13.5: Ruleta

\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)

La rueda de la ruleta

Según Richard Epstein, la ruleta es el juego de casino más antiguo que aún está en funcionamiento. Su invención ha sido atribuida de diversas maneras a Blaise Pascal, el matemático italiano Don Pasquale, y varios otros. En cualquier caso, la rueda de la ruleta se introdujo por primera vez en París en 1765. Estas son las características de la rueda:

La rueda de ruleta (americana) tiene 38 ranuras numeradas 00, 0 y 1—36.

1. Las ranuras 0, 00 son verdes;
2. Las ranuras 1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36 son rojas;
3. Las ranuras 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33, 35 son negras.

A excepción de 0 y 00, las ranuras de la rueda alternan entre rojo y negro. El extraño orden de los números en la rueda está pensado para que los números altos y bajos, así como los números impares y pares, tiendan a alternarse.

Figura\(\PageIndex{1}\): Una rueda de ruleta y una mesa típicas

El experimento de la ruleta es muy sencillo. Se hace girar la rueda y luego se hace rodar una pequeña bola en una ranura, en la dirección opuesta al movimiento de la rueda. Eventualmente la pelota cae en una de las ranuras. Naturalmente, asumimos matemáticamente que la rueda es justa, de manera que la variable aleatoria\(X\) que da el número de ranura de la bola se distribuye uniformemente sobre el espacio muestral\(S = \{00, 0, 1, \ldots, 36\}\). Así,\(\P(X = x) = \frac{1}{38}\) para cada uno\(x \in S\).

Apuestas

Al igual que con los dados, la ruleta es un juego de casino popular debido a la rica variedad de apuestas que se pueden hacer. La imagen de arriba muestra la mesa de ruleta e indica algunas de las apuestas que estudiaremos. Todas las apuestas resultan tener el mismo valor esperado (negativo, claro). Sin embargo, las varianzas difieren dependiendo de la apuesta.

Aunque todas las apuestas en la ruleta tienen el mismo valor esperado, las desviaciones estándar varían inversamente con el número de números seleccionados. ¿Cuáles son las implicaciones de esto para el jugador?

Apuestas Recta

Una apuesta recta es una apuesta a un solo número, y paga\(35 : 1\).

Dejar\(W\) denotar las ganancias en una apuesta recta unitaria. Entonces

1. \(\P(W = -1) = \frac{37}{38}\),\(\P(W = 35) = \frac{1}{38}\)
2. \(\E(W) = -\frac{1}{19} \approx -0.0526\)
3. \(\sd(W) \approx 5.7626\)

En el experimento de ruleta, seleccione la apuesta de un solo número. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica y los momentos de\(W\) con la función y momentos de densidad de probabilidad verdadera. Supongamos que apuestes $1 en cada uno de los 1000 juegos. ¿Cuáles serían tus ganancias netas?

Apuestas de Dos Números

Una apuesta de 2 números (o una apuesta dividida) es una apuesta en dos números adyacentes en la mesa de ruleta. La apuesta paga\(17 : 1\).

Dejar\(W\) denotar las ganancias en una apuesta dividida unitaria. Entonces

1. \(\P(W = -1) = \frac{18}{19}\),\(\P(W = 17) = \frac{1}{19}\)
2. \(\E(W) = -\frac{1}{19} \approx -0.0526\)
3. \(\sd(W) \approx 4.0193\)

En el experimento de ruleta, seleccione la apuesta de 2 números. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica y los momentos de\(W\) con la función y momentos de densidad de probabilidad verdadera. Supongamos que apuestes $1 en cada uno de los 1000 juegos. ¿Cuáles serían tus ganancias netas?

Apuestas de tres números

Una apuesta de 3 números (o apuesta de fila) es una apuesta en los tres números en una fila vertical en la mesa de ruleta. La apuesta paga\(11 : 1\).

