1.9: Espacios topológicos

\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\)\(\newcommand{\D}{\mathbb{D}}\)\(\newcommand{\diam}{\text{diam}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)\(\newcommand{\cl}{\text{cl}}\)\(\newcommand{\int}{\text{int}}\)

La topología es una de las ramas principales de las matemáticas, junto con otras ramas como el álgebra (en el sentido amplio de las estructuras algebraicas) y el análisis. La topología trata de conceptos espaciales que involucran distancia, cercanía, separación, convergencia y continuidad. No hace falta decir que se han escrito series enteras de libros sobre el tema. Nuestro objetivo en esta sección y en la siguiente es simplemente revisar las definiciones y conceptos básicos de topología que necesitaremos para nuestro estudio de probabilidad y procesos estocásticos. Es posible que desee consultar esta sección según sea necesario.

Teoría Básica

Definiciones

Un espacio topológico consiste en un conjunto no vacío\( S \) y una colección\( \mathscr{S} \) de subconjuntos\( S \) que satisfacen las siguientes propiedades:

1. \( S \in \mathscr{S} \)y\( \emptyset \in \mathscr{S} \)
2. Si\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{S} \) entonces\( \bigcup \mathscr{A} \in \mathscr{S} \)
3. Si\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{S} \) y\( \mathscr{A} \) es finito, entonces\( \bigcap \mathscr{A} \in \mathscr{S} \)

Si\( A \in \mathscr{S} \), entonces\( A \) se dice que está abierto y\( A^c \) se dice que está cerrado. La colección\( \mathscr{S} \) de conjuntos abiertos es una topología en\( S \).

Por lo que la unión de un número arbitrario de conjuntos abiertos sigue abierta, al igual que la intersección de un número finito de conjuntos abiertos. El conjunto universal\( S \) y el conjunto vacío\( \emptyset \) son abiertos y cerrados. Puede o no existir otros subconjuntos de\( S \) con esta propiedad.

Supongamos que\( S \) es un conjunto no vacío, y eso\( \mathscr{S} \) y\( \mathscr{T} \) son topologías encendidas\( S \). Si\( \mathscr{S} \subseteq \mathscr{T} \) entonces\( \mathscr{T} \) es más fino que\( \mathscr{S} \), y\( \mathscr{S} \) es más grueso que\( \mathscr{T} \). Más grueso que define un orden parcial en la colección de topologías en\( S \). Es decir, si\( \mathscr R, \, \mathscr S, \, \mathscr T \) son topologías en\( S \) entonces

1. \( \mathscr R \)es más grosera que\( \mathscr R \), la propiedad reflexiva.
2. Si\( \mathscr R \) es más grueso que\( \mathscr S \) y\( \mathscr S \) es más grueso que\( \mathscr R \) entonces\( \mathscr R = \mathscr S \), la propiedad antisimétrica.
3. Si\( \mathscr R \) es más grueso que\( \mathscr S \) y\( \mathscr S \) es más grueso que\( \mathscr T \) entonces\( \mathscr R \) es más grueso que\( \mathscr T \), la propiedad transitiva.

Una topología se puede caracterizar tan fácilmente por medio de conjuntos cerrados como conjuntos abiertos.

Supongamos que\( S \) es un conjunto no vacío. Una colección de subconjuntos\( \mathscr{C} \) es la colección de conjuntos cerrados para una topología en\( S \) si y solo si

1. \( S \in \mathscr{C} \)y\( \emptyset \in \mathscr{C} \)
2. Si\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{C} \) entonces\( \bigcap \mathscr{A} \in \mathscr{C} \).
3. Si\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{C} \) y\( \mathscr{A} \) es un entonces finito\( \bigcup \mathscr{A} \in \mathscr{C} \).

Prueba

El conjunto\( \mathscr{S} = \{A^c: A \in \mathscr{C}\} \) debe satisfacer los axiomas de una topología. Entonces el resultado sigue las leyes de DeMorgan: si\( \mathscr{A} \) es una colección de subconjuntos de\( S \) entonces\ begin {align*}\ left (\ bigcup\ mathscr {A}\ right) ^c & =\ bigcap\ {a^C: A\ in\ mathscr {A}\}\\ left (\ bigcap\ mathscr {A}\ right) ^c & =\ bigcup\ {a^C: A\ in\ mathscr {A}\}\ end {align*}

Supongamos que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico, y eso\( x \in S \). Un conjunto\( A \subseteq S \) es un barrio de\( x \) si existe\( U \in \scr S \) con\( x \in U \subseteq A \).

Entonces un vecindario de un punto\( x \in S \) es simplemente un conjunto con un subconjunto abierto que contiene\( x \). La idea es que los puntos en un pequeño barrio de\( x \) estén cerca\( x \) en cierto sentido. Un conjunto abierto se puede definir en términos de los barrios de los puntos en el conjunto.

Supongamos nuevamente que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico. Un conjunto\( U \subseteq S \) está abierto si y solo si\( U \) es un vecindario de cada\( x \in U \)

Prueba

Si\( U \) está abierto, entonces claramente\( U \) es un barrio de cada punto\( x \in U \) y claramente satisface la condición en el teorema. Por el contrario, supongamos que\( U \) es un barrio de cada\( x \in U \). Entonces por definición de barrio, para cada uno\( x \in U \) existe un conjunto abierto\( U_x \) con\( x \in U_x \subseteq U \). Pero entonces\( \bigcup_{x \in U} U_x \) está abierto, y claramente este conjunto lo es\( U \).

Si bien la prueba parece trivial, el concepto de barrio es cómo se debe pensar en la apertura. Un conjunto\( U \) está abierto si cada punto en\( U \) tiene un conjunto de puntos cercanos que también están en\( U \).

Nuestras siguientes tres definiciones tratan de conjuntos topológicos que están naturalmente asociados con un subconjunto dado.

Supongamos nuevamente que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico y eso\( A \subseteq S \). El cierre de\( A \) es el conjunto\[ \cl(A) = \bigcap\{B \subseteq S: B \text{ is closed and } A \subseteq B\}\] Este es el conjunto cerrado más pequeño que contiene\( A \):

1. \( \cl(A) \)está cerrado.
2. \( A \subseteq \cl(A) \).
3. Si\( B \) está cerrado y\( A \subseteq B \) luego\( \cl(A) \subseteq B \)

Prueba

Tenga en cuenta que no\( \mathscr{B} = \{B \subseteq S: B \text{ is closed and } A \subseteq B\} \) está vacío desde\( S \in \mathscr{B} \).

