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# 9.2: Problemas en Clases Independientes de Variables Aleatorias

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

El par$$\{X, Y\}$$ tiene la distribución conjunta (en m-file npr08_06.m):

$$X =$$[-2.3 -0.7 1.1 3.9 5.1]$$Y =$$ [1.3 2.5 4.1 5.3]

\ [P=\ left [\ begin {array} {lllll}
0.0483 & 0.0357 & 0.0420 & 0.0399 & 0.0441\\
0.0437 & 0.0323 & 0.0380 & 0.0361 & 0.0399\\
0.0713 & 0.0527 & 0.0620 & 0.0609 & 0.0551\\
0.0667 & 0.0493 & 0.0580 & ; 0.0651 & 0.0589
\ end {array}\ derecho]\]

Determinar si el par$$\{X, Y\}$$ es independiente o no.

Contestar
npr08_06
Data are in X, Y, P
itest
Enter matrix of joint probabilities  P
The pair {X,Y} is NOT independent
To see where the product rule fails, call for D
disp(D)
0     0     0     1     1
0     0     0     1     1
1     1     1     1     1
1     1     1     1     1

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

El par$$\{X, Y\}$$ tiene la distribución conjunta (en m-file npr09_02.m):

$$X =$$[-3.9 -1.7 1.5 2.8 4.1]$$Y =$$ [-2 1 2.6 5.1]

\ [P=\ left [\ begin {array} {lllll}
0.0589 & 0.0342 & 0.0304 & 0.0456 & 0.0209\\
0.0961 & 0.0556 & 0.0498 & 0.0744 & 0.0341\\
0.0682 & 0.0398 & 0.0350 & 0.0528 & 0.0242\\
0.0868 & 0.0504 & 0.0448 & ; 0.0672 & 0.0308
\ end {array}\ derecho]\]

Determinar si el par$$\{X, Y\}$$ es independiente o no.

Contestar
npr09_02
Data are in X, Y, P
itest
Enter matrix of joint probabilities  P
The pair {X,Y} is NOT independent
To see where the product rule fails, call for D
disp(D)
0     0     0     0     0
0     1     1     0     0
0     1     1     0     0
0     0     0     0     0

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

El par$$\{X, Y\}$$ tiene la distribución conjunta (en m-file npr08_07.m):

$$P(X = t, Y = u)$$

 t = -3.1 -0.5 1.2 2.4 3.7 4.9 u = 7.5 0.009 0.0396 0.0594 0.0216 0.044 0.0203 4.1 0.0495 0 0.1089 0.0528 0.0363 0.0231 -2.0 0.0405 0.132 0.0891 0.0324 0.0297 0.0189 -3.8 0.051 0.0484 0.0726 0.0132 0 0.0077

Determinar si el par$$\{X, Y\}$$ es independiente o no.

Contestar
npr08_07
Data are in X, Y, P
itest
Enter matrix of joint probabilities  P
The pair {X,Y} is NOT independent
To see where the product rule fails, call for D
disp(D)
1     1     1     1     1     1
1     1     1     1     1     1
1     1     1     1     1     1
1     1     1     1     1     1


Para las distribuciones en Ejercicios 4-10 a continuación

1. Determinar si el par es independiente o no.
2. Utilice una aproximación discreta y una prueba de independencia para verificar los resultados de la parte (a).

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

$$f_{XY} (t, u) = 1/\pi$$en el círculo con radio uno, centro en (0,0).

Contestar

No independiente por la prueba de rectángulo.

tuappr
Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [-1 1]
Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [-1 1]
Enter number of X approximation points  100
Enter number of Y approximation points  100
Enter expression for joint density  (1/pi)*(t.^2 + u.^2<=1)
Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
itest
Enter matrix of joint probabilities  P
The pair {X,Y} is NOT independent
To see where the product rule fails, call for D  % Not practical-- too large

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

$$f_{XY} (t, u) = 1/2$$en el cuadrado con vértices en (1, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 1) (ver Ejercicio 11 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “).

