5.31: La distribución secante hiperbólica

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \)\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \)\( \newcommand{ \E}{\mathbb{E}} \)\( \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \)\( \newcommand{\var}{\text{var}} \)\( \newcommand{\sd}{\text{sd}} \)\( \newcommand{\bs}{\boldsymbol} \)\( \newcommand{\sgn}{\text{sgn}} \)\( \newcommand{\skw}{\text{skew}} \)\( \newcommand{\kur}{\text{kurt}} \)\(\newcommand{\sech}{\text{sech}}\)

La distribución secante hiperbólica es una familia a escala de ubicación con una serie de interesantes paralelismos con la distribución normal. Como su nombre indica, la función secante hiperbólica juega un papel importante en la distribución, por lo que primero debemos revisar algunas definiciones

Las funciones trigonométricas hiperbólicas sinh, cosh, tanh y sech se definen de la siguiente manera, para\( x \in \R \)\ begin {align}\ sinh x & =\ frac {1} {2} (e^x - e^ {-x})\\\ cosh x & =\ frac {1} {2} (e^x + e^ {-x})\\ tanh x & =\ frac {\ sinh x} {\ cosh x} =\ frac {e^x - e^ { -x}} {e^x + e^ {-x}}\\\ sech\, x & =\ frac {1} {\ cosh x} =\ frac {2} {e^x + e^ {-x}}\ end {align}

La distribución secante hiperbólica estándar

Funciones de distribución

La distribución secante hiperbólica estándar es una distribución continua\( \R \) con función de densidad de probabilidad\( g \) dada por\[ g(z) = \frac{1}{2} \sech\left(\frac{\pi}{2} z\right), \quad z \in \R \]

1. \(g\)es simétrico alrededor de 0.
2. \(g\)aumenta y luego disminuye con el modo\( z = 0 \).
3. \(g\)es cóncavo hacia arriba luego hacia abajo luego hacia arriba nuevamente, con puntos de inflexión en\(z = \pm \frac{2}{\pi} \ln\left(\sqrt{2} + 1\right) \approx \pm 0.561\).

Prueba

Si multiplicamos numerador y denominador de\(\sech(x)\) por\(e^x\) y luego usamos la sustitución simple\(u = e^x\) vemos que De\[ \int \sech(x) \, dx = \int 2 \frac{e^x}{e^{2x} + 1} \, dx = 2 \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du = 2 \arctan(u) = 2 \arctan(e^x) \] ello se deduce que\[ \int_{-\infty}^\infty g(z) \, dz = \frac{2}{\pi} \arctan\left(\frac{\pi}{2} e^z\right) \biggm|_{-\infty}^\infty = 1 \] Las propiedades de\( g \) resultado siguen del cálculo estándar. Recordemos eso\(\sech^\prime = -\tanh \sech\) y\(\tanh^\prime = \sech^2\).

Así lo\( g \) ha hecho la clásica forma unimodal. Recordemos que los puntos de inflexión en la función de densidad de probabilidad normal estándar son\(\pm 1\). En comparación con la distribución normal estándar, la distribución secante hiperbólica es más pico en el modo 0 pero tiene colas más gordas.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución secante hiperbólica. Mantenga los parámetros predeterminados y anote la forma y ubicación de la función de densidad de probabilidad. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

La función\( G \) de distribución de la distribución secante hiperbólica estándar viene dada por\[ G(z) = \frac{2}{\pi} \arctan\left[\exp\left(\frac{\pi}{2} z\right)\right], \quad z \in \R \]

Prueba

Por supuesto,\(G(z) = \int_{-\infty}^z g(x) \, dx\). La forma de\(G\) se desprende de los mismos métodos de integración utilizados para el PDF.