1. Los conjuntos en\( \mathscr{B} \) están cerrados así que\( \bigcap \mathscr{B} \) está cerrado.
2. Por definición,\( A \subseteq B \) para cada uno\( B \in \mathscr{B} \). De ahí\( A \subseteq \bigcap\mathscr{B} \).
3. Si\( B \) está cerrado y\( A \subseteq B \) entonces\(B \in \mathscr{B}\) así\( \bigcap \mathscr{B} \subseteq B \).

Por supuesto, si\( A \) se cierra entonces\( A = \cl(A) \). Complementario al cierre de un conjunto es el interior del conjunto.

Supongamos nuevamente que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico y eso\( A \subseteq S \). El interior de\( A \) es el conjunto\[ \int(A) = \bigcup\{U \subseteq S: U \text{ is open and } U \subseteq A\} \] Este conjunto es el subconjunto abierto más grande de\( A \):

1. \( \int(A) \)está abierto.
2. \( \int(A) \subseteq A \).
3. Si\( U \) está abierto y\( U \subseteq A \) luego\( U \subseteq \int(A) \)

Prueba

Tenga en cuenta que no\( \mathscr{U} = \{U \subseteq S: U \text{ is open and } U \subseteq A\} \) está vacío desde\( \emptyset \in \mathscr{U} \).

1. Los sets en\( \mathscr{U} \) están abiertos así que\( \bigcup \mathscr{U} \) está abierto.
2. Por definición,\( U \subseteq A \) para cada uno\( U \in \mathscr{U} \). De ahí\( \bigcup \mathscr{U} \subseteq A \).
3. Si\( U \) está abierto y\( U \subseteq A \) entonces\(U \in \mathscr{U}\) así\( U \subseteq \bigcup\mathscr{U} \).

Por supuesto, si\( A \) está abierto entonces\( A = \int(A) \). El límite de un conjunto es la diferencia establecida entre el cierre y el interior.

Supongamos nuevamente que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico. El límite de\( A \) es\( \partial(A) = \cl(A) \setminus \int(A) \). Este conjunto está cerrado.

Prueba

Por definición,\( \partial(A) = \cl(A) \cap [\int(A)]^c \), la intersección de dos conjuntos cerrados.

Una topología en un conjunto induce una topología natural en cualquier subconjunto del conjunto.

Supongamos que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico y que\( R \) es un subconjunto no vacío de\( S \). Entonces\( \mathscr{R} = \{A \cap R: A \in \mathscr{S}\} \) es una topología en\( R \), conocida como la topología relativa inducida por\( \mathscr{S} \).

Prueba

Primero\( S \in \mathscr{S} \) y\( S \cap R = R \), entonces\( R \in \mathscr{R} \). A continuación,\( \emptyset \in \mathscr{S} \) y\( \emptyset \cap R = \emptyset \) así\( \emptyset \in \mathscr{R} \). Supongamos que\( \mathscr{B} \subseteq \mathscr{R} \). Para cada uno\( B \in \mathscr{B} \), seleccione\( A \in \mathscr{S} \) tal que\( B = A \cap R \). Dejar\( \mathscr{A} \) denotar la colección de conjuntos seleccionados (necesitamos el axioma de elección para hacer esto). Entonces\( \bigcup \mathscr{A} \in \mathscr{S} \) y\( \bigcup \mathscr{B} = \left(\bigcup \mathscr{A} \right) \cap R\), entonces\( \bigcup \mathscr{B} \in \mathscr{R} \). Por último, supongamos que eso\( \mathscr{B} \subseteq \mathscr{R} \) es finito. Una vez más, para cada uno\( B \in \mathscr{B} \) existe\( A \in \mathscr{S} \) con\( A \cap R = B \). Dejar\( \mathscr{A} \) denotar la colección de conjuntos seleccionados. Entonces\( \mathscr{A} \) es finito así\( \bigcap \mathscr{A} \in \mathscr{S} \). Pero\( \bigcap \mathscr{B} = \left(\bigcap \mathscr{A}\right) \cap R \) así\( \bigcap \mathscr{B} \in \mathscr{R} \).

En el contexto del resultado anterior, tenga en cuenta que si\( R \) está abierto, entonces la topología relativa es\( \mathscr{R} = \{A \in \mathscr{S}: A \subseteq R\} \), los subconjuntos de los\( R \) que están abiertos en la topología original.

Propiedades de Separación

Las propiedades de separación se refieren a la capacidad de separar puntos o conjuntos con conjuntos abiertos disjuntos. Nuestra primera definición trata de separar dos puntos.

Supongamos que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico y que\( x, \, y \) son puntos distintos en\( S \). Entonces\( x \) y se\( y \) pueden separar si existen conjuntos abiertos disjuntos\( U \) y\( V \) con\( x \in U \) y\( y \in V \). Si cada par de puntos distintos en se\( S \) puede separar, entonces\( (S, \mathscr{S}) \) se llama un espacio Hausdorff.

Los espacios de Hausdorff llevan el nombre del matemático alemán Felix Hausdorff. Hay propiedades de separación más débiles. Por ejemplo, podría haber un conjunto abierto\( U \) que contenga\( x \) pero no\( y \), y un conjunto abierto\( V \) que contenga\( y \) pero no\( x \), pero no conjuntos abiertos disjuntos que contengan\( x \) y\( y\). Claramente si cada conjunto abierto que contiene uno de los puntos también contiene el otro, entonces los puntos son indistinguibles desde un punto de vista topológico. En un espacio de Hausdorff, los singletons están cerrados.

Supongamos que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio Hausdorff. Después\( \{x\} \) se cierra para cada uno\( x \in S \).

Prueba

La definición muestra inmediatamente que\( \{x\}^c \) está abierto: si\( y \in \{x\}^c \), existe en conjunto abierto\( V \) con\( y \in V \subseteq \{x\}^c \).

Nuestra siguiente definición trata de separar un punto de un conjunto cerrado.

Supongamos nuevamente que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico. Un conjunto cerrado no vacío\( A \subseteq S \) y un punto se\( x \in A^c \) pueden separar si existen conjuntos abiertos disjuntos\( U \) y\( V \) con\( A \subseteq U \) y\( x \in V \). Si cada conjunto\( A \) y punto cerrado no vacío se\( x \in A^c \) pueden separar, entonces el espacio\( (S, \mathscr{S}) \) es regular.

Claramente si\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio regular y los conjuntos singleton están cerrados, entonces\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio Hausdorff.