Contestar

No independiente, por la prueba de rectángulo.

tuappr
Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 2]
Enter number of X approximation points  200
Enter number of Y approximation points  200
Enter expression for joint density  (1/2)*(u<=min(1+t,3-t)).* ...
(u>=max(1-t,t-1))
Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
itest
Enter matrix of joint probabilities  P
The pair {X,Y} is NOT independent
To see where the product rule fails, call for D

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

$$f_{XY} (t, u) = 4t (1 - u)$$para$$0 \le t \le 1$$,$$0 \le u \le 1$$ (ver Ejercicio 12 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “).

De la solución para el Ejercicio 12 de “Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas” tenemos

$$f_X (t) = 2t$$,$$0 \le t \le 1$$,$$f_Y(u) = 2(1 - u)$$,$$0 \le u \le 1$$,$$f_{XY} = f_X f_Y$$

por lo que el par es independiente.

Contestar
tuappr
Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 1]
Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 1]
Enter number of X approximation points  100
Enter number of Y approximation points  100
Enter expression for joint density  4*t.*(1-u)
Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P

itest
Enter matrix of joint probabilities  P
The pair {X,Y} is independent


Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

$$f_{XY} = \dfrac{1}{8} (t + u)$$para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le 2$$ (ver Ejercicio 13 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “).

De la solución del Ejercicio 13 de "Problemas sobre Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas" tenemos

$$f_X (t) = f_Y(t) = \dfrac{1}{4} (t + 1)$$,$$0 \le t \le 2$$

lo$$f_{XY} \ne f_X f_Y$$ que implica que el par no es independiente.

Contestar
tuappr
Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 2]
Enter number of X approximation points  100
Enter number of Y approximation points  100
Enter expression for joint density  (1/8)*(t+u)
Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
itest
Enter matrix of joint probabilities  P
The pair {X,Y} is NOT independent
To see where the product rule fails, call for D


Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

$$f_{XY} (t, u) = 4ue^{-2t}$$para$$0 \le t, 0 \le u \le 1$$ (ver Ejercicio 14 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “).

De la solución para el Ejercicio 14 de "Problemas sobre Vectores Aleatorios y Distribución Conjunta" tenemos

$$f_X (t) = 2e^{-2t}$$,$$0 \le t$$,$$f_Y(u) = 2u$$,$$0 \le u \le 1$$

de manera que$$f_{XY} = f_X f_Y$$ y el par es independiente.

Contestar
tuappr
Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 5]
Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 1]
Enter number of X approximation points  500
Enter number of Y approximation points  100
Enter expression for joint density  4*u.*exp(-2*t)
Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
itest
Enter matrix of joint probabilities  P
The pair {X,Y} is independent       % Product rule holds to within 10^{-9}


Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

$$f_{XY} (t, u) = 12t^2 u$$en el paralelogramo con vértices (-1, 0), (0, 0), (1, 1), (0, 1)

(ver Ejercicio 16 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “).

Contestar

No independiente por la prueba de rectángulo.

tuappr
Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [-1 1]
Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 1]
Enter number of X approximation points  200
Enter number of Y approximation points  100
Enter expression for joint density  12*t.^2.*u.*(u<=min(t+1,1)).* ...
(u>=max(0,t))
Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
itest
Enter matrix of joint probabilities  P
The pair {X,Y} is NOT independent
To see where the product rule fails, call for D

Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

$$f_{XY} = \dfrac{24}{11}tu$$para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{min} \{1, 2-t\}$$ (ver Ejercicio 17 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “).

Contestar

Por la prueba de rectángulo, el par no es independiente.

tuappr
Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 1]
Enter number of X approximation points  200
Enter number of Y approximation points  100
Enter expression for joint density  (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t))
Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
itest
Enter matrix of joint probabilities  P
The pair {X,Y} is NOT independent
To see where the product rule fails, call for D

Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Dos empresas de software, MicroWare y BusiCorp, están preparando un nuevo paquete de negocios a tiempo para una feria de informática 180 días en el futuro. Trabajan de manera independiente. MicroWare ha anticipado el tiempo de finalización, en días, exponencial (1/150). BusiCorp tiene tiempo de finalización, en días, exponencial (1/130). ¿Cuál es la probabilidad de que ambos se completen a tiempo; que al menos uno se complete a tiempo; que ninguno se complete a tiempo?

