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# 1.2: Funciones

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Las funciones juegan un papel central en la probabilidad y la estadística, como lo hacen en todas las demás ramas de las matemáticas. En su mayor parte, las pruebas en esta sección son sencillas, así que asegúrate de probarlas tú mismo antes de leer las que aparecen en el texto.

### Definiciones Básicas

Comenzamos con la definición formal y técnica de una función. No es muy intuitivo, pero tiene la ventaja de que solo requiere teoría de conjuntos.

Una función$$f$$ de un conjunto$$S$$ en un conjunto$$T$$ es un subconjunto del conjunto de productos$$S \times T$$ con la propiedad que para cada elemento$$x \in S$$, existe un elemento único$$y \in T$$ tal que$$(x, y) \in f$$. Si$$f$$ es una función de$$S$$ a$$T$$ escribimos$$f: S \to T$$. Si$$(x, y) \in f$$ escribimos$$y = f(x)$$.

De manera menos formal, una función$$f$$ de$$S$$ hacia dentro$$T$$ es una regla (o procedimiento o algoritmo) que asigna a cada uno$$x \in S$$ un elemento único$$f(x) \in T$$. La definición de una función como conjunto de pares ordenados, se debe a Kazimierz Kuratowski. El término mapa o mapeo también se utiliza en lugar de función, por lo que podríamos decir que los$$f$$ mapas$$S$$ en$$T$$.

Los conjuntos$$S$$ y$$T$$ en la definición son claramente importantes.

Supongamos que$$f: S \to T$$.

1. El conjunto$$S$$ es el dominio de$$f$$.
2. El conjunto$$T$$ es el espacio de rango o codominio de$$f$$.
3. El rango de$$f$$ es el conjunto de valores de función. Es decir,$$\range\left(f\right) = \left\{y \in T: y = f(x) \text{ for some } x \in S\right\}$$.

El dominio y el rango están completamente especificados por una función. Eso no es cierto para el co-dominio: si$$f$$ es una función de$$S$$ dentro$$T$$, y$$U$$ es otro conjunto con$$T \subseteq U$$, entonces también podemos pensar en$$f$$ como una función de$$S$$ dentro$$U$$. Las siguientes definiciones son naturales e importantes.

Supongamos otra vez eso$$f: S \to T$$.

1. $$f$$$$S$$mapea en$$T$$ if$$\range\left(f\right) = T$$. Es decir, para cada uno$$y \in T$$ existe$$x \in S$$ tal que$$f(x) = y$$.
2. $$f$$es uno a uno si distintos elementos en el dominio se asignan a distintos elementos en el rango. Es decir, si$$u, \, v \in S$$ y$$u \ne v$$ entonces$$f(u) \ne f(v)$$.

Claramente una función siempre mapea su dominio en su rango. Tenga en cuenta también que$$f$$ es uno a uno si$$f(u) = f(v)$$ implica$$u = v$$ para$$u, \, v \in S$$.

### Funciones inversas

Una función que es uno a uno y sobre se puede revertir en cierto sentido.

Si$$f$$ mapea$$S$$ uno a uno sobre$$T$$, la inversa de$$f$$ es la función$$f^{-1}$$ de$$T$$ a$$S$$ dada por$f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y; \quad x \in S, \; y \in T$

Si te gusta pensar en una función como un conjunto de pares ordenados, entonces$$f^{-1} = \{(y, x) \in T \times S: (x, y) \in f\}$$. El hecho de que$$f$$ sea uno a uno y hacia asegura que$$f^{-1}$$ es una función válida desde$$T$$ hacia$$S$$. Establece$$S$$ y$$T$$ están en correspondencia uno a uno si existe una función uno a uno de$$S$$ hacia$$T$$. La correspondencia uno a uno juega un papel esencial en el estudio de la cardinalidad.

### Restricciones

El dominio de una función puede restringirse para crear una nueva función.

Supongamos eso$$f: S \to T$$ y aquello$$A \subseteq S$$. La función$$f_A: A \to T$$ definida por$$f_A(x) = f(x)$$ for$$x \in A$$ es la restricción de$$f$$ a$$A$$.

Como conjunto de pares ordenados, tenga en cuenta que$$f_A = \{(x, y) \in f: x \in A\}$$.

### Composición

La composición es quizás la forma más importante de combinar dos funciones para crear otra función.

Supongamos que$$g: R \to S$$ y$$f: S \to T$$. La composición de$$f$$ con$$g$$ es la función$$f \circ g: R \to T$$ definida por$\left(f \circ g\right)(x) = f\left(g(x)\right), \quad x \in R$

La composición es asociativa:

Supongamos que$$h: R \to S$$$$g: S \to T$$,, y$$f: T \to U$$. Entonces$f \circ \left(g \circ h\right) = \left(f \circ g\right) \circ h$

Prueba

Tenga en cuenta que ambas funciones$$R$$ mapean en$$U$$. Usando la definición de composición, el valor de ambas funciones at$$x \in R$$ es$$f\left(g\left(h(x)\right)\right)$$.

