13.4: Problemas en los métodos de transformación

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Calcular directamente la función generadora\(g_X(s)\) para la\((p)\) distribución geométrica.

Responder

\(g_X (s) = E[s^2] = \sum_{k = 0}^{\infty} p_k s^k = p \sum_{k = 0}^{\infty} q^k s^k = \dfrac{p}{1 - qs}\)(serie geométrica)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Calcular directamente la función generadora\(g_X(s)\) para la\((\mu)\) distribución de Poisson.

Responder

\(g_X (s) = E[s^X] = \sum_{k = 0}^{\infty} p_k s^k = e^{-\mu} \sum_{k = 0}^{\infty} \dfrac{\mu^k s^k}{k!} = e^{-\mu} e^{\mu s} = e^{\mu (s - 1)}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Una bombilla de proyección tiene vida (en horas) representada por\(X\) ~ exponencial (1/50). La unidad será reemplazada inmediatamente al fallar o a las 60 horas, lo que ocurra primero. Determinar la función de generación de momento para el tiempo\(Y\) de reemplazo.

Responder

\(Y = I_{[0, a]} (X) X + I_{(a, \infty)} (X) a\)\(e^{sY} = I_{[0, a)} (X) e^{sX} + I_{(a, \infty) (X) e^{as}\)

\(M_Y (s) = \int_{0}^{a} e^{st} \lambda e^{-\lambda t}\ dt + s^{sa} \int_{a}^{\infty} \lambda e^{-\lambda t}\ dt\)

\(= \dfrac{\lambda}{\lambda - s} [1 - e^{(\lambda - s) a}] + e^{-(\lambda - s) a}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

La variable aleatoria simple\(X\) tiene distribución

\(X =\)[-3 -2 0 1 4]\(PX =\) [0.15 0.20 0.30 0.25 0.10]

a. Determinar la función de generación de momento para\(X\)
b. Mostrar por cálculo directo el\(M_X' (0) = E[X]\) y\(M_X'' (0) = E[X^2]\).

Responder

\(M_X (s) = 0.15 e^{-3s} + 0.20 e^{-2s} + 0.30 + 0.25 e^s + 0.10 e^{4s}\)

\(M_X' (s) = -3 \cdot 0.15 e^{-3s} - 2 \cdot 0.20 e^{-2s} + 0 + 0.25 e^{s} + 4 \cdot 0.10 e^{4s}\)

\(M_X''(s) = (-3)^2 \cdot 0.15 e^{-3s} + (-2)^2 \cdot 0.20 e^{-2s} + 0 + 0.25 e^{s} + 4^2 \cdot 0.10 e^{4s}\)

El ajuste\(s = 0\) y el uso\(e^0 = 1\) dan los resultados deseados.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Utilice la función de generación de momento para obtener las varianzas para las siguientes distribuciones

\((\lambda)\)Gamma Exponencial (\(\alpha, \lambda\)) Normal (\(\mu, \sigma^2\))

Responder

a. Exponencial:

\(M_X(s) = \dfrac{\lambda}{\lambda - s}\)\(M_X'(s) = \dfrac{\lambda}{(\lambda - s)^2}\)\(M_X''(s) = \dfrac{2\lambda}{(\lambda - s)^3}\)

\(E[X] = \dfrac{\lambda}{\lambda^2} = \dfrac{1}{\lambda}\)\(E[X^2] = \dfrac{2\lambda}{\lambda^3} = \dfrac{2}{\lambda^2}\)\(\text{Var}[X] = \dfrac{2}{\lambda^2} - (\dfrac{1}{\lambda})^2= \dfrac{1}{\lambda^2}\)

b. Gamma (\(\alpha, \lambda\)):

\(M_X (s) = (\dfrac{\lambda}{\lambda - s})^{\alpha}\)\(M_X' (s) = \alpha (\dfrac{\lambda}{\lambda - s})^{\alpha - 1}\)\(\dfrac{\lambda}{(\lambda - s)^2} = \alpha (\dfrac{\lambda}{\lambda - s})^{\alpha} \dfrac{1}{\lambda - s}\)