Contestar
p1 = 1 - exp(-180/150)
p1 =  0.6988
p2 = 1 - exp(-180/130)
p2 =  0.7496
Pboth = p1*p2
Pboth =  0.5238
Poneormore = 1 - (1 - p1)*(1 - p2) % 1 - Pneither
Poneormore =  0.9246
Pneither = (1 - p1)*(1 - p2)
Pneither =    0.0754

Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Ocho unidades similares se ponen en funcionamiento en un momento dado. El tiempo hasta el fracaso (en horas) de cada unidad es exponencial (1/750). Si las unidades fallan independientemente, ¿cuál es la probabilidad de que cinco o más unidades estén operando al final de las 500 horas?

Contestar
p = exp(-500/750);  % Probability any one will survive
P = cbinom(8,p,5)   % Probability five or more will survive
P =  0.3930

Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

La ubicación de diez puntos a lo largo de una línea puede considerarse iid variables aleatorias con distribución simétrica triangular en [1,3]. ¿Cuál es la probabilidad de que tres o más se encuentren dentro de la distancia 1/2 del punto$$t = 2$$?

Contestar

Geométricamente$$p = 3/4$$,, de manera que P = cbinom (10, p,3) = 0.9996.

Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Una exhibición navideña tiene 200 luces. Los tiempos hasta el fracaso son iid, exponenciales (1/10000). La pantalla está encendida continuamente durante 750 horas (aproximadamente un mes). Determinar la probabilidad de que el número de luces que sobreviven a todo el periodo sea de al menos 175, 180, 185, 190.

Contestar
p = exp(-750/10000)
p =  0.9277
k = 175:5:190;
P = cbinom(200,p,k);
disp([k;P]')
175.0000    0.9973
180.0000    0.9449
185.0000    0.6263
190.0000    0.1381

Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Un módulo crítico en un servidor de red tiene tiempo de falla (en horas de tiempo de máquina) exponencial (1/3000). La máquina opera continuamente, excepto por breves tiempos de mantenimiento o reparación. El módulo se reemplaza rutinariamente cada 30 días (720 horas), a menos que ocurra una falla. Si las unidades sucesivas fallan independientemente, ¿cuál es la probabilidad de que no haya averías debido al módulo durante un año?

Contestar
p = exp(-720/3000)
p = 0.7866     % Probability any unit survives
P = p^12    % Probability all twelve survive (assuming 12 periods)
P = 0.056

Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

Joan está tratando de decidir cuál de las dos oportunidades de venta tomar.

• En la primera, realiza tres llamadas independientes. Los pagos son $570, 525 y 465 dólares, con probabilidades respectivas de 0.57, 0.41 y 0.35. • En la segunda, realiza ocho llamadas independientes, con probabilidad de éxito en cada llamada$$p =$$ 0.57. Ella se da cuenta de$150 de ganancia por cada venta exitosa.

$$X$$Sea la ganancia neta en la primera alternativa y$$Y$$ sea la ganancia neta en la segunda. Supongamos que el par$$\{X, Y\}$$ es independiente.

1. ¿Qué alternativa ofrece la máxima ganancia posible?
2. Compare las probabilidades en los dos esquemas de que las ventas totales sean de al menos $600,$900, $1000,$1100.
3. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo supere al primero, es decir, qué es$$P(Y > X)$$?
Contestar

$$X = 570 I_A + 525 I_B + 465I_C$$con$$[P(A) P(B) P(C)]$$ = [0.57 0.41 0.35]. $$Y = 150 S$$. donde$$S~$$ binomial (8, 0.57).

