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# 10.4: Problemas en las funciones de variables aleatorias

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Supongamos que$$X$$ es una variable aleatoria no negativa, absolutamente continua. Vamos$$Z = g(X) = Ce^{-aX}$$, donde$$a > 0$$,$$C > 0$$. Entonces$$0 < Z \le C$$. Utilice las propiedades de la función logarítmica exponencial y natural para mostrar que

$$F_Z (v) = 1 - F_X (- \dfrac{\text{In } (v/C)}{a})$$para$$0 < v \le C$$

Contestar

$$Z = Ce^{-aX} \le v$$iff$$e^{-aX} \le v/C$$ iff$$-aX \le \text{In } (v/C)$$ iff$$X \ge - \text{In } (v/C)/a$$, para que

$$F_Z(v) = P(Z \le v) = P(X \ge -\text{In } (v/C)/a) = 1 - F_X (-\dfrac{\text{In } (v/C)}{a})$$

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Usa el resultado del Ejercicio 10.4.1 para mostrar que si$$X$$ ~ exponencial$$(\lambda)$$, entonces

$$F_Z (v) = (\dfrac{v}{C})^{\lambda/a}$$$$0 < v \le C$$

Contestar

$$F_Z (v) = 1 - [1- exp (-\dfrac{\lambda}{a} \cdot \text{In } (v/C))] = (\dfrac{v}{C})^{\lambda/a}$$

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Valor presente de costos futuros. Supongamos que el dinero puede invertirse a una tasa anual a, agravada continuamente. Entonces un dólar en mano ahora, tiene un valor$$e^{ax}$$ al final de los$$x$$ años. De ahí que un dólar gastado$$x$$ años en el futuro tenga un valor presente e$$^{-ax}$$. Supongamos que un dispositivo puesto en funcionamiento tiene tiempo para fallar (en años)$$X$$ ~ exponencial ($$\lambda$$). Si el costo del reemplazo al fallar es de$$C$$ dólares, entonces el valor presente de la reposición es$$Z = Ce^{-aX}$$. Supongamos$$\lambda = 1/10$$$$a = 0.07$$,, y$$C =$$ $1000. 1. Utilizar el resultado del Ejercicio 10.4.2. para determinar la probabilidad$$Z \le 700, 500, 200$$. 2. Utilice una aproximación discreta para la densidad exponencial para aproximar las probabilidades en la parte (a). Truncar$$X$$ a 1000 y usar 10,000 puntos de aproximación. Contestar $$P(Z \le v) = (\dfrac{v}{1000})^{10/7}$$ v = [700 500 200]; P = (v/1000).^(10/7) P = 0.6008 0.3715 0.1003 tappr Enter matrix [a b] of x-range endpoints [0 1000] Enter number of x approximation points 10000 Enter density as a function of t 0.1*exp(-t/10) Use row matrices X and PX as in the simple case G = 1000*exp(-0.07*t); PM1 = (G<=700)*PX' PM1 = 0.6005 PM2 = (G<=500)*PX' PM2 = 0.3716 PM3 = (G<=200)*PX' PM3 = 0.1003 Ejercicio$$\PageIndex{4}$$ Almacenado óptimo de mercancía. Un comerciante está planeando para la temporada navideña. Tiene la intención de abastecer m unidades de un determinado artículo a un costo de c por unidad. La experiencia indica que la demanda puede ser representada por una variable aleatoria$$D$$ ~ Poisson ($$\mu$$). Si las unidades permanecen en stock al final de la temporada, podrán ser devueltas con recuperación de$$r$$ por unidad. Si la demanda excede el número originalmente solicitado, se pueden pedir unidades adicionales a un costo de s cada una. Las unidades se venden a un precio$$p$$ por unidad. Si$$Z = g(D)$$ es la ganancia de las ventas, entonces • Para$$t \le m$$,$$g(t) = (p - c) t- (c - r)(m - t) = (p - r)t + (r - c) m$$ • Para$$t > m$$,$$g(t) = (p - c)m + (t - m) (p - s) = (p - s) t + (s - c)m$$ Vamos$$M = (-\infty, m]$$. Entonces $$g(t) = I_M(t) [(p - r) t + (r - c)m] + I_M(t) [(p - s) t + (s - c) m]$$ Supongamos$$\mu = 50$$$$m = 50$$$$c = 30$$$$p = 50$$$$r = 20$$$$s = 40$$. Aproximar la variable aleatoria de Poisson$$D$$ truncando a 100. Determinar$$P(500 \le Z \le 1100)$$. Contestar mu = 50; D = 0:100; c = 30; p = 50; r = 20; s = 40; m = 50; PD = ipoisson(mu,D); G = (p - s)*D + (s - c)*m +(s - r)*(D - m).*(D <= m); M = (500<=G)&(G<=1100); PM = M*PD' PM = 0.9209 [Z,PZ] = csort(G,PD); % Alternate: use dbn for Z m = (500<=Z)&(Z<=1100); pm = m*PZ' pm = 0.9209  Ejercicio$$\PageIndex{5}$$ (Ver Ejemplo 2 de “Funciones de una Variable Aleatoria”) El comité cultural de una organización estudiantil ha organizado una oferta especial para entradas a un concierto. El acuerdo es que la organización comprará diez boletos a$20 cada uno (independientemente del número de compradores individuales). Los boletos adicionales están disponibles según el siguiente horario:

• 11-20, $18 cada uno • 21-30,$16 cada uno
• 31-50, $15 cada uno • 51-100,$13 cada uno

Si el número de compradores es una variable aleatoria$$X$$, el costo total (en dólares) es una cantidad aleatoria$$Z = g(X)$$ descrita por

$$g(X) = 200 + 18 I_{M1} (X) (X - 10) + (16 - 18) I_{M2} (X) (X - 20) +$$

$$(15 - 16) I_{M_3} (X) (X - 30) + (13 - 15) I_{M4} (X) (X - 50)$$

donde$$M1 = [10, \infty)$$$$M2 = [20, \infty)$$,$$M3 = [30, \infty)$$,$$M4 = [50, \infty)$$

Supongamos$$X$$ ~ Poisson (75). Aproximar la distribución de Poisson truncando a 150. Determinar$$P(Z \ge 1000)$$,$$P(Z \ge 1300)$$ y$$P(900 \le Z \le 1400)$$.

Contestar
X = 0:150;
PX = ipoisson(75,X);
G = 200 + 18*(X - 10).*(X>=10) + (16 - 18)*(X - 20).*(X>=20) + ...
(15 - 16)*(X- 30).*(X>=30) + (13 - 15)*(X - 50).*(X>=50);
P1 = (G>=1000)*PX'
P1 =  0.9288
P2 = (G>=1300)*PX'
P2 =  0.1142
P3 = ((900<=G)&(G<=1400))*PX'
P3 =  0.9742
[Z,PZ] = csort(G,PX);         % Alternate: use dbn for Z
p1 = (Z>=1000)*PZ'
p1 =  0.9288

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

(Ver Ejercicio 6 de “Problemas en vectores aleatorios y distribuciones conjuntas”, y Ejercicio 1 de “Problemas en clases independientes de variables aleatorias”) El par$$\{X, Y\}$$ tiene la distribución conjunta

(en m-file npr08_06.m):

$$X =$$[-2.3 -0.7 1.1 3.9 5.1]$$Y =$$ [1.3 2.5 4.1 5.3]

$$P = \begin{bmatrix} 0.0483 & 0.0357 & 0.0420 & 0.0399 & 0.0441 \\ 0.0437 & 0.0323 & 0.0380 & 0.0361 & 0.0399 \\ 0.0713 & 0.0527 & 0.0620 & 0.0609 & 0.0551 \\ 0.0667 & 0.0493 & 0.0580 & 0.0651 & 0.0589 \end{bmatrix}$$

Determinar$$P(\text{max }\{X, Y\} \le 4)$$. Vamos$$Z = 3X^3 + 3X^2 Y - Y^3$$.