\(M_X'' (s) = \alpha^2 (\dfrac{\lambda}{\lambda - s})^{\alpha}\dfrac{1}{\lambda - s} \dfrac{1}{\lambda - s} + \alpha (\dfrac{\lambda}{\lambda - s})^{\alpha} \dfrac{1}{(\lambda - s)^2}\)

\(E[X] =\dfrac{\alpha}{\lambda}\)\(E[X^2] =\dfrac{\alpha^2 + \alpha}{\lambda^2}\)\(\text{Var} [X] = \dfrac{\alpha}{\lambda^2}\)

c. Normal (\(\mu, \sigma\)):

\(M_X (s) = \text{exp} (\dfrac{\sigma^2 s^2}{2} + \mu s)\)\(M_X'(s) = M_X (s) \cdot (\sigma^2 s + \mu)\)

\(M_X''(s) = M_X (s) \cdot (\sigma^2 s + \mu)^2 + M_X (s) \sigma^2\)

\(E[X] = \mu\)\(E[X^2] = \mu^2 + \sigma^2\)\(\text{Var} [X] = \sigma^2\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

El par\(\{X, Y\}\) es iid con función de generación de momento común\(\dfrac{\lambda^3}{(\lambda - s)^3}\). Determinar la función de generación de momento para\(Z = 2X - 4Y + 3\).

Responder

\(M_Z(s) = e^{3s} (\dfrac{\lambda}{\lambda - 2s})^3 (\dfrac{\lambda}{\lambda + 4s})^3\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

El par\(\{X, Y\}\) es iid con función de generación de momento común\(M_X (s) = (0.6 + 0.4e^s)\). Determinar la función de generación de momento para\(Z = 5X + 2Y\).

Responder

\ (M_Z (s) = (0.6 + 0.4e^ {5s}) (0.6 + 0.4e^ {2s})

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Utilice la función de generación de momentos para la distribución triangular simétrica en\((-c, c)\) como se deriva en la sección “Tres Transformadas Básicas”.

1. Obtener una expresión para la distribución triangular simétrica en\((a, b)\) para cualquier\(a < b\).
2. Utilice el resultado de la parte (a) para mostrar que la suma de dos variables aleatorias independientes en uniforme\((a, b)\) tiene distribución triangular simétrica en\((2a, 2b)\).

Responder

Dejar\(m = (a + b)/2\) y\(c = (b - a)/2\). Si\(Y\) ~ triangular simétrico encendido\((-c, c)\), entonces\(X = Y + m\) es simétrico triangular en\((m - c, m + c) = (a, b)\) y

\(M_X (s) = e^{ms} M_Y (s) = \dfrac{e^{cs} + e^{-cs} - 2}{c^2s^2} e^{ms} = \dfrac{e^{(m + c)s} + e^{(m - c)s} - 2e^{ms}}{c^2s^2} = \dfrac{e^{hs} + e^{as} - 2e^{\dfrac{a+b}{2}s}}{(\dfrac{b - a}{2})^2s^2}\)

\(M_{X + Y} (s) = [\dfrac{e^{sb} - e^{sa}}{s(b - a)}]^2 = \dfrac{e^{s2b}+ e^{s2a} - 2e^{s(b + a)}}{s^2 (b - a)^2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Variable aleatoria\(X\) tiene función de generación de momento\(\dfrac{p^2}{(1 - qe^s)^2}\).

a. Utilizar derivados para determinar\(E[X]\) y\(\text{Var} [X]\).

b. Reconocer la distribución desde la forma y comparar\(E[X]\) y\(\text{Var} [X]\) con el resultado de la parte (a).

