( \mu \) y así\( (P, P^c) \) es una descomposición de Hahn.

Supongamos que\( (Q, Q^c) \) es otra descomposición de Hahn de\( S \). Entonces\( P \cap Q^c \) y\( Q \cap P^c \) son tanto positivos como negativos para\( \mu \) y por lo tanto son nulos para\( \mu \). De ahí\( P \bigtriangleup Q = (P \cap Q^c) \cup (Q \cap P^c) \) que sea nulo para\( \mu \).

Por último, supongamos que eso\( \mu \) toma el valor\( \infty \). Entonces\( \mu \) no toma el valor\( -\infty \) por la regla del infinito y por lo tanto\( -\mu \) no toma el valor\( \infty \). Por nuestra prueba hasta ahora, existe una descomposición de Hahn\( (P, P^c) \) porque\( -\mu \) eso es esencialmente único. Pero entonces\( (P^c, P) \) es una descomposición de Hahn para\( \mu \).

Es fácil ver la descomposición de Hahn para una medida en un\( \sigma \) álgebra generada por una partición contable.

Supongamos que\( \mathscr{A} = \{A_i: i \in I\} \) es una partición contable de\( S \) en conjuntos no vacíos, y eso\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr{A}) \). Supongamos que\( \mu \) es una medida sobre\( (S, \mathscr{S}) \). Dejar\( I_+ = \{i \in I: \mu(A_i) \gt 0\} \) y\( I_0 = \{ i \in I: \mu(A_i) = 0 \). Entonces\( (P, P^c) \) es una descomposición de Hahn de\( \mu \) si y sólo si el conjunto positivo\( P \) tiene la forma\( P = \bigcup_{j \in J} A_j \) donde\( J = I_+ \cup K \) y\( K \subseteq I_0 \).

La descomposición de Jordania

La descomposición de Hahn conduce a otro teorema de descomposición llamado teorema de descomposición de Jordania, llamado así por el matemático francés Camille Jordan. Esta muestra que cada medida es la diferencia de medidas positivas. Una vez más asumimos que\( \mu \) es una medida sobre\( (S, \mathscr{S}) \).

Teorema de Descomposición de Jordania. La medida se\( \mu \) puede escribir de manera única en la forma\( \mu = \mu_+ - \mu_- \) donde\( \mu_+ \) y\( \mu_- \) son medidas positivas, al menos una finita, y con la propiedad de que si\( (P, P^c) \) es alguna descomposición de Hahn\( S \), entonces\( P^c \) es un conjunto nulo de\( \mu_+ \) y\( P \) es un conjunto nulo de \( \mu_- \). El par\( (\mu_+, \mu_-) \) es la descomposición de Jordania de\( \mu \).

Prueba

Dejado\( (P, P^c) \) ser una descomposición de Hahn de\( S \) relativo a\( \mu \). Definir\( \mu_+(A) = \mu(A \cap P) \) y\( \mu_-(A) = -\mu(A \cap P^c) \) para\( A \in \mathscr{S} \). Entonces\( \mu_+ \) y\( \mu_- \) son medidas positivas y\( \mu = \mu_+ - \mu_- \). Además, al\( \mu \) no poder tomar ambas\( \infty \) y\( -\infty \) como valores por la regla del infinito, una de estas dos medidas positivas es finita.

Supongamos que\( (Q, Q^c) \) es una descomposición arbitraria de Hahn. Si\( A \subseteq Q^c \), entonces\( \mu_+(A) = \mu(P \cap A) = 0 \) ya\( P \cap Q^c \) es un conjunto nulo de\( \mu \) por el teorema de descomposición de Hahn. Del mismo modo si\( A \subseteq Q \) entonces\(\mu_-(A) = \mu(P^c \cap A) = 0 \) ya\( P^c \cap Q \) es un conjunto nulo de\( \mu \).

Supongamos que\( \mu = \nu_+ - \nu_- \) es otra descomposición con las mismas propiedades. Si\( A \in \mathscr{S} \) entonces\( \mu_+(A) = \mu(A \cap P) = [\nu_+(A \cap P) - \nu_-(A \cap P)] = \nu_+(A \cap P)] \). Pero también\( \nu_+(A) = \nu_+(A \cap P) + \nu_+(A \cap P^c) = \nu_+(A \cap P) \). De ahí\( \nu_+ = \mu_+ \) y por lo tanto también\( \nu_- = \mu_- \).

La descomposición de Jordania conduce a un importante conjunto de nuevas definiciones.

Supongamos que\( \mu \) tiene descomposición de Jordania\( \mu = \mu_+ - \mu_- \).