Bases

Las topologías, como otras estructuras de conjuntos, a menudo se definen dando primero algunos conjuntos básicos que deberían pertenecer a la colección, y la extensión de la colección para que se satisfagan los axiomas definitorios. Esta idea es motivación para la siguiente definición:

Supongamos nuevamente que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico. Una colección\( \mathscr{B} \subseteq \mathscr{S} \) es una base para\( \mathscr{S} \) si cada conjunto en\( \mathscr{S} \) puede escribirse como una unión de conjuntos en\( \mathscr{B} \).

Entonces, una base es una colección más pequeña de conjuntos abiertos con la propiedad de que cada otro conjunto abierto se puede escribir como una unión de conjuntos abiertos básicos. Pero nuevamente, muchas veces queremos comenzar con los conjuntos abiertos básicos y extender esta colección a una topología. El siguiente teorema da las condiciones bajo las cuales esto se puede hacer.

Supongamos que\( S \) es un conjunto no vacío. Una colección\( \mathscr{B} \) de subconjuntos de\( S \) es una base para una topología en\( S \) si y solo si

1. \( S = \bigcup \mathscr{B} \)
2. Si\( A, \, B \in \mathscr{B} \) y\( x \in A \cap B \), existe\( C \in \mathscr{B} \) con\( x \in C \subseteq A \cap B \)

Prueba

Supongamos que\( \mathscr{B} \) es una base para una topología\( \mathscr{S} \) en\( S \). Ya que\( S \) está abierto,\( S \) es una unión de conjuntos en\( \mathscr{B} \). Dado que cada conjunto en\( \mathscr{B} \) es un subconjunto de\( S \), debemos tener\( S = \bigcup \mathscr{B} \). Supongamos eso\( A, \, B \in \mathscr{B} \) y aquello\( x \in A \cap B \). Ya que\( A \cap B \) está abierto, es una unión de sets en\( \mathscr{B} \). El punto\( x \) debe estar en uno de esos conjuntos, por lo que existe\( C \in \mathscr{B} \) con\( x \in C \subseteq A \cap B \).

Supongamos ahora que\( \mathscr{B} \) satisface las dos condiciones en el teorema. Que\( \mathscr{S} \) sea la colección de todos los sindicatos de conjuntos en\( \mathscr{B} \). Después\( S \in \mathscr{S} \) por la condición (a), y\( \emptyset \in \mathscr{S} \) por tomar una unión vacía. Supongamos que\( U_i \in \mathscr{S} \) para\( i \in I \) donde\( I \) es un conjunto de índices arbitrarios. Entonces para cada uno\( i \in I \), existe un conjunto de índices\( J_i \) tal que\( U_i = \bigcup_{j \in J_i} B_{i,j} \) donde\( B_{i,j} \in \mathscr{B} \) para cada uno\( j \in J_i \). Pero luego\[ \bigcup_{i \in I} U_i = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{j \in J_i} B_{i,j} \in \mathscr{S} \] Finalmente, supongamos que\( U, \, V \in \mathscr{S} \). Entonces existen conjuntos de índices\( I \) y\( J \) con\( U = \bigcup_{i \in I} A_i \) y\( V = \bigcup_{j \in J} B_j \) dónde\( A_i \in \mathscr{B} \) para todos\( i \in I \) y\( B_j \in \mathscr{B} \) para todos\( j \in J \). Entonces\[ U \cap V = \bigcup_{i \in I, j \in J} (A_i \cap B_j) \] Por condición (b), para cada uno\( i \in I \)\( j \in J \),, y\( x \in A_i \cap B_j \) existe\(C_{x,i,j} \in \mathscr{B}\) con\( x \in C_{x,i,j} \subseteq A_i \cap B_j \). Pero entonces claramente\[ U \cap V = \bigcup\{C_{x,i,j}: i \in I, j \in J, x \in A_i \cap B_j\} \in \mathscr{S} \]

Aquí hay una condición ligeramente más débil, pero una que a menudo se satisface en la práctica.

Supongamos que\( S \) es un conjunto no vacío. Una colección\( \mathscr{B} \) de subconjuntos\( S \) que satisfaga las siguientes propiedades es una base para una topología en\( S \):

1. \( S = \bigcup \mathscr{B} \)
2. Si\( A, \, B \in \mathscr{B} \) entonces\( A \cap B \in \mathscr{B} \)

La parte (b) significa que\( \mathscr{B} \) está cerrada bajo intersecciones finitas.

Compacidad

Nuestra siguiente discusión considera otro tipo de conjunto muy importante. Alguna terminología adicional facilitará la discusión. Supongamos que\( S \) es un conjunto y\( A \subseteq S \). Se dice que una colección\( \mathscr{A} \) de\( S \) subconjuntos de cubre\( A \) si\( A \subseteq \mathscr{A} \). Entonces, la palabra cubierta simplemente significa una colección de conjuntos cuya unión contiene un conjunto dado. En un espacio topológico, podemos tener abierta una cubierta abierta (es decir, una cubierta con juegos abiertos), una cubierta cerrada (es decir, una cubierta con juegos cerrados), y así sucesivamente.

Supongamos nuevamente que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico. Un conjunto\( C \subseteq S \) es compacto si cada cubierta abierta de\( C \) tiene una subcubierta finita. Es decir, si\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{S} \) con\( C \subseteq \bigcup \mathscr{A} \) entonces existe un finito\( \mathscr{B} \subseteq \mathscr{A} \) con\( C \subseteq \bigcup \mathscr{B} \).

De manera intuitiva, un conjunto compacto es compacto en el sentido ordinario de la palabra. No importa cuán pequeños sean los conjuntos abiertos en la cubierta de\( C \), siempre existirá un número finito de los conjuntos abiertos que cubren\( C \).

Supongamos nuevamente que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico y ese\( C \subseteq S \) es un compacto. Si\( B \subseteq C \) está cerrado, entonces también\( B \) es compacto.

Prueba

Supongamos que\( \mathscr{A} \) es una cubierta abierta de\( B \). Ya que\( B \) está cerrado,\( B^c \) está abierto, también lo\( \mathscr{A} \cup \{B^c\} \) es una cubierta abierta de\( C \). Dado que\( C \) es compacta, esta última colección tiene una sub-cubierta finita de\( C \), que también es una sub-cubierta finita de\( B \).

La compacidad también se conserva bajo uniones finitas.

Supongamos nuevamente que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico, y que\( C_i \subseteq S \) es compacto para cada uno\( i \) en un conjunto de índices finitos\( I \). Entonces\( C = \bigcup_{i \in I} C_i \) es compacto.