La función cuantil\(G^{-1}\) de la distribución secante hiperbólica estándar viene dada por\[ G^{-1}(p) = \frac{2}{\pi} \ln\left[\tan\left(\frac{\pi}{2} p\right)\right], \quad p \in (0, 1) \]

1. El primer cuartil es\(G^{-1}\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{2}{\pi} \ln\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx -0.561\)
2. La mediana es\(G^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 0\)
3. El tercer cuartil es\(G^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{2}{\pi} \ln\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx 0.561\)

Prueba

La fórmula para\( G^{-1} \) sigue resolviendo\(G(z) = p\) para\(z\) en términos de\( p \). Para los cuartiles, tenga en cuenta que\(\tan(\pi/8) = \sqrt{2} - 1 = 1 / (\sqrt{2} + 1)\) y\(\tan(3 \pi / 8) = \sqrt{2} + 1\).

Por supuesto, el hecho de que la mediana sea 0 también se desprende de la simetría de la distribución, al igual que la relación entre el primer y tercer cuartiles. En general,\( G^{-1}(1 - p) = - G^{-1}(p) \) para\( p \in (0, 1) \). Obsérvese que el primer y tercer cuartil coinciden con los puntos de inflexión, mientras que en la distribución normal, los puntos de inflexión están en\(\pm 1\) y coinciden con la desviación estándar.

Abra la calculadora de distribución sepcial y seleccione la distribución secante hiperbólica. Mantenga los valores predeterminados de los parámetros y anote la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Calcular algunos valores de las funciones de distribución y cuantiles.

Momentos

Supongamos que\( Z \) tiene la distribución secante hiperbólica estándar. Los momentos de\( Z \) son más fáciles de calcular a partir de las funciones generadoras.

La función característica\(\chi\) de\(Z\) es la función secante hiperbólica:\[ \chi(t) = \sech(t), \quad t \in \R \]

Prueba

La función caraterística es\[ \chi(t) = \E\left(e^{i t Z}\right) = \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i t z}}{e^{\pi z / 2} + e^{-\pi z / 2}} \, dz\] La evaluación de esta integral a\(\sech(t)\) es complicada, pero los detalles se pueden encontrar en el libro Distribuciones Univariadas Continuas de Johnson, Kotz, y Balakrishnan.

Tenga en cuenta que la función de densidad de probabilidad se puede obtener de la función característica mediante una transformación de escala:\(g(z) = \frac{1}{2} \chi\left(\frac{\pi}{2} z\right)\) for\(z \in R\). Esta es otra curiosa simularidad a la distribución normal: la función de densidad de probabilidad\(\phi\) y la función característica\(\chi\) de la distribución normal estándar están relacionadas por\(\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \chi(z)\).

La función generadora\(m\) de momento de\(Z\) es la función secante:\[m(t) = \E\left(e^{tZ}\right) = \sec(t), \quad t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\]

Prueba

Esto se desprende de la función característica desde\(m(t) = \chi(-i t)\).

De ello se deduce que\(Z\) tiene momentos de todos los órdenes, y luego por simetría, que los momentos de orden impar son todos 0.

La media y varianza\(Z\) de

1. \(\E(Z) = 0\)
2. \(\var(Z) = 1\)

Prueba

Como se señaló, la media es 0 por simetría. De ahí también\(\var(Z) = \E(Z^2) = m^{\prime\prime}(0)\). Pero\(m^{\prime\prime}(t) = \sec(t) \tan^2(t) + \sec^3(t)\), entonces\(\var(Z) = 1\).

Así, la distribución secante hiperbólica estándar tiene media 0 y varianza 1, al igual que la distribución normal estándar.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución secante hiperbólica. Mantenga los parámetros predeterminados y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación\( \pm \) estándar media. Ejecutar la simulación 1000 veces comparar la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y desviación estándar.

La asimetría y curtosis\(Z\) de

1. \(\skw(Z) = 0\)
2. \(\kur(Z) = 5\)

Prueba

La asimetría es 0 por la simetría de la distribución. También, dado que la media es 0 y la varianza 1,\(\kur(Z) = \E\left(Z^4\right) = m^{(4)}(0)\). Pero por cálculo estándar,\[ m^{(4)}(t) = \sec(t) \tan^4(t) + 18 \sec^3(t) \tan^2(t) + 5 \sec^5(t) \] y por lo tanto\(m^{(4)}(0) = 5\).