Así podemos escribir$$f \circ g \circ h$$ sin ambigüedades. Por otro lado, la composición no es conmutativa. De hecho, dependiendo de los dominios y codominios,$$f \circ g$$ podría definirse cuando no lo$$g \circ f$$ es. Incluso cuando ambos están definidos, pueden tener diferentes dominios y codominios, y así, por supuesto, no puede ser la misma función. Aun cuando ambos estén definidos y tengan los mismos dominios y codominios, las dos composiciones no serán las mismas en general. Ejemplos de todos estos casos se dan en los ejercicios computacionales a continuación.

Supongamos que$$g: R \to S$$ y$$f: S \to T$$.

1. Si$$f$$ y$$g$$ son uno a uno entonces$$f \circ g$$ es uno a uno.
2. Si$$f$$ y$$g$$ están en, entonces$$f \circ g$$ está en.
Prueba
1. Supongamos que$$u, \, v \in R$$ y$$(f \circ g)(u) = (f \circ g)(v)$$. Entonces$$f\left(g(u)\right) = f\left(g(v)\right)$$. Ya que$$f$$ es uno a uno,$$g(u) = g(v)$$. Ya que$$g$$ es uno a uno,$$u = v$$.
2. Supongamos que$$z \in T$$. Ya que$$f$$ está en, existen$$y \in S$$ con$$f(y) = z$$. Ya que$$g$$ está en, existe$$x \in R$$ con$$g(x) = y$$. Entonces$$(f \circ g)(x) = f\left(g(x)\right) = f(y) = z$$.

La función de identidad en un conjunto$$S$$ es la función$$I_S$$ de a$$S$$ partir de$$S$$ definida por$$I_S(x) = x$$ for$$x \in S$$

La función de identidad actúa como una identidad con respecto a la operación de composición.

Si$$f: S \to T$$ entonces

1. $$f \circ I_S = f$$
2. $$I_T \circ f = f$$
Prueba
1. Tenga en cuenta que$$f \circ I_S: S \to T$$. Para$$x \in S$$,$$(f \circ I_S)(x) = f\left(I_S(x)\right) = f(x)$$.
2. Tenga en cuenta que$$I_T \circ f: S \to T$$. Para$$x \in S$$,$$(I_T \circ f)(x) = I_T\left(f(x)\right) = f(x)$$.

La inversa de una función es realmente la inversa con respecto a la composición.

Supongamos que$$f$$ es una función uno a uno de a partir$$S$$ de$$T$$. Entonces

1. $$f^{-1} \circ f = I_S$$
2. $$f \circ f^{-1} = I_T$$
Prueba
1. Tenga en cuenta que$$f^{-1} \circ f : S \to S$$. Para$$x \in S$$,$$\left(f^{-1} \circ f\right)(x) = f^{-1}\left(f(x)\right) = x$$.
2. Tenga en cuenta que$$f \circ f^{-1}: T \to T$$. Para$$y \in T$$,$$\left(f \circ f^{-1}\right)(y) = f\left(f^{-1}(y)\right) = y$$

Un elemento$$x \in S^n$$ puede pensarse como una función desde$$\{1, 2, \ldots, n\}$$ dentro$$S$$. Del mismo modo, un elemento$$x \in S^\infty$$ puede pensarse como una función desde$$\N_+$$ dentro$$S$$. Para tal secuencia$$x$$, por supuesto, solemos escribir$$x_i$$ en lugar de$$x(i)$$. De manera más general, si$$S$$ y$$T$$ son conjuntos, entonces el conjunto de todas las funciones desde$$S$$ adentro$$T$$ se denota por$$T^S$$. En particular, como señalamos en el último apartado, también$$S^\infty$$ se escribe (y con mayor precisión) como$$S^{\N_+}$$.

Supongamos que$$g$$ es una función uno a uno de$$R$$ hacia$$S$$ y que$$f$$ es una función uno a uno de$$S$$ hacia$$T$$. Entonces$$\left(f \circ g\right)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$$.

Prueba

Tenga en cuenta que$$(f \circ g)^{-1}: T \to R$$ y$$g^{-1} \circ f^{-1}: T \to R$$. Para$$y \in T$$, vamos$$x = \left(f \circ g\right)^{-1}(y)$$. $$\left(f \circ g\right)(x) = y$$Entonces para eso$$f\left(g(x)\right) = y$$ y por lo tanto$$g(x) = f^{-1}(y)$$ y finalmente$$x = g^{-1}\left(f^{-1}(y)\right)$$.

### Imágenes inversas

Las imágenes inversas de una función juegan un papel fundamental en la probabilidad, particularmente en el contexto de variables aleatorias.

Supongamos que$$f: S \to T$$. Si$$A \subseteq T$$, la imagen inversa de$$A$$ bajo$$f$$ es el subconjunto de$$S$$ dado por$f^{-1}(A) = \{x \in S: f(x) \in A\}$

Así$$f^{-1}(A)$$ es el subconjunto de$$S$$ que consiste en aquellos elementos que se mapean en$$A$$.