Prueba

Supongamos que\( \mathscr{A} \) es una cubierta abierta de\( C \). Entonces trivialmente,\( \mathscr{A} \) es también una cubierta abierta de\( C_i \) para cada uno\( i \in I \). De ahí que exista una subcubierta finita\( \mathscr{A}_i \subseteq \mathscr{A} \) de\( C_i \) para cada uno\( i \in I \). Pero entonces también\( \bigcup_{i \in I} \mathscr{A}_i \) es finito y es una cobertura de\( C \).

Como vimos anteriormente, los subconjuntos cerrados de un conjunto compacto son ellos mismos compactos. En un espacio de Hausdorff, un conjunto compacto está cerrado en sí mismo.

Supongamos que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio Hausdorff. Si\( C \subseteq S \) es compacto entonces\( C \) se cierra.

Prueba

Vamos a mostrar que\( C^c \) está abierto, así que arregla\( x \in C^c \). Para cada uno\( y \in C \), los puntos\( x \) y se\( y \) pueden separar, por lo que existen conjuntos abiertos disjuntos\( U_y \) y\( V_y \) tal que\( x \in U_y \) y\( y \in V_y \). Trivialmente, la colección\( \{V_y: y \in C\} \) es una cubierta abierta de\( C \), y por lo tanto existe un subconjunto finito\( B \subseteq C \) tal que\( \{V_y: y \in B\} \) cubre\( C \). Pero entonces\(U = \bigcap_{y \in B} U_y \) está abierto y es disjunta de\( \bigcup_{y \in B} V_y \). De ahí\( U \) que también sea disjunta de\( C \). Entonces para resumir,\( U \) es abierto y\( x \in U \subseteq C^c \).

También en un espacio Hausdorff, un punto se puede separar de un conjunto compacto que no contiene el punto.

Supongamos que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio Hausdorff. Si\( x \in S \),\( C \subseteq S \) es compacto, y\( x \notin C \), entonces existen conjuntos abiertos disjuntos\( U \) y\( V \) con\( x \in U \) y\( C \subseteq V \)

Prueba

Dado que el espacio es Hausdorff, para cada uno\( y \in C \) existen conjuntos abiertos disjuntos\( U_y \) y\( V_y \) con\( x \in U_y \) y\( y \in V_y \). La colección\( \{V_y: y \in C\} \) es una cubierta abierta de\( C \), y por lo tanto existe un conjunto finito\( B \subset C \) tal que\( \{V_y: y \in B\} \) cubre\( C \). Así vamos\( U = \bigcap_{y \in B} U_y \) y\( V = \bigcup_{y \in B} V_y \). Entonces\( U \) está abierto, ya que\( B \) es finito, y\( V \) está abierto. Por otra parte\( U \) y\( V \) son disjuntos, y\( x \in U \) y\( C \subseteq V \).

En un espacio de Hausdorff, si un punto tiene un vecindario con un límite compacto, entonces hay un vecindario más pequeño y cerrado.

Supongamos nuevamente que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio Hausdorff. Si\( x \in S \) y\( A \) es un barrio de\( x \) con\( \partial(A) \) compacto, entonces existe un barrio cerrado\( B \) de\( x \) con\( B \subseteq A \).

Prueba

Por (20), existen conjuntos abiertos disjuntos\( U \) y\( V \) con\( x \in U \) y\( \partial(A) \subseteq V \). De ahí\( \cl(U) \) y\( \partial(A) \) son disjuntas. Vamos\( B = \cl(A \cap U) \). Tenga en cuenta que\( B \) está cerrado, y es un barrio de\( x \) desde entonces\( U \) y\( A \) son barrios de\( x \). Además,\[ B \subseteq \cl(A) \cap \cl(U) = [A \cup \partial(A)] \cap \cl(U) = [A \cap \cl(U)] \cup [\partial(A) \cap \cl(U)] = A \cap \cl(U) \subseteq A \]

Generalmente, las propiedades locales en un espacio topológico se refieren a propiedades que se mantienen en los barrios de un punto\( x \in S \).

Un espacio topológico\( (S, \mathscr{S}) \) es localmente compacto si cada punto\( x \in S \) tiene un vecindario compacto.

Esta definición es importante porque muchos de los espacios topológicos que ocurren en las aplicaciones (como la probabilidad) no son compactos, sino localmente compactos. Los espacios locales compactos de Hausdorff tienen una serie de propiedades agradables. En particular, en un espacio Hausdorff localmente compacto, hay arbitrariamente pequeños barrios compactos de un punto.

Supongamos que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio Hausdorff localmente compacto. Si\( x \in S \) y\( A \) es un barrio de\( x \), entonces existe un barrio compacto\( B \) de\( x \) con\( B \subseteq A \).

Prueba

Dado que\( S \) es localmente compacto, existe un vecindario compacto\( C \) de\( x \). De ahí\( A \cap C \) que sea un barrio de\( x \). Además,\( \partial(A \cap C) \) es cerrado y es un subconjunto de\( C \) y por lo tanto es compacto. Desde (21), existe un barrio cerrado\( B \) de\( x \) con\( B \subseteq A \cap C \). Ya que\( B \) está cerrado y\( B \subseteq C \),\( B \) es compacto. Por supuesto también,\( B \subseteq A \).

Axiomas de Contable

Nuestra siguiente discusión se refiere a topologías que pueden construirse de manera contable en cierto sentido. Dichos axiomas limitan el tamaño de la topología de alguna manera, y a menudo son satisfechos por importantes espacios topológicos que ocurren en las aplicaciones. Comenzamos con una importante definición preliminar.

Supongamos que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico. Un conjunto\( D \subseteq S \) es denso si no\( U \cap D \) está vacío para cada no vacío\( U \in \mathscr{S} \).

Equivalentemente,\( D \) es denso si cada vecindario de un punto\( x \in S \) contiene un elemento de\( D \). Entonces en este sentido, se pueden encontrar elementos de\( D \) arbitrariamente cercanos a un punto\( x \in S \). Por supuesto, todo el espacio\( S \) es denso, pero generalmente nos interesan los espacios topológicos que tienen conjuntos densos de cardinalidad limitada.

Supongamos nuevamente que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico. Un conjunto\( D \subseteq S \) es denso si y solo si\( \cl(D) = S \).

Prueba

Supongamos que\( D \) es denso. Ya que\( \cl(D) \) está cerrado,\( [\cl(D)]^c \) está abierto. Si este conjunto no está vacío, debe contener un punto en\( D \). Pero eso es claramente una contradicción desde entonces\( D \subseteq \cl(D) \). Por el contrario, supongamos que\( \cl(D) = S \). Supongamos que\( U \) es un conjunto abierto no vacío. Después\( U^c \) se cierra, y\( U^c \ne S \). Si\( D \cap U = \emptyset \), entonces\( D \subseteq U^c \). Pero entonces\( \cl(D) \subseteq U^c \) así\( \cl(D) \ne S \).

