18.2: Movimiento browniano con deriva y escalado

\( \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \)\( \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \)\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \)\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \)\( \newcommand{\bs}{\boldsymbol} \)\( \newcommand{\cov}{\text{cov}} \)\( \newcommand{\cor}{\text{cor}} \)\( \newcommand{\var}{\text{var}} \)\( \newcommand{\sd}{\text{sd}} \)

Teoría Básica

Definición

Comenzamos con los supuestos que rigen el movimiento browniano estándar, excepto que relajamos las restricciones sobre los parámetros de la distribución normal.

Supongamos que\( \mu \in \R \) y\( \sigma \in (0, \infty) \). El movimiento browniano con parámetro de deriva\( \mu \) y parámetro de escala\( \sigma \) es un proceso aleatorio\(\bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\}\) con espacio de estado\(\R\) que satisface las siguientes propiedades:

1. \( X_0 = 0 \)(con probabilidad 1).
2. \( \bs{X} \)tiene incrementos estacionarios. Es decir, para\( s, \, t \in [0, \infty) \) con\( s \lt t \), la distribución de\( X_t - X_s \) es la misma que la distribución de\( X_{t - s} \).
3. \( \bs{X} \)tiene incrementos independientes. Es decir, para\( t_1, t_2, \ldots, t_n \in [0, \infty) \) con\( t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_n \), las variables aleatorias\( X_{t_1}, X_{t_2} - X_{t_1}, \ldots, X_{t_n} - X_{t_{n-1}} \) son independientes.
4. \( X_t \)tiene la distribución normal con media\( \mu t \) y varianza\( \sigma^2 t \) para\( t \in [0, \infty) \).
5. Con probabilidad 1,\( t \mapsto X_t \) es continuo encendido\( [0, \infty) \).

Tenga en cuenta que no podemos asignar los parámetros de la distribución normal de\(X_t\) manera arbitraria. Sabemos que ya\(\bs{X}\) cuenta con incrementos estacionarios, independientes,\(\E(X_t)\) y\(\var(X_t)\) deben ser funciones lineales de\( t \in [0, \infty) \).

Abra la simulación de movimiento browniano con deriva y escalado. Ejecute la simulación en modo de un solo paso varias veces para varios valores de los parámetros. Tenga en cuenta el comportamiento de las rutas de muestreo. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica y los momentos con la función de densidad verdadera y los momentos.

Es fácil construir el movimiento browniano con deriva y escalado a partir de un movimiento browniano estándar, por lo que no tenemos que preocuparnos por la cuestión de la existencia.

Relación con el movimiento browniano estándar.

1. Supongamos que\(\bs{Z} = \{Z_t: t \in [0, \infty)\}\) es un movimiento browniano estándar, y eso\(\mu \in \R\) y\(\sigma \in (0, \infty)\). Dejemos\(X_t = \mu t + \sigma Z_t\) para\(t \in [0, \infty)\). Entonces\(\bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\}\) es un movimiento browniano con parámetro de deriva\(\mu\) y parámetro de escala\(\sigma\).
2. Por el contrario, supongamos que\(\bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\}\) es un movimiento browniano con parámetro de deriva\(\mu \in \R\) y parámetro de escala\(\sigma \in (0, \infty)\). Dejemos\(Z_t = (X_t - \mu t) \big/ \sigma\) para\(t \in [0, \infty)\). Entonces\(\bs{Z} = \{Z_t: t \in [0, \infty)\}\) es un movimiento browniano estándar.

Prueba

Es sencillopara demostrar que los procesos\(\bs{X}\) y\(\bs{Z}\) satisfacer el conjunto apropiado de supuestos.

En forma diferencial, la parte (a) puede escribirse como\[ d X_t = \mu \, dt + \sigma \, d Z_t, \; X_0 = 0 \]

Distribuciones dimensionales finitas

Supongamos que\( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) es movimiento browniano con parámetro de deriva\(\mu \in \R\) y parámetro de escala\(\sigma \in (0, \infty)\). Se desprende de la parte (d) de la definición que\( X_t \) tiene función de densidad de probabilidad\( f_t \) dada por\[ f_t(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi t}} \exp\left[-\frac{1}{2 \sigma^2 t} (x - \mu t)^2\right], \quad x \in \R \] Esta familia de funciones de densidad determina las distribuciones dimensionales finitas de\( \bs{X} \).

Si\( t_1, t_2, \ldots, t_n \in (0, \infty) \) con\( 0 \lt t_1 \lt t_2 \cdots \lt t_n \) entonces\( (X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_n}) \) tiene la función de densidad de probabilidad\( f_{t_1, t_2, \ldots, t_n} \) dada por\[ f_{t_1, t_2, \ldots, t_n}(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f_{t_1}(x_1) f_{t_2 - t_1}(x_2 - x_1) \cdots f_{t_n - t_{n-1}}(x_n - x_{n-1}), \quad (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \R^n \]

Prueba

Esto sigue porque\(\bs{X}\) tiene incrementos estacionarios e independientes.