Técnicamente, las imágenes inversas definen una nueva función desde$$\mathscr{P}(T)$$ dentro$$\mathscr{P}(S)$$. Usamos la misma notación que para la función inversa, que se define cuando$$f$$ es uno a uno y onto. Estas son funciones muy diferentes, pero por lo general no resulta confusión. El siguiente teorema importante muestra que las imágenes inversas conservan todas las operaciones establecidas.

Supongamos eso$$f: S \to T$$, y eso$$A, \, B \subseteq T$$. Entonces

1. $$f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$$
2. $$f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$$
3. $$f^{-1}(A \setminus B) = f^{-1}(A) \setminus f^{-1}(B)$$
4. Si$$A \subseteq B$$ entonces$$f^{-1}(A) \subseteq f^{-1}(B)$$
5. Si$$A$$ y$$B$$ son disjuntos, también lo son$$f^{-1}(A)$$ y$$f^{-1}(B)$$
Prueba
1. $$x \in f^{-1}(A \cup B)$$si y solo si y solo$$f(x) \in A \cup B$$ si$$f(x) \in A$$ o si y solo$$f(x) \in B$$ si y solo si$$x \in f^{-1}(A)$$ o$$x \in f^{-1}(B)$$ si y solo si$$x \in f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$$
2. La prueba es la misma que (a), con intersección reemplazando unión y con y reemplazando o a lo largo.
3. La prueba es la misma que (a), con diferencia establecida reemplazando unión y con y no reemplazando o en todo momento.
4. Supongamos$$A \subseteq B$$. Si$$x \in f^{-1}(A)$$ entonces$$f(x) \in A$$ y por lo tanto$$f(x) \in B$$, así$$x \in f^{-1}(B)$$.
5. Si$$A$$ y$$B$$ son disjuntos, entonces de (b),$$f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) = f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$$.

El resultado en la parte (a) se sostiene para las uniones arbitrarias, y el resultado en la parte (b) sostiene para las intersecciones arbitrarias. No hay nuevas ideas involucradas; sólo la notación es más complicada.

Supongamos que$$\{A_i: i \in I\}$$ es una colección de subconjuntos de$$T$$, donde$$I$$ es un conjunto de índices no vacíos. Entonces

1. $$f^{-1}\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \bigcup_{i \in I} f^{-1}(A_i)$$
2. $$f^{-1}\left(\bigcap_{i \in I} A_i\right) = \bigcap_{i \in I} f^{-1}(A_i)$$
Prueba
1. $$x \in f^{-1}\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right)$$si y solo$$f(x) \in \bigcup_{i \in I} A_i$$ si y solo si$$f(x) \in A_i$$ para algunos$$i \in I$$ si y solo si$$x \in f^{-1}(A_i)$$ para algunos$$i \in I$$ si y solo si$$x \in \bigcup_{i \in I} f^{-1}(A_i)$$
2. La prueba es la misma que (a), con intersección reemplazando unión y con para cada reemplazo para algunos.

### Forward Imágenes

Las imágenes hacia adelante de una función son un complemento natural de las imágenes inversas.

Supongamos otra vez eso$$f: S \to T$$. Si$$A \subseteq S$$, la imagen hacia delante de$$A$$ debajo$$f$$ es el subconjunto de$$T$$ dado por$f(A) = \left\{f(x): x \in A\right\}$

Así$$f(A)$$ es el rango de$$f$$ restringido a$$A$$.

Técnicamente, las imágenes hacia adelante definen una nueva función desde$$\mathscr{P}(S)$$ dentro$$\mathscr{P}(T)$$, pero usamos el mismo símbolo$$f$$ para esta nueva función que para la función subyacente desde$$S$$ dentro con la$$T$$ que comenzamos. Nuevamente, las dos funciones son muy diferentes, pero generalmente no resulta confusión.

Podría parecer que las imágenes hacia adelante son más naturales que las inversas, pero de hecho, las imágenes inversas son mucho más importantes que las de avance (al menos en teoría de probabilidad y medida). Afortunadamente, las imágenes inversas también son más agradables, a diferencia de las imágenes inversas, las imágenes hacia adelante no conservan todas las operaciones establecidas.