Aquí está nuestro primer axioma de contabilidad:

Un espacio topológico\( (S, \mathscr{S}) \) es separable si existe un subconjunto denso contable.

Entonces en un espacio separable, hay un conjunto contable\( D \) con la propiedad de que hay puntos en\( D \) arbitrariamente cercanos a cada uno\( x \in S \). Desafortunadamente, el término separable es similar a separar puntos que discutimos anteriormente en la definición de un espacio Hausdorff. Pero claramente los conceptos son muy diferentes. Aquí hay otro importante axioma de contabilidad.

Un espacio topológico\( (S, \mathscr{S}) \) es segundo contable si tiene una base contable.

Entonces, en un segundo espacio contable, hay una colección contable de conjuntos abiertos\( \mathscr{B} \) con la propiedad en la que cada otro conjunto abierto es una unión de conjuntos\( \mathscr{B} \). Así es como se relacionan las dos propiedades:

Si un espacio topológico\( (S, \mathscr{S}) \) es segundo contable entonces es separable.

Prueba

Supongamos que\( \mathscr{B} = \{U_i: i \in I\} \) es una base para\( \mathscr{S} \), donde\( I \) es un conjunto de índices contables. Seleccione\( x_i \in U_i \) para cada uno\( i \in I \), y deje\( D = \{x_i: i \in I\} \). Por supuesto,\( D \) es contable. Si\( U \) está abierto y no vacío, entonces\( U = \bigcup_{j \in J} U_j \) para algunos no vacíos\( J \subseteq I \). Pero entonces\( \{x_j: j \in J\} \subseteq U \), así\( D \) es denso.

Como sugiere la terminología, existen otros axiomas de contabilidad (como el primero contable), pero los dos que hemos discutido son los más importantes.

Espacios conectados y desconectados

Esta discusión aborda la situación en la que un espacio topológico cae en dos o más piezas separadas, en cierto sentido.

Un espacio topológico\( (S, \mathscr{S}) \) se desconecta si existen conjuntos no vacíos, disjuntos, abiertos\( U \) y\( V \) con\( S = U \cup V \). Si no\( (S, \mathscr{S}) \) está desconectado, entonces está conectado.

Ya que\( U = V^c \), se deduce que\( U \) y también\( V \) están cerrados. Entonces el espacio se desconecta si y solo si existe un subconjunto adecuado\( U \) que está abierto y cerrado (tristemente, tales conjuntos a veces se llaman clopen). Si\( S \) se desconecta, entonces\( S \) consta de dos piezas\( U \) y\( V \), y los puntos en no\( U \) están cerca de los puntos en\( V \), en cierto sentido. Para estudiar\( S \) topológicamente, podríamos simplemente estudiar\( U \) y\( V \) por separado, con sus topologías relativas.

Convergencia

Existe una definición natural para una secuencia convergente en un espacio topológico, pero el concepto no es tan útil como cabría esperar.

Supongamos nuevamente que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico. Una secuencia de puntos\( (x_n: n \in \N_+) \) en\( S \) converge a\( x \in S \) si por cada barrio\( A \) de\( x \) existe\( m \in \N_+ \) tal que\( x_n \in A \) para\( n \gt m \). Escribimos\( x_n \to x \) como\( n \to \infty \).

Entonces para cada barrio de\( x \), independientemente de lo pequeño que sea, todos menos finitamente muchos de los términos de la secuencia estarán en el barrio. Naturalmente, uno esperaría que los límites, cuando existan, sean únicos, pero este solo será el caso si se pueden separar puntos en el espacio.

Supongamos que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio Hausdorff. Si\( (x_n: n \in \N_+) \) es una secuencia de puntos en\( S \) con\( x_n \to x \in S \) como\( n \to \infty \) y\( x_n \to y \in S \) como\( n \to \infty \), entonces\( x = y \).

Prueba

Si\( x \ne y \), existen barrios disjuntos\( A \) y\( B \) de\( x \) y\( y \), respectivamente. Hay\( k, \, m \in \N_+ \) tal que\( x_n \in A \) para todos\( n \gt k \) y\( x_n \in B \) para todos\( n \gt m \). Pero entonces si\( n \gt \max\{k, m\} \),\( x_n \in A \) y\( x_n \in B \), una contradicción.

Por otro lado, si\( x, \, y \in S \) no se pueden separar puntos distintos, entonces cualquier secuencia a la que converja también\( x \) convergerá\( y \).

Continuidad

La continuidad de las funciones es uno de los conceptos más importantes para salir de la topología general. La idea, por supuesto, es que si dos puntos están muy juntos en el dominio, entonces los valores funcionales deberían estar muy juntos en el rango. La definición topológica abstracta, basada en imágenes inversas, es muy simple, pero no muy intuitiva al principio.

Supongamos que\( (S, \mathscr{S}) \) y\( (T, \mathscr{T}) \) son espacios topológicos. Una función\( f: S \to T \) es continua si\( f^{-1}(A) \in \mathscr{S} \) por cada\( A \in \mathscr{T} \).

Entonces una función continua tiene la propiedad de que la imagen inversa de un conjunto abierto (en el espacio de rango) también es abierta (en el espacio de dominio). La continuidad se puede expresar de manera equivalente en términos de subconjuntos cerrados.

Supongamos de nuevo eso\( (S, \mathscr{S}) \) y\( (T, \mathscr{T}) \) son espacios topológicos. Una función\( f: S \to T \) es continua si y solo si\( f^{-1}(A) \) es un subconjunto cerrado de\( S \) para cada subconjunto cerrado\( A \) de\( T \).

Prueba

Recordemos eso\( f^{-1}(A ^c) = \left[f^{-1}(A)\right]^c \) para\( A \subseteq T \). El resultado se desprende directamente de la definición y del hecho de que un conjunto está abierto si y sólo si su complemento está cerrado.

La continuidad preserva los límites.

Supongamos nuevamente eso\( (S, \mathscr{S}) \) y\( (T, \mathscr{T}) \) son espacios topológicos, y eso\( f: S \to T \) es continuo. Si\( (x_n: n \in \N_+) \) es una secuencia de puntos en\( S \) con\( x_n \to x \in S \) como\( n \to \infty \), entonces\( f(x_n) \to f(x) \) como\( n \to \infty \).

Prueba

Supongamos que\( V \subseteq T \) está abierto y\( f(x) \in V \). Entonces\( f^{-1}(V) \) está abierto en\( S \) y\( x \in f^{-1}(V) \). De ahí que exista\( m \in \N_+ \) tal que\( x_n \in f^{-1}(V) \) para cada uno\( n \gt m \). Pero entonces\( f(x_n) \in V \) para\( n \gt m \). Así\( f(x_n) \to f(x) \) como\( n \to \infty \).