Responder

\([p^2 (1 - qe^s)^{-2}]' = \dfrac{2p^2qe^s}{(1 - qe^s)^3}\)para que\(E[X] = 2q/p\)

\([p^2 (1 - qe^s)^{-2}]'' = \dfrac{6p^2 q^2 e^s}{(1 - qe^s)^4} + \dfrac{2p^2qe^s}{(1 - qe^s)^3}\)para que\(E[X^2] = \dfrac{6q^2}{p^2} + \dfrac{2q}{p}\)

\(\text{Var} [X] = \dfrac{2q^2}{p^2} + \dfrac{2q}{p} = \dfrac{2(q^2 + pq)}{p^2} = \dfrac{2q}{p^2}\)

\(X\)~ binomio negativo\((2, p)\), que tiene\(E[X] = 2q/p\) y\(\text{Var} [X] = 2q/p^2\).

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

El par\(\{X, Y\}\) es independiente. \(X\)~ Poisson (4) y\(Y\) ~ geométrico (0, 3). Determinar la función generadora\(g_Z\) para\(Z = 3X + 2Y\).

Responder

\(g_Z (s) = g_X (s^3) g_Y (s^2) = e^{4(s^3-1)} \cdot \dfrac{0.3}{1 - qs^2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

La variable aleatoria\(X\) tiene función de generación de momento

\(M_X (s) = \dfrac{1}{1 - 3s} \cdot \text{exp} (16s^2/2 + 3s)\)

Al reconocer formas y usar reglas de combinaciones, determinar\(E[X]\) y\(\text{Var} [X]\).

Responder

\(X = X_1 + X_2\)con\(X_1\) ~ exponencial (1/3)\(X_2\) ~\(N\) (3, 16)

\(E[X] = 3 + 3 = 6\)\(\text{Var} [X] = 9 + 16 = 25\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

La variable aleatoria\(X\) tiene función de generación de momento

\(M_X (s) = \dfrac{\text{exp} (3(e^s - 1))}{1 - 5s} \cdot \text{exp} (16s^2/2 + 3s)\)

Al reconocer formas y usar reglas de combinaciones, determinar\(E[X]\) y\(\text{Var} [X]\).

Responder

\(X = X_1 + X_2 + X_3\), con\(X_1\) ~ Poisson (3),\(X_2\) ~ exponencial (1/5),\(X_3\0 ~ \(N\) (3, 16)

\(E[X] = 3 + 5 + 3 = 11\)\(\text{Var} [X] = 3 + 25 + 16 = 44\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Supongamos que la clase\(\{A, B, C\}\) de eventos es independiente, con probabilidades respectivas 0.3, 0.5, 0.2. Considerar

\(X = -3I_A + 2I_B + 4I_C\)

a. Determinar las funciones de generación de momento y utilizar las propiedades de las funciones de generación de momento para determinar la función de generación de momento para\(X\).
b. Utilice la función de generación de momento para determinar la distribución para\(X\).
c. Usar canónico para determinar la distribución. Comparar con el resultado (b).
d. Utilizar distribuciones para los términos separados; determinar la distribución para la suma con mgsum3. Comparar con el resultado (b).

Responder

\(M_X (s) = (0.7 + 0.3 e^{-3s})(0.5 + 0.5 e^{2s}) (0.8 + 0.2 e^{4s}) =\)

\(0.12 e^{-3s} + 0.12 e^{-s} + 0.28 + 0.03 e^{s} + 0.28 e^{2s} + 0.03 e^{3s} + 0.07 e^{4s} + 0.07 e^{6s}\)

La distribución es

\(X = \)[-3 -1 0 1 2 3 4 6]\(PX =\) [0.12 0.12 0.28 0.03 0.28 0.03 0.28 0.03 0.07 0.07]

c = [-3 2 4 0];
P = 0.1*[3 5 2];
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  minprob(P)
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
P1 = [0.7 0.3];
P2 = [0.5 0.5];
P3 = [0.8 0.2];
X1 = [0 -3];
X2 = [0 2];
X3 = [0 4];
[x,px] = mgsum3(X1,X2,X3,P1,P2,P3);
disp([X;PX;x;px]')
   -3.0000    0.1200   -3.0000    0.1200
   -1.0000    0.1200   -1.0000    0.1200
         0    0.2800         0    0.2800
    1.0000    0.0300    1.0000    0.0300
    2.0000    0.2800    2.0000    0.2800
    3.0000    0.0300    3.0000    0.0300
    4.0000    0.0700    4.0000    0.0700
    6.0000    0.0700    6.0000    0.0700 

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Supongamos que el par\(\{X, Y\}\) es independiente, con ambos\(X\) y\(Y\) binomial. Usa funciones generadoras para mostrar bajo qué condición, si la\(X + Y\) hay, es binomial.