Supongamos eso$$f: S \to T$$, y eso$$A, \, B \subseteq S$$. Entonces

1. $$f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$$.
2. $$f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$$. La igualdad se mantiene si$$f$$ es uno a uno.
3. $$f(A) \setminus f(B) \subseteq f(A \setminus B)$$. La igualdad se mantiene si$$f$$ es uno a uno.
4. Si$$A \subseteq B$$ entonces$$f(A) \subseteq f(B)$$.
Prueba
1. Supongamos$$y \in f(A \cup B)$$. Entonces$$y = f(x)$$ para algunos$$x \in A \cup B$$. Si$$x \in A$$ entonces$$y \in f(A)$$ y si$$x \in B$$ entonces$$y \in f(B)$$. En ambos casos$$y \in f(A) \cup f(B)$$. Por el contrario supongamos$$y \in f(A) \cup f(B)$$. Si$$y \in f(A)$$ entonces$$y = f(x)$$ para algunos$$x \in A$$. Pero entonces$$x \in A \cup B$$ así$$y \in f(A \cup B)$$. Del mismo modo, si$$y \in f(B)$$ entonces$$y = f(x)$$ para algunos$$x \in B$$. Pero entonces$$x \in A \cup B$$ así$$y \in f(A \cup B)$$.
2. Si$$y \in f(A \cap B)$$ entonces$$y = f(x)$$ para algunos$$x \in A \cap B$$. Pero$$x \in A$$ entonces tal$$y \in f(A)$$ y tal$$y \in f(B)$$ y$$x \in B$$ por lo tanto$$y \in f(A) \cap f(B)$$. Por el contrario, supongamos que$$y \in f(A) \cap f(B)$$. Entonces$$y \in f(A)$$ y$$y \in f(B)$$, así existe$$x \in A$$ con$$f(x) = y$$ y existe$$u \in B$$ con$$f(u) = y$$. En este punto, no podemos ir más allá. Pero si$$f$$ es uno a uno, entonces$$u = x$$ y por lo tanto$$x \in A$$ y$$x \in B$$. Así$$x \in A \cap B$$ que así$$y \in f(A \cap B)$$.
3. Supongamos$$y \in f(A) \setminus f(B)$$. Entonces$$y \in f(A)$$ y$$y \notin f(B)$$. De ahí$$y = f(x)$$ para algunos$$x \in A$$ y$$y \ne f(u)$$ para cada uno$$u \in B$$. Así,$$x \notin B$$ así$$x \in A \setminus B$$ y por lo tanto$$y \in f(A \setminus B)$$. Por el contrario, supongamos$$y \in f(A \setminus B)$$. Entonces$$y = f(x)$$ para algunos$$x \in A \setminus B$$. De ahí$$x \in A$$ que así$$y \in f(A)$$. Nuevamente, la prueba se descompone en este punto. No obstante, si$$f$$ es uno a uno y$$f(u) = y$$ para algunos$$u \in B$$, entonces$$u = x$$ así$$x \in B$$, una contradicción. De ahí$$f(u) \ne y$$ para cada$$u \in B$$ así$$y \notin f(B)$$. Así$$y \in f(A \setminus B)$$.
4. Supongamos$$A \subseteq B$$. Si$$y \in f(A)$$ entonces$$y = f(x)$$ para algunos$$x \in A$$. Pero entonces$$x \in B$$ así$$y \in f(B)$$.

El resultado en la parte (a) se sostiene para uniones arbitrarias, y los resultados en la parte (b) se mantienen para intersecciones arbitrarias. No hay nuevas ideas involucradas; sólo la notación es más complicada.

Supongamos que$$\{A_i: i \in I\}$$ es una colección de subconjuntos de$$S$$, donde$$I$$ es un conjunto de índices no vacíos. Entonces

1. $$f\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \bigcup_{i \in I} f(A_i)$$.
2. $$f\left(\bigcap_{i \in I} A_i\right) \subseteq \bigcap_{i \in I} f(A_i)$$. La igualdad se mantiene si$$f$$ es uno a uno.
Prueba
1. $$y \in f\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right)$$si y solo si$$y = f(x)$$ para algunos$$x \in \bigcup_{i \in I} A_i$$ si y solo si$$y = f(x)$$ para algunos$$x \in A_i$$ y algunos$$i \in I$$ si y solo si$$y \in f(A_i)$$ para algunos$$i \in I$$ si y solo si$$y \in \bigcup_{i \in I} f(A_i)$$.
2. Si$$y \in f\left(\bigcap_{i \in I} A_i\right)$$ entonces$$y = f(x)$$ para algunos$$x \in \bigcap_{i \in I} A_i$$. De ahí$$x \in A_i$$ para cada$$i \in I$$ así$$y \in f(A_i)$$ para cada$$i \in I$$ y así$$y \in \bigcap_{i \in I} f(A_i)$$. Por el contrario, supongamos que$$y \in \bigcap_{i \in I} f(A_i)$$. Entonces$$y \in f(A_i)$$ para cada$$i \in I$$. De ahí que para cada$$i \in I$$ exista$$x_i \in A_i$$ con$$y = f(x_i)$$. Si$$f$$ es uno a uno,$$x_i = x_j$$ para todos$$i, \, j \in I$$. Llamar al valor común$$x$$. Entonces$$x \in A_i$$ para cada$$i \in I$$ tanto$$x \in \bigcap_{i \in I} A_i$$ y por lo tanto$$y \in f\left(\bigcap_{i \in I} A_i\right)$$.