Recordemos que la curtosis de la distribución normal estándar es 3, por lo que el exceso de curtosis de la distribución secante hiperbólica estándar es\( \kur(Z) - 3 = 2 \). Esta distribución tiene un pico más brusco en la media 0 y tiene colas más gordas, en comparación con la normal.

Distribuciones Relacionadas

La distribución secante hiperbólica estándar tiene las conexiones habituales con la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil calculada anteriormente.

La distribución secante hiperbólica estándar se relaciona con la distribución uniforme estándar de la siguiente manera:

1. Si\( Z \) tiene la distribución secante hiperbólica estándar entonces\[ U = G(Z) = \frac{2}{\pi} \arctan\left[\exp\left(\frac{\pi}{2} Z\right)\right] \] tiene la distribución uniforme estándar.
2. Si\( U \) tiene la distribución uniforme estándar entonces\[ Z = G^{-1}(U) = \frac{2}{\pi} \ln\left[\tan\left(\frac{\pi}{2} U\right)\right] \] tiene la distribución secante hiperbólica estándar.

Dado que la función cuantil tiene una forma cerrada simple, la distribución secante hiperbólica estándar se puede simular fácilmente mediante el método de cuantil aleatorio.

Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución secante hiperbólica. Mantenga los valores de los parámetros predeterminados y anote nuevamente la forma de las funciones de densidad de probabilidad y distribución. Ejecute el experimento 1000 veces y compare la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

La distribución secante hiperbólica general

La distribución secante hiperbólica estándar se generaliza agregando parámetros de ubicación y escala.

Supongamos que\(Z\) tiene la distribución secante hiperbólica estándar y eso\(\mu \in \R\) y\(\sigma \in (0, \infty)\). Luego\(X = \mu + \sigma Z\) tiene la distribución secante hiperbólica con parámetro de ubicación\(\mu\) y parámetro de escala\(\sigma\).

Funciones de distribución

Supongamos que\( X \) tiene la distribución secante hiperbólica con parámetro de ubicación\( \mu \in \R \) y parámetro de escala\( \sigma \in (0, \infty) \).

La función de densidad de probabilidad\(f\) de\(X\) viene dada por\[ f(x) = \frac{1}{2 \sigma} \sech\left[\frac{\pi}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)\right], \quad x \in \R \]

1. \(f\)es simétrico sobre\(\mu\).
2. \(f\)aumenta y luego disminuye con el modo\(x = \mu\).
3. \(f\)es cóncavo hacia arriba luego hacia abajo luego hacia arriba nuevamente, con puntos de inflexión en\(x = \mu \pm \frac{2}{\pi} \ln\left(\sqrt{2} + 1\right) \sigma \approx \mu \pm 0.561 \sigma\).

Prueba

Recordemos que\( f(x) = \frac{1}{\sigma}g\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) \) para\( x \in \R \) donde\( g \) esta la secante hiperbólica estándar PDF.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución secante hiperbólica. Varíe los parámetros y anote la forma y ubicación de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

La función\(F\) de distribución de\(X\) viene dada por\[ F(x) = \frac{2}{\pi} \arctan\left\{\exp\left[\frac{\pi}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)\right]\right\}, \quad x \in \R \]

Prueba

Recordemos que\( F(x) = G\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) \) para\( x \in \R \) dónde\( G \) está el CDF secante hiperbólico estándar.

La función cuantil\(F^{-1}\) de\(X\) viene dada por\[F^{-1}(p) = \mu + \sigma \frac{2}{\pi} \ln\left[\tan\left(\frac{\pi}{2} p\right)\right], \quad p \in (0, 1)\]

1. El primer cuartil es\(F^{-1}\left(\frac{1}{4}\right) = \mu - \frac{2}{\pi} \ln\left(1 + \sqrt{2}\right) \sigma \approx \mu -0.561 \sigma\)
2. La mediana es\(F^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \mu\)
3. El tercer cuartil es\(F^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \mu + \frac{2}{\pi} \ln\left(1 + \sqrt{2}\right) \sigma \approx \mu + 0.561 \sigma\)

Prueba

Recordemos que\( F^{-1}(p) = \mu + \sigma G^{-1}(p) \) donde\( G^{-1} \) está la función cuantil estándar.