Responder

El binomio iff ambos tienen lo mismo\(p\), como se muestra a continuación.

\(g_{X + Y} (s) = (q_1 + p_1 s)^n (q_2 + p_2s)^m = (q + ps)^{n + m}\)iff\(p_1 = p_2\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Supongamos que el par\(\{X, Y\}\) es independiente, con ambos\(X\) y\(Y\) Poisson.

a. Utilice funciones generadoras para mostrar bajo qué condición\(X + Y\) se encuentra Poisson.
b. ¿Y qué pasa\(X - Y\)? Justifica tu respuesta.

Responder

Siempre Poisson, como muestra el argumento a continuación.

\(g_{X + Y} (s) = e^{\mu(s - 1)} e^{v(s - 1)} = e^{(\mu + v) (s - 1)}\)

Sin embargo,\(Y\) ~\(X\) podría tener valores negativos.

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Supongamos que el par\(\{X, Y\}\)\(Y\) es independiente, no es negativo de valor completo,\(X\) es Poisson y\(X + Y\) es Poisson. Usa las funciones generadoras para mostrar que\(Y\) es Poisson.

Responder

\(E[X+Y] = \mu + v\), dónde\(v = E[Y] > 0\),\(g_X (s) = e^{\mu(s - 1)}\) y\(g_{X + Y} (s) = g_X (s) g_Y (s) = e^{(\mu + s) (s - 1)\). División por\(g_X (s)\) da\(g_Y (s) = e^{v(s - 1)}\).

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Supongamos que el par\(\{X, Y\}\) es iid, binomial (6, 0.51). Por el resultado del Ejercicio 13.4.14

\(X + Y\)es binomial. Utilice mgsum para obtener la distribución para\(Z = 2X + 4Y\). ¿\(Z\)Tiene la distribución binomial? ¿El resultado es sorprendente? Examine los primeros valores posibles para\(Z\). Escribe la función generadora para\(Z\); ¿tiene la forma para la distribución binomial?

Responder

x  = 0:6;
px = ibinom(6,0.51,x);
[Z,PZ] = mgsum(2*x,4*x,px,px);
disp([Z(1:5);PZ(1:5)]')
         0    0.0002       % Cannot be binomial, since odd values missing
    2.0000    0.0012
    4.0000    0.0043
    6.0000    0.0118
    8.0000    0.0259
    - - - - - - - -

\(g_X (s) = g_Y (s) = (0.49 + 0.51s)^6\)\(g_Z (s) = (0.49 + 0.51s^2)^6 (0.49 + 0.51s^4)^6\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Supongamos que el par\(\{X, Y\}\) es independiente, con\(X\) ~ binomio (5, 0.33) y\(Y\) ~ binomial (7, 0.47).

Dejar\(G = g(X) = 3X^2 - 2X\) y\(H = h(Y) = 2Y^2 + Y + 3\).

a. Utilice el mgsum para obtener la distribución para\(G + H\).
b. Utilizar icalc y csort para obtener la distribución\(G + H\) y comparar con el resultado de la parte (a).