Supongamos otra vez eso$$f: S \to T$$. Como se señaló anteriormente, las imágenes hacia adelante de$$f$$ definen una función desde$$\mathscr{P}(S)$$ dentro$$\mathscr{P}(T)$$ y las imágenes inversas definen una función desde$$\mathscr{P}(T)$$ dentro$$\mathscr{P}(S)$$. Se podría esperar que estas funciones sean inversas unas de otras, pero ay no.

Supongamos que$$f: S \to T$$.

1. $$A \subseteq f^{-1}\left[f(A)\right]$$para$$A \subseteq S$$. La igualdad se mantiene si$$f$$ es uno a uno.
2. $$f\left[f^{-1}(B)\right] \subseteq B$$para$$B \subseteq T$$. La igualdad se sostiene si$$f$$ está en.
Prueba
1. Si$$x \in A$$ entonces$$f(x) \in f(A)$$ y por lo tanto$$x \in f^{-1}\left[f(A)\right]$$. Por el contrario supongamos que$$x \in f^{-1}\left[f(A)\right]$$. Entonces$$f(x) \in f(A)$$ así$$f(x) = f(u)$$ para algunos$$u \in A$$. En este punto no podemos ir más allá. Pero si$$f$$ es uno a uno, entonces$$u = x$$ y por lo tanto$$x \in A$$.
2. Supongamos$$y \in f\left[f^{-1}(B)\right]$$. Entonces$$y = f(x)$$ para algunos$$x \in f^{-1}(B)$$. Pero entonces$$y = f(x) \in B$$. Por el contrario supongamos que$$f$$ es sobre y$$y \in B$$. Existen$$x \in S$$ con$$f(x) = y$$. De ahí$$x \in f^{-1}(B)$$ y así$$y \in f\left[f^{-1}(B)\right]$$.

### Espacios de Funciones Reales

Las funciones de valor real en un conjunto dado$$S$$ son de particular importancia. Las operaciones aritméticas habituales en tales funciones se definen puntualmente.

Supongamos que$$f, \, g: S \to \R$$ y$$c \in \R$$, luego$$f + g, \, f - g, \, f g, \, c f, \, f / g: S \to \R$$ se definen de la siguiente manera para todos$$x \in S$$.

1. $$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$$
2. $$(f - g)(x) = f(x) - g(x)$$
3. $$(f g)(x) = f(x) g(x)$$
4. $$(c f)(x) = c f(x)$$
5. $$(f/g)(x) = f(x) / g(x)$$asumiendo que$$g(x) \ne 0$$ para$$x \in S$$.

Ahora vamos a$$\mathscr V$$ denotar la colección de todas las funciones desde el conjunto dado$$S$$ en$$\R$$. Un hecho muy importante tanto en probabilidad como en otras ramas de análisis es que$$\mathscr V$$, con suma y multiplicación escalar como se definió anteriormente, es un espacio vectorial. La función cero$$\bs 0$$ está definida, por supuesto, por$$\bs{0}(x) = 0$$ para todos$$x \in S$$.

$$(\mathscr V, +, \cdot)$$es un espacio vectorial sobre$$\R$$. Es decir, para todos$$f, \, g, \, h \in \mathscr V$$ y$$a, \, b \in \R$$

1. $$f + g = g + f$$, la propiedad conmutativa de la adición de vectores.
2. $$f + (g + h) = (f + g) + h$$, la propiedad asociativa de la adición de vectores.
3. $$a(f + g) = a f + a g$$, la multiplicación escalar se distribuye sobre la adición de vectores.
4. $$(a + b)f = a f + b f$$, multiplicación escalar distributiva sobre adición escalar.
5. $$f + \bs 0 = f$$, la existencia de un vector cero.
6. $$f + (-f) = \bs 0$$, la existencia de inversas aditivas.
7. $$1 \cdot f = f$$, la propiedad de la unidad.
Prueba

Cada una de estas propiedades se desprende de la propiedad correspondiente en$$\R$$.

Varios subespacios de$$\mathscr V$$ son importantes en probabilidad también. Volveremos a la discusión de espacios vectoriales de funciones en las secciones sobre órdenes parciales y en las secciones avanzadas sobre espacios métricos y teoría de medidas.

Para nuestra siguiente discusión, supongamos que ese$$S$$ es el conjunto universal, de manera que todos los demás conjuntos mencionados sean subconjuntos de$$S$$.

Supongamos que$$A \subseteq S$$. La función indicadora de$$A$$ es la función$$\bs{1}_A: S \to \{0, 1\}$$ definida de la siguiente manera:$\bs{1}_A(x) = \begin{cases} 1, & x \in A \\ 0, & x \notin A \end{cases}$

Así, la función indicadora de$$A$$ simplemente indica si$$x \in A$$ para cada uno o no$$x \in S$$. Por el contrario, cualquier función en$$S$$ eso solo toma los valores 0 y 1 es una función indicadora.