c = [570 525 465 0];
pm = minprob([0.57 0.41 0.35]);
canonic                              % Distribution for X
Enter row vector of coefficients  c
Enter row vector of minterm probabilities  pm
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
Y = 150*[0:8];                       % Distribution for Y
PY = ibinom(8,0.57,0:8);
icalc                                % Joint distribution
Enter row matrix of X-values  X
Enter row matrix of Y-values  Y
Enter X probabilities  PX
Enter Y probabilities  PY
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
xmax = max(X)
xmax =   1560
ymax = max(Y)
ymax =   1200
k = [600 900 1000 1100];
px = zeros(1,4);

for i = 1:4
px(i) = (X>=k(i))*PX';
end
py = zeros(1,4);
for i = 1:4
py(i) = (Y>=k(i))*PY';
end
disp([px;py]')
0.4131    0.7765
0.4131    0.2560
0.3514    0.0784
0.0818    0.0111
M = u > t;
PM = total(M.*P)
PM = 0.5081          % P(Y>X)

Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

Margaret considera cinco compras en los montos 5, 17, 21, 8, 15 dólares con probabilidades respectivas 0.37, 0.22, 0.38, 0.81, 0.63. Anne contempla seis compras en los montos 8, 15, 12, 18, 15, 12 dólares. con probabilidades respectivas 0.77, 0.52, 0.23, 0.41, 0.83, 0.58. Supongamos que las once compras posibles forman una clase independiente.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que Anne gaste al menos el doble que Margaret?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que Anne gaste al menos $30 más que Margaret? Contestar cx = [5 17 21 8 15 0]; pmx = minprob(0.01*[37 22 38 81 63]); cy = [8 15 12 18 15 12 0]; pmy = minprob(0.01*[77 52 23 41 83 58]); [X,PX] = canonicf(cx,pmx); [Y,PY] = canonicf(cy,pmy); icalc Enter row matrix of X-values X Enter row matrix of Y-values Y Enter X probabilities PX Enter Y probabilities PY Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P M1 = u >= 2*t; PM1 = total(M1.*P) PM1 = 0.3448 M2 = u - t >=30; PM2 = total(M2.*P) PM2 = 0.2431 Ejercicio$$\PageIndex{18}$$ James está tratando de decidir cuál de las dos oportunidades de venta tomar. • En la primera, realiza tres llamadas independientes. Los pagos son$310, $380 y$350, con probabilidades respectivas de 0.35, 0.41 y 0.57.
• En la segunda, realiza ocho llamadas independientes, con probabilidad de éxito en cada llamada p =0.57. Se da cuenta de 100 dólares de ganancia por cada venta exitosa.

$$X$$Sea la ganancia neta en la primera alternativa y$$Y$$ sea la ganancia neta en la segunda. Supongamos que el par$$\{X, Y\}$$ es independiente.