\( \bs{X} \)es un proceso gaussiano con función media función media\( m \) y función de covarianza\( c \) dada por

1. \( m(t) = \mu t \)para\( t \in [0, \infty) \)
2. \( c(s, t) = \sigma^2 \min\{s, t\} \)para\( s, \, t \in [0, \infty) \).

Prueba

El hecho de que\(\bs{X}\) sea un proceso gaussiano se desprende de la construcción\(X_t = \mu t + \sigma Z_t\) para\(t \in [0, \infty)\), donde\(\bs{Z}\) es un movimiento browniano estándar. Sabemos que\(\bs{Z}\) es un proceso gaussiano. La forma de las funciones media y covarianza sigue porque\(\bs{X}\) tiene incrementos estacionarios e independientes. Tenga en cuenta que\(\mu\) y\(\sigma^2\) son la media y varianza de\(X_1\).

La función de correlación es independiente de los parámetros, y por lo tanto es la misma que para el movimiento browniano estándar. Esto no es sorprendente ya que la correlación es una medida estandarizada de asociación. \[ \cor(X_s, X_t) \frac{\sigma^2 \min\{s, t\}}{\sigma s \sigma t} = \frac{\min\{s, t\}}{s t} = \sqrt{\frac{\min\{s, t\}}{\max\{s, t\}}}, \quad (s, t) \in [0, \infty)^2 \]

Transformaciones

Hay un par de transformaciones simples que preservan el movimiento browniano, pero quizás cambian los parámetros de deriva y escala. Nuestro punto de partida es un movimiento browniano\( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) con parámetro de deriva\( \mu \in \R \) y parámetro de escala\( \sigma \in (0, \infty) \). Nuestro primer resultado consiste en escalar\( \bs{X} \) es el tiempo y el espacio (y es posible que se refleje en el origen espacial).

Dejar\( a \in \R \setminus \{0\} \) y\( b \in (0, \infty) \). Definir\( Y_t = a X_ {b t} \) para\( t \ge 0 \). Entonces también\( \bs{Y} = \{Y_t: t \ge 0\} \) es un movimiento browniano con parámetro de deriva\( a b \mu \) y parámetro de escala\(\left|a\right| \sqrt{b} \sigma \).

Prueba

Claramente el nuevo proceso sigue siendo un proceso gaussiano. La función media es\( \E(Y_t) = a \E(X_{b t}) = a b \mu t \) para\( t \in [0, \infty) \). La función de covarianza es\( \cov(Y_s, Y_t) = a^2 \cov(X_{bs}, X_{bt}) = a^2 \sigma^2 \min\{b s, b t\} = a^2 b \sigma^2 \min\{s, t\} \) para\( (s, t) \in [0, \infty)^2 \). Por último, ya que\( \bs{X} \) es continuo, así es\( \bs{Y} \).

Supongamos que\( a \gt 0 \) en el teorema anterior, para que estemos escalando temporal y espacialmente. Para preservar el parámetro de deriva original\(\mu\) debemos tener\(a b = 1\) (si\(\mu \ne 0\)). Para preservar el parámetro de escala original\(\sigma\), debemos tener\( a \sqrt{b} = 1 \). No podemos tener ambos a menos que\(\mu = 0\), lo que lleva a una ligera generalización de uno de nuestros resultados para el movimiento browniano estándar:

Supongamos que\(\bs{X}\) es un movimiento browniano con parámetro de deriva\(\mu = 0\) y parámetro de escala\(\sigma > 0\). Supongamos también eso\(c \gt 0 \) y vamos\(Y_t = \frac{1}{c} X_{c^2 t}\) por\(t \ge 0\). Entonces también\(\bs{Y} = \{Y_t: t \in [0, \infty)\}\) es un movimiento browniano con parámetro de deriva 0 y parámetro de escala\(\sigma\).

Nuestro siguiente resultado está relacionado con la propiedad de Markov, que exploramos con más detalle a continuación. Volvemos al caso general donde\(\bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\}\) se encuentra un movimiento browniano con parámetro de deriva\(\mu \in \R\) y parámetro de escala\(\sigma \in (0, \infty)\). Si reiniciamos el movimiento browniano en un tiempo fijo\( s \), y cambiamos el origen a\( X_s \), entonces tenemos otro movimiento browniano con los mismos parámetros.

Fijar\( s \in [0, \infty) \) y definir\( Y_t = X_{s + t} - X_s \) para\( t \ge 0 \). Entonces también\( \bs{Y} = \{Y_t: t \in [0, \infty)\} \) es un movimiento browniano con los mismos parámetros de deriva y escala.