Si$$f: S \to \{0, 1\}$$ entonces$$f$$ es la función indicadora del conjunto$$A = f^{-1}\{1\} = \{x \in S: f(x) = 1\}$$.

Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre$$\mathscr{P}(S)$$, el conjunto de potencia de$$S$$, y la colección de funciones de indicador$$\{0, 1\}^S$$. El siguiente resultado muestra cómo el álgebra conjunto de subconjuntos corresponde al álgebra aritmética de las funciones del indicador.

Supongamos que$$A, \, B \subseteq S$$. Entonces

1. $$\bs{1}_{A \cap B} = \bs{1}_A \, \bs{1}_B = \min\left\{\bs{1}_A, \bs{1}_B\right\}$$
2. $$\bs{1}_{A \cup B} = 1 - \left(1 - \bs{1}_A\right)\left(1 - \bs{1}_B\right) = \max\left\{\bs{1}_A, \bs{1}_B\right\}$$
3. $$\bs{1}_{A^c} = 1 - \bs{1}_A$$
4. $$\bs{1}_{A \setminus B} = \bs{1}_A \left(1 - \bs{1}_B\right)$$
5. $$A \subseteq B$$si y solo si$$\bs{1}_A \le \bs{1}_B$$
Prueba
1. Tenga en cuenta que ambas funciones a la derecha solo toman los valores 0 y 1. Además,$$\bs{1}_A(x) \bs{1}_B(x) = \min\left\{\bs{1}_A(x), \bs{1}_B(x)\right\} = 1$$ si y sólo si$$x \in A$$ y$$x \in B$$.
2. Tenga en cuenta que ambas funciones a la derecha solo toman los valores 0 y 1. Además,$$1 - \left(1 - \bs{1}_A(x)\right)\left(1 - \bs{1}_B(x)\right) = \max\left\{\bs{1}_A(x), \bs{1}_B(x)\right\} = 1$$ si y sólo si$$x \in A$$ o$$x \in B$$.
3. Tenga en cuenta que$$1 - \bs{1}_A$$ solo toma los valores 0 y 1. Además,$$1 - \bs{1}_A(x) = 1$$ si y sólo si$$x \notin A$$.
4. Obsérvese que$$\bs{1}_{A \setminus B} = \bs{1}_{A \cap B^c} = \bs{1}_A \bs{1}_{B^c} = \bs{1}_A \left(1 - \bs{1}_B\right)$$ por las partes (a) y (c).
5. Dado que ambas funciones solo toman los valores 0 y 1, tenga en cuenta que$$\bs{1}_A \le \bs{1}_B$$ si y sólo si$$\bs{1}_A(x) = 1$$ implica$$\bs{1}_B(x) = 1$$. Pero a su vez, esto equivale a$$A \subseteq B$$.

Los resultados de la parte (a) se extienden a las intersecciones arbitrarias y los resultados en la parte (b) se extienden a las uniones arbitrarias.

Supongamos que$$\{A_i: i \in I\}$$ es una colección de subconjuntos de$$S$$, donde$$I$$ es un conjunto de índices no vacíos. Entonces

1. $$\bs{1}_{\bigcap_{i \in I} A_i} = \prod_{i \in I} \bs{1}_{A_i} = \min\left\{\bs{1}_{A_i}: i \in I\right\}$$
2. $$\bs{1}_{\bigcup_{i \in I} A_i} = 1 - \prod_{i \in I}\left(1 - \bs{1}_{A_i}\right) = \max\left\{\bs{1}_{A_i}: i \in I\right\}$$
Prueba

En general, un producto sobre un conjunto infinito de índices puede no tener sentido. Pero si todos los factores son 0 o 1, como están aquí, entonces simplemente podemos definir que el producto sea 1 si todos los factores son 1, y 0 de lo contrario.

1. Las funciones en el medio y a la derecha simplemente toman los valores 0 y 1. Además, ambos toman el valor 1 en$$x \in S$$ si y solo si$$x \in A_i$$ por cada$$i \in I$$.
2. Las funciones en el medio y a la derecha simplemente toman los valores 0 y 1. Además, ambos toman el valor 1 en$$x \in S$$ si y sólo si$$x \in A_i$$ para algunos$$i \in I$$.

### Multisets

Un multiset es como un conjunto ordinario, excepto que los elementos pueden repetirse. Un multiconjunto$$A$$ (con elementos de un conjunto universal$$S$$) puede asociarse de manera única con su función de multiplicidad$$m_A: S \to \N$$, donde$$m_A(x)$$ está el número de veces que ese elemento$$x$$ está en$$A$$ para cada uno$$x \in S$$. Entonces, la función de multiplicidad de un multiconjunto juega el mismo papel que una función indicadora hace para un conjunto ordinario. Los multiconjuntos surgen de forma natural cuando se muestrean objetos con reemplazo (pero sin importar el orden) de una población. Se exploran diversos modelos de muestreo en la sección de Estructuras Combinatorias. No entraremos en detalles sobre las operaciones en multisets, pero las definiciones son generalizaciones directas de las de conjuntos ordinarios.