• ¿Qué alternativa ofrece la máxima ganancia posible?
• ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo supere al primero, es decir, qué es$$P(Y > X)$$?
• Compare las probabilidades en los dos esquemas de que las ventas totales sean de al menos $600,$700, $750. Contestar cx = [310 380 350 0]; pmx = minprob(0.01*[35 41 57]); Y = 100*[0:8]; PY = ibinom(8,0.57,0:8); canonic Enter row vector of coefficients cx Enter row vector of minterm probabilities pmx Use row matrices X and PX for calculations Call for XDBN to view the distribution icalc Enter row matrix of X-values X Enter row matrix of Y-values Y Enter X probabilities PX Enter Y probabilities PY Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P xmax = max(X) xmax = 1040 ymax = max(Y) ymax = 800 PYgX = total((u>t).*P) PYgX = 0.5081 k = [600 700 750]; px = zeros(1,3); py = zeros(1,3); for i = 1:3 px(i) = (X>=k(i))*PX'; end for i = 1:3 py(i) = (Y>=k(i))*PY'; end disp([px;py]') 0.4131 0.2560 0.2337 0.0784 0.0818 0.0111 Ejercicio$$\PageIndex{19}$$ Un Colegio residencial planea recaudar dinero vendiendo “chances” en un tablero. Hay dos juegos:  Juego 1: Paga$5 para jugar; gana $20 con probabilidad$$p_1$$ =0.05 (uno de cada veinte) Juego 2: Paga$10 para jugar; gana $30 con probabilidad$$p_2$$ =0.2 (uno de cada cinco) Treinta oportunidades se venden en el Juego 1 y cincuenta oportunidades se venden en el Juego 2. Si$$X$$ y$$Y$$ son las ganancias en los respectivos juegos, entonces $$X = 30 \cdot 5 - 20N_1$$y$$Y = 50 \cdot 10 - 30 N_2$$ donde$$N_1, N_2$$ están los números de ganadores en los respectivos juegos. Es razonable suponer$$N_1 ~$$ binomio (30, 0.05) y$$N_2~$$ binomial (50, 0.2). Es razonable suponer que el par$$\{N_1, N_2\}$$ es independiente, así que eso$$\{X, Y\}$$ es independiente. Determinar las distribuciones marginales para$$X$$ y$$Y$$ luego usar icalc para obtener la distribución conjunta y las matrices de cálculo. El beneficio total para el Colegio es$$Z = X + Y$$. ¿Cuál es la probabilidad de que el Colegio pierda dinero? ¿Cuál es la probabilidad de que la ganancia sea de$400 o más, menos de $200, entre$200 y $450? Contestar N1 = 0:30; PN1 = ibinom(30,0.05,0:30); x = 150 - 20*N1; [X,PX] = csort(x,PN1); N2 = 0:50; PN2 = ibinom(50,0.2,0:50); y = 500 - 30*N2; [Y,PY] = csort(y,PN2); icalc Enter row matrix of X-values X Enter row matrix of Y-values Y Enter X probabilities PX Enter Y probabilities PY Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P G = t + u; Mlose = G < 0; Mm400 = G >= 400; Ml200 = G < 200; M200_450 = (G>=200)&(G<=450); Plose = total(Mlose.*P) Plose = 3.5249e-04 Pm400 = total(Mm400.*P) Pm400 = 0.1957 Pl200 = total(Ml200.*P) Pl200 = 0.0828 P200_450 = total(M200_450.