Abra la calculadora de distribución sepcial y seleccione la distribución secante hiperbólica. Varíe los parámetros y anote la forma de las funciones de distribución y densidad. Para diversos valores de los parámetros, compute algunos valores de las funciones de distribución y cuantiles.

Momentos

Supongamos nuevamente que\( X \) tiene la distribución secante hiperbólica con parámetro de ubicación\( \mu \in \R \) y parámetro de escala\( \sigma \in (0, \infty) \).

La función de generación de momento\(M\) de\(X\) viene dada por\[ M(t) = e^{\mu t} \sec(\sigma t), \quad t \in \left(-\frac{\pi}{2 \sigma}, \frac{\pi}{2 \sigma}\right)\]

Prueba

Recordemos que\( M(t) = e^{\mu t} m(\sigma t) \) donde\( m \) está el MGF secante hiperbólico estándar.

Al igual que en la distribución normal, los parámetros de ubicación y escala son la media y la desviación estándar, respectivamente.

La media y varianza\(X\) de

1. \(\E(X) = \mu\)
2. \(\var(X) = \sigma^2\)

Prueba

Estos resultados se derivan de la representación\( X = \mu + \sigma Z \) donde\( Z \) tiene la distribución secante hiperbólica estándar, propiedades básicas de valor esperado y varianza, y la media y varianza de\( Z \):

1. \( \E(X) = \mu + \sigma \E(Z) = \mu\)
2. \( \var(X) = \sigma^2 \var(Z) = \sigma^2 \)

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución secante hiperbólica. Varíe los parámetros y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación\( \pm \) estándar media. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

La asimetría y curtosis\( X \) de

1. \( \skw(X) = 0 \)
2. \( \kur(X) = 5 \)

Prueba

Recordemos que la asimetría y la curtosis se definen en términos de la puntuación estándar, y por lo tanto son invariantes bajo transformaciones de escala de ubicación. Así, la asimetría y curtosis de\( X \) son las mismas que la asimetría y curtosis de la distribución estándar.

Una vez más, el exceso de curtosis es\( \kur(X) - 3 = 2 \)

Distribuciones Relacionadas

Dado que la distribución secante hiperbólica es una familia a escala de ubicación, se cierra trivialmente bajo transformaciones a escala de ubicación.

Supongamos que\( X \) tiene la distribución secante hiperbólica con parámetro de ubicación\( \mu \in \R \) y parámetro de escala\( \sigma \in (0, \infty) \), y eso\( a \in \R \) y\( b \in (0, \infty) \). Luego\( Y = a + b X \) tiene la distribución secante hiperbólica con parámetro de ubicación\( a + b \mu \) y parámetro de escala\( b \sigma \).

Prueba

Por definición, podemos tomar\( X = \mu + \sigma Z \) donde\( Z \) tiene la distribución secante hiperbólica estándar. De ahí\( Y = a + b X = (a + b \mu) + (b \sigma) Z \).

La distribución secante hiperbólica tiene las conexiones habituales con la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil calculada anteriormente.

Supongamos que\( \mu \in \R \) y\( \sigma \in (0, \infty) \).

1. Si\( X \) tiene la distribución secante hiperbólica con parámetro de ubicación\( \mu \) y parámetro de escala\( \sigma \) entonces\[ U = F(X) = \frac{2}{\pi} \arctan\left\{\exp\left[\frac{\pi}{2}\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)\right]\right\} \] tiene la distribución uniforme estándar.
2. Si\( U \) tiene la distribución uniforme estándar entonces\[ X = F^{-1}(U) = \mu + \sigma \frac{2}{\pi} \ln\left[\tan\left(\frac{\pi}{2} U\right)\right] \] tiene la distribución secante hiperbólica con parámetro de ubicación\( \mu \) y parámetro de escala\( \sigma \).

Dado que la función cuantil tiene una forma cerrada simple, la distribución secante hiperbólica se puede simular fácilmente mediante el método de cuantil aleatorio.

Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución secante hiperbólica. Varíe los parámetros y anote nuevamente la forma de las funciones de densidad de probabilidad y distribución. Ejecute el experimento 1000 veces y compare la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.