1. La medida positiva\( \mu_+ \) se llama la medida de variación positiva de\( \mu \).
2. La medida positiva\( \mu_- \) se llama la medida de variación negativa de\( \mu \).
3. La medida positiva\( \left| \mu \right| = \mu_+ + \mu_- \) se denomina medida de variación total de\( \mu \).
4. \( \| \mu \| = \left|\mu\right|(S) \)es la variación total de\( \mu \).

Nótese que, a pesar de la similitud en la notación,\( \mu_+(A) \) y no\( \mu_-(A) \) son simplemente las partes positivas y negativas del número real (extendido)\( \mu(A) \), ni es\( \left| \mu \right|(A) \) el valor absoluto de\( \mu(A) \). Además, tenga cuidado de no confundir la variación total de\( \mu \), un número en\( [0, \infty] \), con la medida de variación total. Las medidas de variación positiva, negativa y total se pueden escribir directamente en términos de\( \mu \).

Para\( A \in \mathscr{S} \),

1. \( \mu_+(A) = \sup\{\mu(B): B \in \mathscr{S}, B \subseteq A\} \)
2. \( \mu_-(A) = -\inf\{\mu(B): B \in \mathscr{S}, B \subseteq A\}\)
3. \( \left| \mu(A) \right| = \sup\left\{ \sum_{i \in I} \mu(A_i): \{A_i: i \in I\} \text{ is a finite, measurable partition of } A \right\}\)
4. \( \left\| \mu \right\| = \sup\left\{ \sum_{i \in I} \mu(A_i): \{A_i: i \in I\} \text{ is a finite, measurable partition of } S \right\}\)

La medida de variación total se relaciona con la suma y los múltiplos escalares de medidas de manera natural.

Supongamos que\( \mu \) y\( \nu \) son medidas del mismo tipo y eso\( c \in \R \). Entonces

1. \( \left| \mu \right| = 0 \)si y sólo si\( \mu = 0 \) (la medida cero).
2. \( \left| c \mu \right| = \left|c\right| \left| \mu \right| \)
3. \( \left| \mu + \nu \right| \le \left| \mu \right| + \left| \nu \right| \)

Prueba

1. Ya que\( \mu_+ \),\( \mu_- \) y\( |\mu| = \mu_+ + \mu_- \) son medidas positivas,\( |\mu| = 0 \) si y solo si y solo\( \mu_+ = \mu_- = 0 \) si y solo si\( \mu = 0 \).
2. Si\( c \gt 0 \) entonces\( (c \mu)_+ = c \mu \) y\( (c \mu)_- = c \mu_- \). Si\( c \lt 0 \) entonces\( (c \mu)_+ = -c \mu_- \) y\( (c \mu)_- = - c \mu_+ \). Por supuesto, si\( c = 0 \) entonces\( (c \mu)_+ = (c \mu)_- = 0 \). En todos los casos,\[|c \mu| = (c \mu)_+ + (c \mu)_- = |c| (\mu_+ + \mu_-) = |c| |\mu|\]
3. Del teorema anterior,\( (\mu + \nu)_+ \le \mu_+ + \nu_+ \) y\( (\mu + \nu)_- \le \mu_- + \nu_- \). Así\ comienza {alinear*} |\ mu +\ nu| & = (\ mu +\ nu) _+ (\ mu +\ nu) _-\ le (\ mu_+ +\ nu_+) + (\ mu_- +\ nu_-)\\ & = (\ mu_+\ mu_-) + (\ nu_+\ nu_-) = |\ mu_+ |\ nu|\ fin {alinear*}

Es posible que hayas notado que las propiedades en el último resultado se parecen un poco a las propiedades de la norma. De hecho, la variación total es realmente una norma sobre el espacio vectorial de medidas finitas sobre\( (S, \mathscr{S}) \):

Supongamos que\( \mu \) y\( \nu \) son medidas del mismo tipo y eso\( c \in \R \). Entonces

1. \( \| \mu \| = 0 \)si y solo si\( \mu = 0 \) (la propiedad cero)
2. \( \| c \mu \| = \left|c\right| \| \mu \| \)(la propiedad de escalado)
3. \( \| \mu + \nu \| \le \| \mu \| + \| \nu \| \)(la desigualdad del triángulo)

Prueba

1. Ya que\( |\mu| \) es una medida positiva,\( \|\mu\| = |\mu(S)| = 0 \) si y sólo si\( |\mu| = 0 \). De la parte (a) del teorema anterior,\( |\mu| = 0 \) si y sólo si\( \mu = 0 \).
2. De la parte (b) del teorema anterior,\( \|c \mu\| = | c \mu(S)| = |c| |\mu(S)| = |c| \|\mu\| \).
3. De la parte (c) del teorema anterior,\( \|\mu + \mu\| = |\mu + \nu|(S) \le |\mu|(S) + |\nu|(S) = \|\mu\| + \|\nu\| \).