*P) P200_450 = 0.8636 Ejercicio$$\PageIndex{20}$$ La clase$$\{X, Y, Z\}$$ de variables aleatorias es iid (independiente, distribuida idénticamente) con distribución común $$X =$$[-5 -1 3 4 7]$$PX =$$ 0.01 * [15 20 30 25 10] Vamos$$W = 3X - 4Y + 2Z$$. Determinar la distribución para$$W$$ y a partir de esto determinar$$P(W > 0)$$ y$$P(-20 \le W \le 10)$$. Haga esto con icalc, luego repita con icalc3 y compare los resultados. Contestar Dado que icalc usa$$X$$ y$$PX$$ en su salida, evitamos un problema de cambio de nombre al usar$$x$$ y$$px$$ para vectores de datos$$X$$ y$$PX$$. x = [-5 -1 3 4 7]; px = 0.01*[15 20 30 25 10]; icalc Enter row matrix of X-values 3*x Enter row matrix of Y-values -4*x Enter X probabilities px Enter Y probabilities px Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P a = t + u; [V,PV] = csort(a,P); icalc Enter row matrix of X-values V Enter row matrix of Y-values 2*x Enter X probabilities PV Enter Y probabilities px Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P b = t + u; [W,PW] = csort(b,P); P1 = (W>0)*PW' P1 = 0.5300 P2 = ((-20<=W)&(W<=10))*PW' P2 = 0.5514 icalc3 % Alternate using icalc3 Enter row matrix of X-values x Enter row matrix of Y-values x Enter row matrix of Z-values x Enter X probabilities px Enter Y probabilities px Enter Z probabilities px Use array operations on matrices X, Y, Z, PX, PY, PZ, t, u, v, and P a = 3*t - 4*u + 2*v; [W,PW] = csort(a,P); P1 = (W>0)*PW' P1 = 0.5300 P2 = ((-20<=W)&(W<=10))*PW' P2 = 0.5514 Ejercicio$$\PageIndex{21}$$ La clase$$\{A, B, C, D, E, F\}$$ es independiente; las probabilidades respectivas para estos eventos son$$\{0.46, 0.27, 0.33, 0.47, 0.37, 0.41\}$$. Considere las variables aleatorias simples $$X = 3I_A - 9I_B + 4I_C$$,$$Y = -2I_D + 6I_E + 2I_F - 3$$, y$$Z = 2X - 3Y$$ Determinar$$P(Y > X)$$,$$P(Z > 0)$$,$$P(5 \le Z \le 25)$$. Contestar cx = [3 -9 4 0]; pmx = minprob(0.01*[42 27 33]); cy = [-2 6 2 -3]; pmy = minprob(0.01*[47 37 41]); [X,PX] = canonicf(cx,pmx); [Y,PY] = canonicf(cy,pmy); icalc Enter row matrix of X-values X Enter row matrix of Y-values Y Enter X probabilities PX Enter Y probabilities PY Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P G = 2*t - 3*u; [Z,PZ] = csort(G,P); PYgX = total((u>t).*P) PYgX = 0.3752 PZpos = (Z>0)*PZ' PZpos = 0.5654 P5Z25 = ((5<=Z)&(Z<=25))*PZ' P5Z25 = 0.4745 Ejercicio$$\PageIndex{22}$$ Dos jugadores, Ronald y Mike, lanzan un par de dados 30 veces cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de que Mike arroje más “sietes” que Ronald? Contestar P = (ibinom (30,1/6, 0:29)) * (cbinom (30,1/6, 1:30)) '= 0.4307 Ejercicio$$\PageIndex{23}$$ Una clase tiene quince niños y quince niñas. Se emparejan y cada uno lanza una moneda 20 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos ocho chicas arrojen más cabezas que sus parejas? Contestar pg = (ibinom(20,1/2,0:19))*(cbinom(20,1/2,1:20))' pg = 0.4373 % Probability each girl throws more P = cbinom(15,pg,8) P = 0.3100 % Probability eight or more girls throw more Ejercicio$$\PageIndex{24}$$ Glenn realiza cinco llamadas de ventas, con probabilidades 0.37, 0.52, 0.48, 0.71, 0.63, de éxito en las respectivas llamadas. Margaret realiza cuatro llamadas de ventas con probabilidades 0.77, 0.82, 0.75, 0.91, de éxito en las respectivas llamadas. Supongamos que los nueve eventos forman una clase independiente. Si Glenn obtiene una ganancia de 18.00 dólares por cada venta y Margaret gana 20.00 dólares por cada venta, ¿cuál es la probabilidad de que la ganancia de Margaret sea al menos$10.00 más que la de Glenn?