Lo contrario del último resultado no es cierto, por lo que la continuidad de las funciones en un espacio topológico general no puede caracterizarse en términos de secuencias convergentes. Hay objetos como secuencias pero más generales, conocidos como redes, que sí caracterizan la continuidad, pero no los estudiaremos. La composición, la forma más importante de combinar funciones, preserva la continuidad.

Supongamos que\( (S, \mathscr{S}) \)\( (T, \mathscr{T}) \),, y\( (U, \mathscr{U}) \) son espacios topológicos. Si\( f: S \to T \) y\( g: T \to U \) son continuos, entonces\( g \circ f: S \to U \) es continuo.

Prueba

Si\( A \) está abierto en\( U \) entonces\( g^{-1}(A) \) está abierto en\( T \) y por lo tanto\( f^{-1}\left[g^{-1}(A)\right] = \left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)(A) \) está abierto en\( S \). Pero\((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\).

La siguiente definición es muy importante. Un tema recurrente en las matemáticas es reconocer cuando dos estructuras matemáticas de cierto tipo son fundamentalmente las mismas, aunque puedan parecer diferentes.

Supongamos de nuevo eso\( (S, \mathscr{S}) \) y\( (T, \mathscr{T}) \) son espacios topológicos. Una función uno a uno\( f \) que\( S \) se mapea\( T \) con ambos\( f \) y\( f^{-1} \) continua es un homeomorfismo de\( (S, \mathscr{S}) \) a\( (T, \mathscr{T}) \). Cuando existe tal función, se dice que los espacios topológicos son homeomórficos.

Obsérvese que en esta definición,\( f^{-1} \) se refiere a la función inversa, no al mapeo de imágenes inversas. Si\( f \) es un homeomorfismo, entonces\( A \) está abierto en\( S \) si y solo si\( f(A) \) está abierto en\( T \). De ello se deduce que los espacios topológicos son esencialmente equivalentes: cualquier propiedad puramente topológica puede caracterizarse en términos de conjuntos abiertos y por lo tanto cualquier propiedad de este tipo es compartida por los dos espacios.

Ser homeomórfico es una relación de equivalencia en la colección de espacios topológicos. Es decir, para espacios\( (S, \mathscr{S}) \)\( (T, \mathscr{T}) \), y\( (U, \mathscr{U}) \),

1. \( (S, \mathscr{S}) \)es homeomórfico a\( (S, \mathscr{S}) \) (la propiedad reflexiva).
2. Si\( (S, \mathscr{S}) \) es homeomórfico a\( (T, \mathscr{T}) \) entonces\( (T, \mathscr{T}) \) es homeomórfico a\( (S, \mathscr{S}) \) (la propiedad simétrica).
3. Si\( (S, \mathscr{S}) \) es homeomórfico a\( (T, \mathscr{T}) \) y\( (T, \mathscr{T}) \) es homeomórfico a\( (U, \mathscr{U}) \) entonces\( (S, \mathscr{S}) \) es homeomórfico a\( (U, \mathscr{U}) \) (la propiedad transitiva).

Prueba

1. La función de identidad\( I: S \to S \) definida por\( I(x) = x \) for\( x \in S \) es un homeomorfismo desde el espacio\( (S, \mathscr{S}) \) hacia sí mismo.
2. Si\( f \) es un homoemorfismo de\( (S, \mathscr{S}) \) a\( (T, \mathscr{T}) \) entonces\( f^{-1} \) es un homeomorfismo de\( (T, \mathscr{T}) \) a\( (S, \mathscr{S}) \).
3. Si\( f \) es un homeomorfismo de\( (S, \mathscr{S}) \) a\( (T, \mathscr{T}) \) y\( g \) es un homeomorfismo de\( (T, \mathscr{T}) \) a\( (U, \mathscr{U}) \), entonces\( g \circ f \) es un homeomorfismo de\( (S, \mathscr{S}) \) a\( (U, \mathscr{U}) \).

La continuidad también se puede definir localmente, restringiendo la atención a los barrios de un punto.

Supongamos de nuevo que\( (S, \mathscr{S}) \) y\( (T, \mathscr{T}) \) son espacios topológicos, y eso\( x \in S \). Una función\( f: S \to T \) es continua en\( x \) si\( f^{-1}(B) \) es un barrio de\( x \) adentro\( S \) cuando\( B \) es un vecindario de\( f(x) \) in\( T \). Si\( A \subseteq S \), entonces\( f \) es continuo en\( A \)\( f \) es continuo en cada uno\( x \in A \).

Supongamos de nuevo que\( (S, \mathscr{S}) \) y\( (T, \mathscr{T}) \) son espacios topológicos, y eso\( f: S \to T \). Entonces\( f \) es continuo si y sólo si\( f \) es continuo en cada uno\( x \in S \).

Prueba

Supongamos que eso\( f \) es continuo. Dejemos\( x \in S \) y dejemos\( B \) ser un barrio de\( f(x) \). Entonces existe un conjunto abierto\( V \) en\( T \) con\( f(x) \in V \subseteq B \). Pero entonces\( f^{-1}(V) \) está abierto en\( S \), y\( x \in f^{-1}(V) \subseteq f^{-1}(B) \), también lo\( f^{-1}(B) \) es un barrio de\( x \). De ahí\( f \) que sea continuo en\( x \).

Por el contrario, supongamos que\( f \) es continuo en cada uno\( x \in S \), y supongamos que\( V \in \mathscr{T} \). Si no\( V \) contiene puntos en el rango de\( f \), entonces\( f^{-1}(V) = \emptyset \in \mathscr{S} \). De lo contrario, existe\( x \in S \) con\( f(x) \in V \). Pero entonces\( V \) es un barrio de\( f(x) \), también lo\( U = f^{-1}(V) \) es un barrio de\( x \). Vamos\( y \in U \). Entonces\( f(y) \in V \) también, también lo\( U \) es un barrio de\( y \). De ahí\( U \in \mathscr{S} \).

Las propiedades que se definen para un espacio topológico se pueden aplicar a un subconjunto del espacio, con la topología relativa. Pero hay que tener cuidado.

Supongamos nuevamente que\( (S, \mathscr{S}) \) son espacios topológicos y eso\( f: S \to T \). Supongamos también eso\( A \subseteq S \), y vamos\( \mathscr{A} \) denotar la topología relativa sobre\( A \) inducida por\( \mathscr{S} \), y dejar\( f_A \) denotar la restricción de\( f \) a\( A \). Si\( f \) es continuo\( A \) entonces\( f_A \) es continuo relativo a los espacios\( (A, \mathscr{A}) \) y\( (T, \mathscr{T}) \). Lo contrario no es generalmente cierto.