Responder

X = 0:5;
Y = 0:7;
PX = ibinom(5,0.33,X);
PY = ibinom(7,0.47,Y);
G = 3*X.^2 - 2*X;
H = 2*Y.^2 + Y + 3;
[Z,PZ] = mgsum(G,H,PX,PY);
 
 
icalc
Enter row matrix of X-values  X
Enter row matrix of Y-values  Y
Enter X probabilities  PX
Enter Y probabilities  PY
 Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
M = 3*t.^2 - 2*t + 2*u.^2 + u + 3;
[z,pz] = csort(M,P);
e = max(abs(pz - PZ))  % Comparison of p values
e =  0

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Supongamos que el par\(\{X, Y\}\) es independiente, con\(X\) ~ binomio (8, 0.39) y\(Y\) ~ uniforme en {-1.3, -0.5, 1.3, 2.2, 3.5}. Let

\(U = 3X^2 - 2X + 1\)y\(V = Y^3 + 2Y - 3\)

a. Utilice mgsum para obtener la distribución para\(U + V\).
b. Utilizar icalc y csort para obtener la distribución\(U + V\) y comparar con el resultado de la parte (a).

Responder

X = 0:8;
Y = [-1.3 -0.5 1.3 2.2 3.5];
PX = ibinom(8,0.39,X);
PY = (1/5)*ones(1,5);
U  = 3*X.^2 - 2*X + 1;
V  = Y.^3 + 2*Y - 3;
[Z,PZ] = mgsum(U,V,PX,PY);
icalc
Enter row matrix of X-values  X
Enter row matrix of Y-values  Y
Enter X probabilities  PX
Enter Y probabilities  PY
 Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
M = 3*t.^2 - 2*t + 1 + u.^3 + 2*u - 3;
[z,pz] = csort(M,P);
e = max(abs(pz - PZ))
e = 0

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Si\(X\) es una variable aleatoria de valor completo no negativo, exprese la función generadora como una serie de potencias.

a. Demostrar que el\(k\) th derivado at\(s = 1\) es

\(g_X^{(k)} (1) = E[X(X - 1)(X - 2) \cdot \cdot \cdot (X - k + 1)]\)

b. use esto para mostrar el\(\text{Var} [X] = g_X''(1) + g_X'(1) - [g_X'(1)]^2\).

Responder

Dado que las series de potencia pueden diferenciarse término por término

\(g_X^{(n)} (s) = \sum_{k = 0}^{\infty} k (k - 1) \cdot (k - n + 1) p_k s^{k - n}\)para que

\(g_X^{(n)} (1) = \sum_{k = 0}^{\infty} k(k - 1) \cdot (k - n + 1) p_k = E[X(X - 1) \cdot\cdot\cdot (X - n + 1)]\)

\(\text{Var} [X] = E[X^2] - E^2[X] = E[X(X - 1)] + E[X] - E^2[X] = g_X''(1) + g_X' (1) - [g_X'(1)]^2\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

\(M_X (\cdot)\)Sea el momento que genera la función para\(X\).

a. Demostrar que\(\text{Var}[X]\) es la segunda derivada de\(e^{-s\mu} M_X(s)\) evaluada en\(s = 0\).
b. Usa este hecho para demostrar que\(X\) ~\(N(\mu, \sigma^2)\), entonces\(\text{Var} [X] = \sigma^2\).

Responder

\(f(s) = e^{-s \mu} M_X (s)\)\(f''(s) = e^{-s\mu} [-\mu M_X' (s) + \mu^2 M_X (s) + M_X''(s) - \mu M_X'(s)]\)

Establecer\(s = 0\) y usar el resultado en momentos da

\(f''(0) = -\mu^2 + \mu^2 + E[X^2] - \mu^2 = \text{Var} [X]\)

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Utilizar derivados de\(M_{M_m} (s)\) para obtener la media y varianza de la distribución binomial negativa (\(m, p\)).

Responder

Para simplificar el uso de escritura\(f(s)\) para\(M_X (S)\).