Determinar$$P(Z< 0)$$ y$$P(-5 < Z \le 300)$$.

Contestar
npr08_06
Data are in X, Y, P
jcalc
Enter JOINT PROBABILITIES (as on the plane)  P
Enter row matrix of VALUES of X  X
Enter row matrix of VALUES of Y  Y
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
P1 = total((max(t,u)<=4).*P)
P1 =  0.4860
P2 = total((abs(t-u)>3).*P)
P2 =  0.4516
G = 3*t.^3 + 3*t.^2.*u - u.^3;
P3 = total((G<0).*P)
P3 =  0.5420
P4 = total(((-5<G)&(G<=300)).*P)
P4 =  0.3713
[Z,PZ] = csort(G,P);          % Alternate: use dbn for Z
p4 = ((-5<Z)&(Z<=300))*PZ'
p4 =  0.3713

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

(Consulte el Ejercicio 2 de “Problemas en Clases Independientes de Variables Aleatorias”) El par$$\{X, Y\}$$ tiene la distribución conjunta (en m-file npr09_02.m):

$$X =$$[-3.9 -1.7 1.5 2 8 4.1]$$Y =$$ [-2 1 2.6 5.1]

$$P = \begin{bmatrix} 0.0589 & 0.0342 & 0.0304 & 0.0456 & 0.0209 \\ 0.0962 & 0.056 & 0.0498 & 0.0744 & 0.0341 \\ 0.0682 & 0.0398 & 0.0350 & 0.0528 & 0.0242 \\ 0.0868 & 0.0504 & 0.0448 & 0.0672 & 0.0308 \end{bmatrix}$$

Determinar$$P(\{X + Y \ge 5\} \cup \{Y \le 2\})$$,$$P(X^2 + Y^2 \le 10)$$.

Contestar
npr09_02
Data are in X, Y, P
jcalc
Enter JOINT PROBABILITIES (as on the plane)  P
Enter row matrix of VALUES of X  X
Enter row matrix of VALUES of Y  Y
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
M1 = (t+u>=5)|(u<=2);
P1 = total(M1.*P)
P1 =  0.7054
M2 = t.^2 + u.^2 <= 10;
P2 = total(M2.*P)
P2 =  0.3282

Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

(Ver Exercsie 7 de “Problemas en vectores aleatorios y distribuciones conjuntas”, y Ejercicio 3 de “Problemas en clases independientes de variables aleatorias”) El par tiene la distribución conjunta

(en m-file npr08_07.m):