Prueba

Supongamos que\( V \in \mathscr{T} \). Si\( f(A) \cap V = \emptyset \) entonces\( f_A^{-1}(V) = \emptyset \in \mathscr{A} \). De lo contrario, supongamos que existe\( x \in A \) con\( f(x) \in V \). Entonces\( V \) es un barrio de\( f(x) \) en\( T \) así\( f^{-1}(V) \) es un barrio de\( x\) in\((S, \mathscr{S}) \). De ahí\( f^{-1}(V) \cap A = f_A^{-1}(V) \) que sea un barrio de\( x \) in\( (A, \mathscr{A}) \). Dado que\( f_A \) es continuo (relativo a\( (A, \mathscr{A}) \)) en cada uno\( x \in A \),\( f_A \) es continuo desde el resultado anterior.

Para un simple contraejemplo, supongamos que no\( f \) es continuo en un particular\( x \in S \). El conjunto\( \{x\} \) tiene la topología relativa trivial\( \{\emptyset, \{x\}\} \), y por lo tanto\( f \) restringido a\( \{x\} \) es trivialmente continuo.

Espacios de Productos

Los conjuntos de productos cartesianos son ubicuos en las matemáticas, por lo que una pregunta natural es esta: dados los espacios topológicos\( (S, \mathscr{S}) \) y\( (T, \mathscr{T}) \), ¿para qué sirve una topología natural\( S \times T \)? La respuesta es muy simple usando el concepto de una base anterior.

Supongamos que\( (S, \mathscr{S}) \) y\( (T, \mathscr{T}) \) son espacios topológicos. La colección\( \mathscr{B} = \{A \times B: A \in \mathscr{S}, B \in \mathscr{T}\} \) es una base para una topología en\( S \times T \), llamada topología de producto asociada a los espacios dados.

Prueba

Trivialmente,\( S \times T = \bigcup \mathscr{B} \). De hecho\( S \times T \in \mathscr{B} \). Siguiente si\( A \times B \in \mathscr{B} \) y\( C \times D \in \mathscr{B} \), para que\( A, \, C \) estén abiertos en\( S \) y\( B, \, D \) estén abiertos en\( T \), entonces\[ (A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D) \in \mathscr{B} \] Por lo tanto\( \mathscr{B} \) es una base para una topología en\( S \times T \).

Entonces, básicamente, queremos que el producto de los sets abiertos esté abierto en el espacio del producto. La topología del producto es la topología más pequeña que hace que esto suceda. La definición anterior se puede extender a espacios de productos muy generales, pero para exponer la extensión, recordemos cómo se construyen los conjuntos generales de productos. Supongamos que\( S_i \) es un conjunto para cada uno\( i \) en un conjunto de índices no vacíos\( I \). Entonces el conjunto de productos\(\prod_{i \in I} S_i\) es el conjunto de todas las funciones\(x: I \to \bigcup_{i \in I} S_i\) tal que\( x(i) \in S_i \) para\( i \in I \).

Supongamos que\( (S_i, \mathscr{S}_i) \) es un espacio topológico para cada uno\( i \) en un conjunto de índices no vacíos\( I \). Entonces\[ \mathscr{B} = \left\{\prod_{i \in I} A_i: A_i \in \mathscr{S}_i \text{ for all } i \in I \text{ and } A_i = S_i \text{ for all but finitely many } i \in I\right\}\] es una base para una topología en\( \prod_{i \in I} S_i \), conocida como la topología de producto asociada a los espacios dados.

Prueba

La prueba es igual que antes, a excepción de la notación más complicada. Trivialmente\( \prod_{i \in I} S_i = \bigcup \mathscr{B} \), y\( \mathscr{B} \) se cierra bajo intersecciones finitas.

Supongamos nuevamente que\( S_i \) es un conjunto para cada uno\( i \) en un conjunto de índices no vacíos\( I \). Para\( j \in I \), recordemos que la función de proyección\( p_j: \prod_{i \in I} S_i \to S_j \) está definida por\( p_j(x) = x(j) \).

Supongamos nuevamente que\( (S_i, \mathscr{S}_i) \) es un espacio topológico para cada uno\( i \in I \), y dale al espacio del producto\( \prod_{i \in I} S_i \) la topología del producto. La función de proyección\( p_j \) es continua para cada uno\( j \in I \).

Prueba

Si\( U \) está abierto en\( S_j \) entonces\( p_j^{-1}(U) = \prod_{i \in I} A_i \) donde\( A_i = S_i \) para\( i \in I \) con\( i \ne j \), y\( A_j = U \), tan claramente esta imagen inversa está abierta en el espacio del producto.

Como caso especial de todo esto, supongamos que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio topológico, y eso\( S_i = S \) para todos\( i \in I \). Entonces el espacio del producto\( \prod_{i \in I} S_i \) es el conjunto de todas las funciones desde\( I \) hasta\( S \), a veces denotadas\( S^I \). En este caso, la base para la topología del producto en\( S^I \) es\[ \mathscr{B} = \left\{\prod_{i \in I} A_i: A_i \in \mathscr{S} \text{ for all } i \in I \text{ and } A_i = S \text{ for all but finitely many } i \in I\right\}\] For\( j \in I \), la función de proyección\( p_j \) solo devuelve el valor de una función\( x: I \to S \) en\( j \):\( p_j(x) = x(j) \). Esta función de proyección es continua. Obsérvese en particular que no es necesaria ninguna topología en el dominio\( I \).

Ejemplos y Casos Especiales

La topología trivial

Supongamos que\( S \) es un conjunto no vacío. Entonces\( \{S, \emptyset\} \) es una topología\( S \) encendida, conocida como la topología trivial.

Con la topología trivial, no se pueden separar dos puntos distintos. Entonces la topología no puede distinguir entre puntos, en cierto sentido, y todos los puntos en\( S \) están cerca unos de otros. Claramente, esta topología no es muy interesante, excepto como un lugar para comenzar. Dado que solo hay un conjunto abierto no vacío (\( S \)en sí mismo), el espacio está conectado y cada subconjunto de\( S \) es compacto. Una secuencia en\( S \) converge a cada punto en\( S \).

Supongamos que\( S \) tiene la topología trivial y ese\( (T, \mathscr{T}) \) es otro espacio topológico.