Prueba

Claramente también\( \bs{Y} \) es un proceso gaussiano. Además,\( \E(Y_t) = \E(X_{s + t}) - \E(X_s) = \mu(s + t) - \mu s = \mu t \) para\( t \in [0, \infty) \). Además, si\( r, \, t \in [0, \infty) \) con\( r \le t \) entonces\ begin {align}\ cov (Y_r, y_T) & =\ cov (X_ {s + r} - x_s, X_ {s + t} - x_s)\\ & =\ cov (X_ {s + r}, X_ {s + t}) -\ cov (X_ {s + r}, x_s) -\ cov (X_ {s + r}, x_s) -\ cov (X_ {s + r}, x_s v (X_s, X_ {s + t}) +\ cov (X_s, X_s)\\ & =\ sigma^2 (s + r) -\ sigma^2 s -\ sigma^2 s +\ sigma^2 s =\ sigma^2 r\ end {align} Finalmente,\( \bs{Y} \) es continuo por la continuidad de\( \bs{X} \).

La propiedad de Markov y los tiempos de parada

Como es habitual, comenzamos con un movimiento browniano\( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) con parámetro de deriva\( \mu \) y parámetro de escala\( \sigma \). Recordemos nuevamente que un proceso de Markov tiene la propiedad de que el futuro es independiente del pasado, dado el estado presente. Debido a la propiedad de incrementos estacionarios e independientes, el movimiento browniano tiene la propiedad. Como nota menor, para verlo\( \bs{X} \) como un proceso de Markov, a veces necesitamos relajar la Asunción 1 y dejar\( X_0 \) tener un valor arbitrario en\( \R \). Vamos\( \mathscr{F}_t = \sigma\{X_s: 0 \le s \le t\} \), la sigma-álgebra generada por el proceso hasta el momento\( t \in [0, \infty) \). La familia de\(\sigma\) -álgebras\(\mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\}\) se conoce como filtración.

El movimiento browniano es un proceso de Markov homogéneo en el tiempo con densidad de probabilidad de transición\( p \) dada por\[ p_t(x, y) = f_t(y - x) =\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi t}} \exp\left[-\frac{1}{2 \sigma^2 t} (y - x - \mu t)^2\right], \quad t \in (0, \infty); \; x, \, y \in \R \]

Prueba

Arreglar\( s \in [0, \infty) \). El teorema se desprende del hecho de que el proceso\( \{X_{s+t} - X_s: t \in [0, \infty)\} \) es otro movimiento browniano estándar, como se señaló anteriormente, y es independiente de\( \mathscr{F}_s \).

La densidad de transción\( p \) satisface las siguientes ecuaciones de difusión. La primera se conoce como la ecuación hacia adelante y la segunda como la ecuación hacia atrás.

\ begin {align}\ frac {\ parcial} {\ parcial t} p_t (x, y) & = -\ mu\ frac {\ parcial} {\ parcial y} p_t (x, y) +\ frac {1} {2}\ sigma^2\ frac {\ parcial^2} {\ parcial y^2} p_t (x, y)\\ {\ parcial} {\ parcial} p_t (x, y) & =\ mu\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ parcial x} p_t (x, y) +\ frac {1} {2}\ sigma^2\ frac {\ parcial^2} {\ parcial x^2} p_t (x, y)\ end {align}

Prueba

Estos resultados se deduce del cálculo estándar.

Las ecuaciones de difusión se denominan así, porque la derivada espacial en la primera ecuación es con respecto a\( y \), el estado hacia adelante en el tiempo\( t \), mientras que la derivada espacial en la segunda ecuación es con respecto a\( x \), el estado hacia atrás en el tiempo 0.

Recordemos nuevamente que un tiempo aleatorio\( \tau \) tomando valores\( [0, \infty] \) es un tiempo de parada con respecto al proceso\( \bs{X} \) si\( \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \) por cada\( t \in [0, \infty) \). El\( \sigma \) álgebra asociada a\( \tau \) es\[ \mathscr{F}_\tau = \left\{B \in \mathscr{F}: B \cap \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \text{ for all } t \ge 0\right\} \] Consulte la sección de Filtraciones y Tiempos de Parada para obtener más información sobre filtraciones, tiempos de detención y el\(\sigma\) -álgebra asociada con un tiempo de detención. El movimiento browniano también\( \bs{X} \) es un fuerte proceso de Markov.

Supongamos que\( \tau \) es un tiempo de parada y defina\( Y_t = X_{\tau + t} - X_\tau \) para\( t \in [0, \infty) \). Entonces\( \bs{Y} = \{Y_t: t \in [0, \infty)\} \) es un movimiento browniano con los mismos parámetros de deriva y escala, y es independiente de\( \mathscr{F}_\tau \).