Cada norma en un espacio vectorial conduce a una medida de distancia correspondiente (una métrica). Dejar\( \mathscr{M} \) denotar la colección de medidas finitas sobre\( (S, \mathscr{S}) \). Entonces\( \mathscr{M} \), bajo la definición habitual de suma y multiplicación escalar de medidas, es un espacio vectorial, y como muestra el último teorema,\( \| \cdot \| \) es una norma sobre\( \mathscr{M} \). Aquí están las propiedades del espacio métrico correspondientes:

Supongamos que\( \mu, \, \nu, \, \rho \in \mathscr{M} \) y\( c \in \R \). Entonces

1. \( \| \mu - \nu \| = \| \nu - \mu\| \), la propiedad simétrica
2. \( \| \mu \| = 0 \)si y solo si\( \mu = 0 \), la propiedad cero
3. \( \| \mu - \rho\| \le \| \mu - \nu\| + \|\nu - \rho\| \), la desigualdad del triángulo

Ahora que tenemos una métrica, tenemos un criterio correspondiente para la convergencia.

Supongamos que\( \mu_n \in \mathscr{M} \) para\( n \in \N_+ \) y\( \mu \in \mathscr{M} \). Decimos eso\( \mu_n \to \mu \) como\( n \to \infty \) en variación total si\( \|\mu_n - \mu\| \to 0\) como\( n \to \infty \).

Por supuesto,\( \mathscr{M} \) incluye las medidas de probabilidad sobre\( (S, \mathscr{S}) \), por lo que tenemos una nueva noción de convergencia para ir junto con las otras que hemos estudiado o vamos a estudiar. Aquí hay una lista:

• convergencia con probabilidad 1
• convergencia en probabilidad
• convergencia en la distribución
• convergencia en\( k \) la media
• convergencia en la variación total

El Integral

Armado con la descomposición de Jordania, la integral puede extenderse a medidas generales de manera natural.

Supongamos que\( \mu \) es una medida sobre\( (S, \mathscr{S}) \) y que\( f: S \to \R \) es medible. Definimos\[ \int_S f \, d\mu = \int_S f \, d\mu_+ - \int_S f \, d\mu_- \] asumiendo que las integrales a la derecha existen y que el lado derecho no es de la forma\( \infty - \infty \).

No vamos a perseguir esta extensión, sino como se puede adivinar, las propiedades esenciales de la bodega integral.

Medidas Complejas

Nuevamente, supongamos que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio medible. Los mismos axiomas que funcionan para las medidas generales se pueden utilizar para definir medidas complejas. Recordemos que\( \C = \{x + i y: x, \, y \in \R\} \) denota el conjunto de números complejos, donde\( i \) está la unidad imaginaria.

Una medida compleja on\( (S, \mathscr{S}) \) es una función\( \mu: \mathscr{S} \to \C \) que satisface las siguientes propiedades:

1. \( \mu(\emptyset) = 0 \)
2. Si\( \{A_i: i \in I\} \) es una colección contable y disjunta de conjuntos en\( \mathscr{S} \) entonces\( \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \sum_{i \in I} \mu(A_i) \)

Claramente, una medida compleja\( \mu \) puede descomponerse como\( \mu = \nu + i \rho \) dónde\( \nu \) y\( \rho \) son medidas finitas (reales) sobre\( (S, \mathscr{S}) \). No serviremos de medidas complejas en este texto, pero a partir de la descomposición en medidas finitas, es fácil ver cómo desarrollar la teoría.

Ejercicios Computacionales

Contraejemplos

El lema necesario para el teorema de descomposición de Hahn puede fallar sin la suposición de que\( \mu(A) \lt \infty \).

Dejar\( S \) ser un conjunto con subconjuntos\( A \) y\( B \) satisfactorio\( \emptyset \subset B \subset A \subset S \). Dejar\( \mathscr{S} = \sigma\{A, B\} \) ser la\( \sigma \) -álgebra generada por\( \{A, B\} \). Definir\( \mu(B) = -1 \),\( \mu(A \setminus B) = \infty \),\( \mu(A^c) = 1 \).

1. Dibuja el diagrama de Venn de\( A \),\( B \),\( S \).
2. Enumere los conjuntos en\( \mathscr{S} \).
3. Usando la aditividad, dar el valor de\( \mu \) en cada conjunto en\( \mathscr{S} \).
4. Mostrar que\( A \) no tiene un subconjunto positivo\(P \in \mathscr{S} \) con\( \mu(P) \ge \mu(A) \).