1. Cada función de\( T \) a\( S \) es continua.
2. Si\( (T, \mathscr{T}) \) es un espacio Hausdorff entonces las únicas funciones continuas de\( S \) a\( T \) son funciones constantes.

Prueba

1. Supongamos\( f: T \to S \). Entonces\( f^{-1}(S) = T \in \mathscr{T} \) y\( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \mathscr{T} \), así\( f \) es continuo.
2. Supongamos que\( f: S \to T \) es continuo y que\( u, \, v \) son elementos distintos en el rango de\( f \). Existen conjuntos abiertos disjuntos\( U, \, V \in \mathscr{T} \) con\( u \in U \) y\( v \in V \). Pero\( f^{-1}(U) \) y no\( f^{-1}(V) \) están vacíos y así debe ser\( S \). Si\( x \in S \),\( f(x) \in U \) y\( f(x) \in V \), una contradicción.

La Topología Discreta

En el extremo opuesto a la topología trivial, con la colección más pequeña de conjuntos abiertos, se encuentra la topología discreta, con la mayor colección de conjuntos abiertos.

Supongamos que\( S \) es un conjunto no vacío. El conjunto de potencia\( \mathscr{P}(S) \) (que consiste en todos los subconjuntos de\( S \)) es una topología, conocida como la topología discreta.

Entonces, en la topología discreta, cada conjunto es abierto y cerrado. Todos los puntos están separados, y en cierto sentido, ampliamente así. Ningún punto está cerca de otro punto. Con la topología discreta,\( S \) es Hausdorff, desconectado, y los subconjuntos compactos son los subconjuntos finitos. Una secuencia en\( S \) converge a\( x \in S \), si y sólo si todos pero finitamente muchos términos de la secuencia lo son\( x \).

Supongamos que\( S \) tiene la topología discreta y ese\( (T, \mathscr{S}) \) es otro espacio topológico.

1. Cada función de\( S \) a\( T \) es continua.
2. Si\( (T, \mathscr{T}) \) está conectado, entonces las únicas funciones continuas de\( T \) a\( S \) son funciones constantes.

Prueba

1. Trivialmente, si\( f: S \to T \), entonces\( f^{-}(U) \in \mathscr{P}(S) \) para\( U \in \mathscr{T} \) eso\( f \) es continuo.
2. Supongamos que\( f: T \to S \) es continuo y que\( x \) está en el rango de\( f \). Luego\( \{x\} \) está abierto y cerrado\( S \), así que\( f^{-1}\{x\} \) está abierto y cerrado en\( T \). Si\( T \) está conectado, esto significa que\( f^{-1}\{x\} = T \).

Espacios Euclideanos

Las topologías estándar utilizadas en los espacios euclidianos son las topologías construidas a partir de conjuntos abiertos con los que está familiarizado.

Para el conjunto de números reales\( \R \), vamos\( \mathscr{B} = \{(a, b): a, \, b \in \R, \; a \lt b\} \), la colección de intervalos abiertos. Entonces\( \mathscr{B} \) es una base para una topología\( \mathscr{R} \) en\( \R \), conocida como la topología euclidiana.

Prueba

Claramente se cumplen las condiciones para\( \mathscr{B} \) ser una base dadas anteriormente. Primero\( \R = \bigcup \mathscr{B} \). A continuación, si\( (a, b) \in \mathscr{B} \) y\( (c, d) \in \mathscr{B} \) y\( x \in (a, b) \cap (c, d) \), entonces\( x \in \left(\max\{a, c\}, \min\{b, d\}\right) \subseteq (a, b) \cap (c, d) \).

El espacio\( (\R, \mathscr{R}) \) satisface muchas propiedades que son motivaciones para definiciones en topología en primer lugar. La convergencia de una secuencia en\( \R \), en el sentido topológico dado anteriormente, es la misma que la definición de convergencia en el cálculo. La misma afirmación se sostiene para la continuidad de una función\( f \) de\( \R \) a\( \R \).

Antes de enumerar otras propiedades topológicas, damos una caracterización de conjuntos compactos, conocido como el teorema de Heine-Borel, llamado así por Eduard Heine y Émile Borel. Recordemos que\( A \subseteq \R \) está acotado si\( A \subseteq [a, b] \) para algunos\( a, \, b \in \R \) con\( a \lt b \).

Un subconjunto\( C \subseteq \R \) es compacto si y solo si\( C \) está cerrado y delimitado.

Entonces, en particular, los intervalos cerrados, acotados de la forma\( [a, b] \) con\( a, \, b \in \R \) y\( a \lt b \) son compactos.

El espacio\( (\R, \mathscr{R}) \) cuenta con las siguientes propiedades:

1. Hausdorff.
2. Conectado.
3. Localmente compacto.
4. Segundo contable.

Prueba

1. Los puntos distintos\( \R \) pueden ser separados por intervalos abiertos.
2. \( \R \)no tiene un subconjunto adecuado que sea tanto abierto como cerrado.
3. Si\( A \) es un barrio de\( x \in \R \), entonces existe\( a, \, b \in \R \) con\( a \lt b \) tal que\( x \in [a, b] \subseteq A \). El intervalo cerrado\( [a, b] \) es compacto.
4. La colección\( \mathscr{Q} = \{(a, b): a, \, b \in \Q, \; a \lt b\} \) es una base contable para\( \mathscr{R} \), donde como de costumbre,\( \Q \) es el conjunto de números reales racionales.

Como se señala en la prueba\( \Q \),, el conjunto de racionales, es contable y es denso en\( \R \). Otro subconjunto numerable y denso es\( \D = \{j / 2^n: n \in \N \text{ and } j \in \Z\} \), el conjunto de racionales diádicos (o racionales binarios). Para los espacios euclidianos de mayor dimensión, podemos utilizar la topología del producto basada en la topología de los números reales.

Para\( n \in \{2, 3, \ldots\} \), dejar\( (\R^n, \mathscr{R}_n) \) ser el\( n \) -fold espacio del producto correspondiente al espacio\( (\R, \mathscr{R}) \). Entonces\( \mathscr{R}_n \) está encendida la topología euclidiana\( \R^n \).

Un subconjunto\( A \subseteq \R^n \) está acotado si existe\( a, \, b \in \R \) con\( a \lt b \) tal que\( A \subseteq [a, b]^n \), de modo que\( A \) se ajuste dentro de un bloque\( n \) -dimensional.

Un subconjunto\( C \subseteq \R^n \) es compacto si y solo si\( C \) está cerrado y delimitado.

El espacio\( (\R^n, \mathscr{R}_n) \) cuenta con las siguientes propiedades:

1. Hausdorff.
2. Conectado.
3. Localmente compacto.
4. Segundo contable.