Dejar\(W\) denotar las ganancias en una apuesta de fila unitaria. Entonces

1. \(\P(W = -1) = \frac{35}{38}\),\(\P(W = 11) = \frac{3}{38}\)
2. \(\E(W) = -\frac{1}{19} \approx -0.0526\)
3. \(\sd(W) \approx 3.2359\)

En el experimento de ruleta, selecciona la apuesta de 3 números. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica y los momentos de\(W\) con la función y momentos de densidad de probabilidad verdadera. Supongamos que apuestes $1 en cada uno de los 1000 juegos. ¿Cuáles serían tus ganancias netas?

Apuestas de cuatro números

Una apuesta de 4 números o una apuesta cuadrada es una apuesta en los cuatro números que forman un cuadrado en la mesa de ruleta. La apuesta paga\(8 : 1\).

Dejar\(W\) denotar las ganancias en una apuesta unitaria de 4 números. Entonces

1. \(\P(W = -1) = \frac{17}{19}\),\(\P(W = 8) = \frac{2}{19}\)
2. \(\E(W) = -\frac{1}{19} \approx -0.0526\)
3. \(\sd(W) \approx 2.7620\)

En el experimento de ruleta, selecciona la apuesta de 4 números. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica y los momentos de\(W\) con la función y momentos de densidad de probabilidad verdadera. Supongamos que apuestes $1 en cada uno de los 1000 juegos. ¿Cuáles serían tus ganancias netas?

Apuestas de seis números

Una apuesta de 6 números o una apuesta de 2 filas es una apuesta en los 6 números en dos filas adyacentes de la mesa de ruleta. La apuesta paga\(5 : 1\).

Dejar\(W\) denotar las ganancias en una apuesta unitaria de 6 números. Entonces

1. \(\P(W = -1) = \frac{16}{19}\),\(\P(W = 5) = \frac{3}{19}\)
2. \(\E(W) = -\frac{1}{19} \approx -0.0526\)
3. \(\sd(W) \approx 2.1879\)

En el experimento de ruleta, selecciona la apuesta de 6 números. Ejecute la simulación 1000 veces y compuare la función de densidad empírica y los momentos de\(W\) la función y momentos de densidad de probabilidad verdadera. Supongamos que apuestes $1 en cada uno de los 1000 juegos. ¿Cuáles serían tus ganancias netas?

Apuestas de Doce Números

Una apuesta de 12 números es una apuesta a 12 números. En particular, una apuesta de columna se apuesta en cualquiera de las tres columnas de 12 números que discurren horizontalmente a lo largo de la mesa. Otras apuestas de 12 números son las primeras 12 (1-12), las 12 medias (13-24) y las últimas 12 (25-36). Una apuesta de 12 números paga\(2 : 1\).

Dejar\(W\) denotar las ganancias en una apuesta unitaria de 12 números. Entonces

1. \(\P(W = -1) = \frac{13}{19}\),\(\P(W = 2) = \frac{6}{19}\)
2. \(\E(W) = -\frac{1}{19} \approx -0.0526\)
3. \(\sd(W) \approx 1.3945\)

En el experimento de ruleta, selecciona la apuesta de 12 números. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica y los momentos de\(W\) con la función y momentos de densidad de probabilidad verdadera. Supongamos que apuestes $1 en cada uno de los 1000 juegos. ¿Cuáles serían tus ganancias netas?

Apuestas de dieciocho números

Una apuesta de 18 números es una apuesta a 18 números. En particular, Una apuesta de color es una apuesta ya sea en rojo o en negro. Una apuesta de paridad es una apuesta en los números impares del 1 al 36 o los números pares del 1 al 36. La apuesta baja es una apuesta a los números 1-18, y la apuesta alta es la apuesta a los números del 19-36. Una apuesta de 18 números paga\(1 : 1\).

Dejar\(W\) denotar las ganancias en una apuesta unitaria de 18 números. Entonces

1. \(\P(W = -1) = \frac{10}{19}\),\(\P(W = 1) = \frac{9}{19}\)
2. \(\E(W) = -\frac{1}{19} \approx -0.0526\)
3. \(\sd(W) \approx 0.9986\)

En el experimento de ruleta, selecciona la apuesta de 18 números. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica y los momentos de\(W\) con la función y momentos de densidad de probabilidad verdadera. Supongamos que apuestes $1 en cada uno de los 1000 juegos. ¿Cuáles serían tus ganancias netas?