Contestar
cg = [18*ones(1,5) 0];
cm = [20*ones(1,4) 0];
pmg = minprob(0.01*[37 52 48 71 63]);
pmm = minprob(0.01*[77 82 75 91]);
[G,PG] = canonicf(cg,pmg);
[M,PM] = canonicf(cm,pmm);
icalc
Enter row matrix of X-values  G
Enter row matrix of Y-values  M
Enter X probabilities  PG
Enter Y probabilities  PM
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
H = u-t>=10;
p1 = total(H.*P)
p1 =  0.5197

Ejercicio$$\PageIndex{25}$$

Mike y Harry tienen un concurso de tiro de basquetbol.

• Mike dispara 10 tiros libres ordinarios, valen dos puntos cada uno, con probabilidad 0.75 de éxito en cada disparo.
• Harry dispara 12 tiros de “tres puntos”, con probabilidad 0.40 de éxito en cada disparo.

$$X, Y$$Sea el número de puntos anotados por Mike y Harry, respectivamente. Determinar$$P(X \ge 15)$$, y$$P(Y \ge 15)$$,$$P(X \ge Y)$$.

Responder
X = 2*[0:10];
PX = ibinom(10,0.75,0:10);
Y = 3*[0:12];
PY = ibinom(12,0.40,0:12);
icalc
Enter row matrix of X-values  X
Enter row matrix of Y-values  Y
Enter X probabilities  PX
Enter Y probabilities  PY
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
PX15 = (X>=15)*PX'
PX15 = 0.5256
PY15 = (Y>=15)*PY'
PY15 = 0.5618
G = t>=u;
PG = total(G.*P)
PG =   0.5811

Ejercicio$$\PageIndex{26}$$

Martha tiene la opción de dos juegos.

 Juego 1: Paga diez dólares por cada “jugada”. Si gana, recibe 20 dólares, por una ganancia neta de 10 dólares en la jugada; de lo contrario, pierde sus 10 dólares. La probabilidad de una victoria es de 1/2, por lo que el juego es “justo”. Juego 2: Paga cinco dólares para jugar; recibe $15 por una victoria. La probabilidad de ganar en cualquier jugada es de 1/3. Martha tiene$100 para apostar. Ella está tratando de decidir si jugar al Juego 1 diez veces o al Juego 2 veinte veces. Dejar$$W1$$ y$$W2$$ ser las respectivas ganancias netas (pago menos cuota para jugar).

• Determinar$$P(W2 \ge W1)$$
• Compara los dos juegos más calculando$$P(W1 > 0)$$ y$$P(W2 > 0)$$

¿Qué juego parece preferible?

Responder
W1 = 20*[0:10] - 100;
PW1 = ibinom(10,1/2,0:10);
W2 = 15*[0:20] - 100;
PW2 = ibinom(20,1/3,0:20);
P1pos = (W1>0)*PW1'
P1pos = 0.3770
P2pos = (W2>0)*PW2'
P2pos = 0.5207
icalc
Enter row matrix of X-values  W1
Enter row matrix of Y-values  W2
Enter X probabilities  PW1
Enter Y probabilities  PW2
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
G = u >= t;
PG = total(G.*P)
PG =  0.5182

Ejercicio$$\PageIndex{27}$$

Jim y Bill del equipo masculino de basquetbol desafían a las jugadoras Mary y Ellen a un concurso de tiros libres. Cada uno lleva cinco tiros libres. Hacer los supuestos de independencia habituales. Jim, Bill, Mary y Ellen tienen las probabilidades respectivas de$$p =$$ 0.82, 0.87, 0.80 y 0.85 de hacer que cada disparo sea juzgado. ¿Cuál es la probabilidad de que Mary y Ellen hagan un número total de tiros libres al menos tan grande como el total hecho por los chicos?

Responder
x = 0:5;
PJ = ibinom(5,0.82,x);
PB = ibinom(5,0.87,x);
PM = ibinom(5,0.80,x);
PE = ibinom(5,0.85,x);

icalc
Enter row matrix of X-values  x
Enter row matrix of Y-values  x
Enter X probabilities  PJ
Enter Y probabilities  PB
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
H = t+u;
[Tm,Pm] = csort(H,P);
icalc
Enter row matrix of X-values  x
Enter row matrix of Y-values  x
Enter X probabilities  PM
Enter Y probabilities  PE
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
G = t+u;
[Tw,Pw] = csort(G,P);
icalc
Enter row matrix of X-values  Tm
Enter row matrix of Y-values  Tw
Enter X probabilities  Pm
Enter Y probabilities  Pw
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
Gw = u>=t;
PGw = total(Gw.*P)
PGw = 0.5746

icalc4               % Alternate using icalc4
Enter row matrix of X-values  x
Enter row matrix of Y-values  x
Enter row matrix of Z-values  x
Enter row matrix of W-values  x
Enter X probabilities  PJ
Enter Y probabilities  PB
Enter Z probabilities  PM
Enter W probabilities  PE
Use array operations on matrices X, Y, Z,W
PX, PY, PZ, PW t, u, v, w, and P
H = v+w >= t+u;
PH = total(H.*P)
PH =  0.5746


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