Supongamos que$$A$$ y$$B$$ son multiconjuntos con elementos del conjunto universal$$S$$. Entonces

1. $$A \subseteq B$$si y solo si$$m_A \le m_B$$
2. $$m_{A \cup B} = \max\{m_A, m_B\}$$
3. $$m_{A \cap B} = \min\{m_A, m_B\}$$
4. $$m_{A + B} = m_A + m_B$$

### Espacios de Productos

Usando funciones, podemos generalizar los productos cartesianos estudiados anteriormente. En esta discusión, suponemos que$$S_i$$ es un conjunto para cada uno$$i$$ en un conjunto de índices no vacíos$$I$$.

Definir el conjunto de productos$\prod_{i \in I} S_i = \left\{x: x \text{ is a function from } I \text{ into } \bigcup_{i \in I} S_i \text{ such that } x(i) \in S_i \text{ for each } i \in I\right\}$

Tenga en cuenta que a excepción de no estar vacío, no existen supuestos sobre la cardinalidad del conjunto de índices$$I$$. Por supuesto, si$$I = \{1, 2 \ldots, n\}$$ para algunos$$n \in \N_+$$, o si$$I = \N_+$$ entonces esta construcción se reduce a$$S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n$$ y a$$S_1 \times S_2 \times \cdots$$, respectivamente. Como queremos que la notación se parezca más a la de los productos cartesianos simples, escribiremos$$x_i$$ en lugar de$$x(i)$$ para el valor de la función$$x$$ at$$i \in I$$, y a veces nos referimos a este valor como la coordenada$$i$$ th de$$x$$. Por último, tenga en cuenta que si$$S_i = S$$ para cada uno$$i \in I$$, entonces$$\prod_{i \in I} S_i$$ es simplemente el conjunto de todas las funciones desde$$I$$ dentro$$S$$, que denotamos por$$S^I$$ arriba.

Para$$j \in I$$ definir la proyección$$p_j: \prod_{i \in I} S_i \to S_j$$ por$$p_j(x) = x_j$$ for$$x \in \prod_{i \in I} S_i$$.

Así$$p_j(x)$$ es solo la coordenada$$j$$ th de$$x$$. Las proyecciones son de importancia básica para los espacios de producto. En particular, tenemos una mejor manera de ver las proyecciones de un subconjunto de un conjunto de productos.

Para$$A \subseteq \prod_{i \in I} S_i$$ y$$j \in I$$, la imagen hacia adelante$$p_j(A)$$ es la proyección de$$A$$ sobre$$S_j$$.

Prueba

Tenga en cuenta que$$p_j(A) = \{p_j(x): x \in A\} = \{x_j: x \in A\}$$, el conjunto de todas las coordenadas$$j$$ th de los puntos en$$A$$.

Entonces las propiedades de proyección que estudiamos en la última sección son solo casos especiales de las propiedades de las imágenes hacia adelante. Las proyecciones también nos permiten obtener funciones de coordenadas de una manera sencilla.

Supongamos que$$R$$ es un conjunto, y eso$$f: R \to \prod_{i \in I} S_i$$. Si$$j \in I$$ entonces$$p_j \circ f : R \to S_j$$ es la función de coordenada$$j$$ th de$$f$$.

Prueba

Tenga en cuenta que para$$x \in R$$$$(p_j \circ f)(x) = p_j[f(x)] = f_j(x)$$,, la coordenada$$j$$ th de$$f(x) \in \prod_{i \in I} S_i$$.

Esto parecerá más familiar para un producto cartesiano simple. Si$$f: R \to S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n$$, entonces,$$f = (f_1, f_2, \ldots, f_n)$$ ¿dónde$$f_j: R \to S_i$$ está la función de coordenadas$$j$$ th para$$j \in \{1, 2, \ldots, n\}$$.

Las secciones transversales de un subconjunto de un conjunto de productos se pueden expresar en términos de imágenes inversas de una función. Primero necesitamos alguna notación adicional. Supongamos que nuestro conjunto de índices$$I$$ tiene al menos dos elementos. Para$$j \in I$$ y$$u \in S_j$$, definir$$j_u : \prod_{i \in I - \{j\}} S_i \to \prod_{i \in I} S_i$$ por$$j_u (x) = y$$ donde$$y_i = x_i$$ para$$i \in I - \{j\}$$ y$$y_j = u$$. En palabras,$$j_u$$ toma un punto$$x \in \prod_{i \in I - \{j\}} S_i$$ y asigna coordinar$$u$$$$j$$ para producir el punto$$y \in \prod_{i \in I} S_i$$.

En el ajuste anterior, si$$j \in I$$,$$u \in S_j$$ y$$A \subseteq \prod_{i \in I} S_i$$ entonces$$j_u^{-1}(A)$$ es la sección transversal de$$A$$ en la coordenada$$j$$ th en$$u$$.