npr08_07
Data are in X, Y, P
jcalc
Enter JOINT PROBABILITIES (as on the plane)  P
Enter row matrix of VALUES of X  X
Enter row matrix of VALUES of Y  Y
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
M1 = t.^2 - 3*t <=0;
P1 = total(M1.*P)
P1 =  0.4500
M2 = t.^3 - 3*abs(u) < 3;
P2 = total(M2.*P)
P2 =  0.7876
G = 3*t.^2 + 2*t.*u - u.^2;  % Determine g(X,Y)
[Z,PZ] = csort(G,P);         % Obtain dbn for Z = g(X,Y)
ddbn                         % Call for plotting m-procedure
Enter row matrix of VALUES  Z
Enter row matrix of PROBABILITIES  PZ   % Plot not reproduced here
H = t.*(t+u<=4) + 2*u.*(t+u>4);
[W,PW] = csort(H,P);
ddbn
Enter row matrix of VALUES  W
Enter row matrix of PROBABILITIES  PW   % Plot not reproduced here
tuappr
Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 3]
Enter number of X approximation points  200
Enter number of Y approximation points  300
Enter expression for joint density  (3/88)*(2*t + 3*u.^2).*(u<=1+t)
Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
G = 4*t.*(t<=1) + (t+u).*(t>1);
[Z,PZ] = csort(G,P);
PZ2 = (Z<=2)*PZ'
PZ2 =  0.1010                       % Theoretical = 563/5632 = 0.1000
tuappr
Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 1]
Enter number of X approximation points  400
Enter number of Y approximation points  200
Enter expression for joint density  (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t))
Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
G = 0.5*t.*(u>t) + u.^2.*(u<t);
[Z,PZ] = csort(G,P);
pp = (Z<=1/4)*PZ'
pp =  0.4844                        % Theoretical = 85/176 = 0.4830
tuappr
Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 2]
Enter number of X approximation points  300
Enter number of Y approximation points  300
Enter expression for joint density  (3/23)*(t + 2*u).*(u<=max(2-t,t))
Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
M = max(t,u) <= 1;
G = M.*(t + u) + (1 - M)*2.*u;
p = total((G<=1).*P)
p =  0.1960                         % Theoretical = 9/46 = 0.1957
tuappr
Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 2]
Enter number of X approximation points  300
Enter number of Y approximation points  300
Enter expression for joint density  (12/179)*(3*t.^2 + u).*(u<=min(2,3-t))
Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
M = (t<=1)&(u>=1);
Z = M.*(t + u) + (1 - M)*2.*u.^2;
G = M.*(t + u) + (1 - M)*2.*u.^2;
p = total((G<=2).*P)
p =  0.6662                          % Theoretical = 119/179 = 0.6648
tuappr
Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 2]
Enter number of X approximation points  400
Enter number of Y approximation points  400
Enter expression for joint density  (12/227)*(3*t+2*t.*u).*(u<=min(1+t,2))
Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
Q = (u<=1).*(t<=1) + (t>1).*(u>=2-t).*(u<=t);
P = total(Q.*P)
P =  0.5478                        % Theoretical = 124/227 = 0.5463
% file npr10_16.m  Data for Exercise 16.
cx = [-2 1 3 0];
pmx = 0.001*[255  25 375  45 108  12 162  18];
cy = [1 3 1 -3];
pmy = minprob(0.01*[32 56 40]);
Z = [-1.3 1.2 2.7 3.4 5.8];
PZ = 0.01*[12 24 43 13  8];
disp('Data are in cx, pmx, cy, pmy, Z, PZ')
npr10_16                % Call for data
Data are in cx, pmx, cy, pmy, Z, PZ
[X,PX] = canonicf(cx,pmx);
[Y,PY] = canonicf(cy,pmy);
icalc3
Enter row matrix of X-values  X
Enter row matrix of Y-values  Y
Enter row matrix of Z-values  Z
Enter X probabilities  PX
Enter Y probabilities  PY
Enter Z probabilities  PZ
Use array operations on matrices X, Y, Z,
PX, PY, PZ, t, u, v, and P
M = t.^2 + 3*t.*u.^2 > 3*v;
PM = total(M.*P)
PM =  0.3587
X = [-3.1 -0.5 1.2 2.4 3.7 4.9];
PX = 0.01*[15 22 33 12 11  7];
ddbn
Enter row matrix of VALUES  X
Enter row matrix of PROBABILITIES  PX  % Plot not reproduced here
dquanplot
Enter VALUES for X  X
Enter PROBABILITIES for X  PX          % Plot not reproduced here
rand('seed',0)                      % Reset random number generator
dsample                             % for comparison purposes
Enter row matrix of VALUES  X
Enter row matrix of PROBABILITIES  PX
Sample size n  10000
Value      Prob    Rel freq
-3.1000    0.1500    0.1490
-0.5000    0.2200    0.2164
1.2000    0.3300    0.3340
2.4000    0.1200    0.1184
3.7000    0.1100    0.1070
4.9000    0.0700    0.0752
Sample average ex = 0.8792
Population mean E[X] = 0.859
Sample variance vx = 5.146
Population variance Var[X] = 5.112


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