\(f(s) = \dfrac{p^m}{(1 - qe^s)^m}\)\(f'(s) = \dfrac{mp^mqe^s}{(1 - qe^s)^{m + 1}}\)\(f''(s) = \dfrac{mp^m qe^s}{1 - qe^s)^{m + 1}} + \dfrac{m(m+1) p^m q^2 e^{2s}}{1 - qe^s)^{m + 2}}\)

\(E[X] = \dfrac{mp^m q}{(1 - q)^{m + 1}} = \dfrac{mq}{p}\)\(E[X^2] = \dfrac{mq}{p} + \dfrac{m(m+1)p^mq^2}{(1-q)^{m + 2}}\)

\(\text{Var} [X] = \dfrac{mq}{p} + \dfrac{m(m + 1) q^2}{p^2} - \dfrac{m^2 q^2}{p^2} = \dfrac{mq}{p^2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

Utilice funciones de generación de momentos para mostrar que las varianzas se suman para la suma o diferencia de variables aleatorias independientes.

Responder

Para simplificar la escritura\(f(s) = M_X (s)\)\(g(s) = M_Y (s)\), configurar y\(h(s) = M_X (s) M_Y(s)\)

\(h'(s) = f'(s) g(s) + f(s) g'(s)\)\(h''(s) = f''(s) g(s) + f'(s) g'(s) + f'(s) g'(s) + f(s) g''(s)\)

Ajuste de\(s = 0\) rendimientos

\(E[X + Y] = E[X] + E[Y]\)\(E[(X + Y)^2] = E[X^2] + 2E[X]E[Y] + E[Y^2]\)\(E^2 [X + Y] = E^2[X] + 2E[X] E[Y] + E^2[Y]\)

Tomando la diferencia da\(\text{Var}[X + Y] = \text{Var} [X] + \text{Var} [Y]\). Un tratamiento similar con\(g(s)\) reemplazado por\(g(-s)\) espectáculos\(\text{Var} [X - Y] = \text{Var} [X] + \text{Var} [Y]\).

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

El par\(\{X, Y\}\) es iid\(N\) (3,5). Utilice la función de generación de momento para mostrar que\(Z = 2X - 2Y + 3\) es normal (consulte el Ejemplo 3 de "Métodos de Transformación" para obtener un resultado general).

Responder

\(M_{3X} (s) = M_X (3s) = \text{exp} (\dfrac{9 \cdot 5s^2}{2} + 3 \cdot 3s)\)\(M_{-2Y} (s) = M_Y(-2s) = \text{exp} (\dfrac{4 \cdot 5s^2}{2} - 2 \cdot 3s)\)

\(M_Z (s) = e^{3s} \text{exp} (\dfrac{(45 + 20)s^2}{2} + (9 - 6) s) = \text{exp} (\dfrac{65s^2}{2} + 6s)\)

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

Utilice el teorema del límite central para mostrar que para un tamaño de muestra lo suficientemente grande (generalmente 20 o más), el promedio de la muestra

\(A_n = \dfrac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_i\)

es aproximadamente\(N(\mu, \sigma^2/n)\) para cualquier distribución poblacional razonable que tenga valor medio\(\mu\) y varianza\(\sigma^2\).

Responder

\(E[A_n] = \dfrac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \mu = \mu\)\(\text{Var} [A_n] = \dfrac{1}{n^2} \sum_{i = 1}^{n} \sigma^2 = \dfrac{\sigma^2}{n}\)

Por el teorema del límite central,\(A_n\) es aproximadamente normal, con la media y varianza arriba.

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

Una población tiene desviación estándar aproximadamente tres. Se desea determinar el tamaño de muestra n necesario para asegurar que con probabilidad 0.95 el promedio muestral estará dentro de 0.5 del valor medio.

1. Utilizar la desigualdad de Chebyshev para estimar el tamaño muestral necesario.
2. Utilice la aproximación normal para estimar\(n\) (ver Ejemplo 1 de "Muestras y Estadísticas Aleatorias Simples “).

Responder

Desigualdad de Chevyshev:

\(P(\dfrac{|A_n - \mu|}{\sigma/\sqrt{n}} \ge \dfrac{0.5 \sqrt{n}}{3}) \le \dfrac{3^2}{0.5^2 n} \le 0.05\)implica\(n \ge 720\)

Aproximación normal: Uso de la tabla en el Ejemplo 1 de "Muestras Aleatorias Simples y Estadísticas"

\(n \ge (3/0.5)^2 3.84 = 128\)