Prueba

Esto se desprende de la definición de sección transversal:$$j_u^{-1}(A)$$ es el conjunto de todos los$$x \in \prod_{i \in I - \{j\}} S_i$$ tales que$$y$$ se definió anteriormente está en$$A$$ y tiene$$j$$ th coordenada$$u$$.

Veamos esto para el producto de dos juegos$$S$$ y$$T$$. Para$$x \in S$$, la función$$1_x: T \to S \times T$$ viene dada por$$1_x(y) = (x, y)$$. Del mismo modo$$y \in T$$, para, la función$$2_y: S \to S \times T$$ viene dada por$$2_y(x) = (x, y)$$. Supongamos ahora eso$$A \subseteq S \times T$$. Si$$x \in S$$, entonces$$1_x^{-1}(A) = \{y \in T: (x, y) \in A\}$$, la definición misma de la sección transversal de$$A$$ en la primera coordenada en$$x$$. Del mismo modo$$y \in T$$, si$$2_y^{-1}(A) = \{x \in S: (x, y) \in A\}$$, entonces, la definición misma de la sección transversal de$$A$$ en la segunda coordenada en$$y$$. Esta construcción no es particularmente importante excepto para mostrar que las secciones transversales son imágenes inversas. Así, el hecho de que las secciones transversales conserven todas las operaciones establecidas es una consecuencia simple del hecho de que las imágenes inversas generalmente conservan las operaciones de conjunto.

A veces las funciones tienen interpretaciones especiales en ciertos escenarios.

Supongamos que$$S$$ es un conjunto.

1. Una función a veces$$f: S \to S$$ se llama operador unario encendido$$S$$.
2. Una función a veces$$g: S \times S \to S$$ se llama un operador binario en$$S$$.

Como sugieren los nombres, un operador unario$$f$$ opera sobre un elemento$$x \in S$$ para producir un nuevo elemento$$f(x) \in S$$. Del mismo modo, un operador binario$$g$$ opera sobre un par de elementos$$(x, y) \in S \times S$$ para producir un nuevo elemento$$g(x, y) \in S$$. Los operadores aritméticos son ejemplos por excelencia:

Los siguientes son operadores en$$\R$$:

1. $$\text{minus}(x) = -x$$es un operador unario.
2. $$\text{sum}(x, y) = x + y$$es un operador binario.
3. $$\text{product}(x, y) = x\,y$$es un operador binario.
4. $$\text{difference}(x, y) = x - y$$es un operador binario.

Para un conjunto universal fijo$$S$$, los operadores de conjuntos estudiados en la sección de Conjuntos proporcionan otros ejemplos.

Para un conjunto dado$$S$$, los siguientes son operadores en$$\mathscr P(S)$$:

1. $$\text{complement}(A) = A^c$$es un operador unario.
2. $$\text{union}(A, B) = A \cup B$$es un operador binario.
3. $$\text{intersect}(A, B) = A \cap B$$es un operador binario.
4. $$\text{difference}(A, B) = A \setminus B$$es un operador binario.

Como ilustran estos ejemplos, un operador binario a menudo se escribe como$$x \, f \, y$$ en lugar de$$f(x, y)$$. Aún así, es útil saber que los operadores son simplemente funciones de un tipo especial.

Supongamos que$$f$$ es un operador unario en un conjunto$$S$$,$$g$$ es un operador binario encendido$$S$$, y eso$$A \subseteq S$$.

1. $$A$$se cierra bajo$$f$$ si$$x \in A$$ implica$$f(x) \in A$$.
2. $$A$$se cierra bajo$$g$$ si$$(x, y) \in A \times A$$ implica$$g(x, y) \in A$$.

Por lo tanto si$$A$$ se cierra bajo el operador unario$$f$$, entonces$$f$$ restringido a$$A$$ es unario operador encendido$$A$$. Similario si$$A$$ se cierra bajo el operador binario$$g$$, entonces$$g$$ restringido a$$A \times A$$ es un operador binario encendido$$A$$. Volvamos a nuestro ejemplo más básico.

Para los operatos aritméticos sobre$$\R$$,

1. $$\N$$se cierra bajo plus y times, pero no bajo menos y diferencia.
2. $$\Z$$se cierra bajo más, tiempos, menos y diferencia.
3. $$\Q$$se cierra bajo más, tiempos, menos y diferencia.

Muchas propiedades con las que está familiarizado para operadores especiales (como los operadores aritméticos y conjuntos) ahora se pueden formular de manera general.

Supongamos que$$f$$ y$$g$$ son operadores binarios en un conjunto$$S$$. En las siguientes definiciones,$$x$$,$$y$$, y$$z$$ son elementos arbitrarios de$$S$$.

1. $$f$$es conmutativa si$$f(x, y) = f(y, x)$$, es decir,$$x \, f \, y = y \, f \, x$$
2. $$f$$es asociativo si$$f(x, f(y, z)) = f(f(x, y), z)$$, es decir,$$x \, f \, (y \, f \, z) = (x \, f \, y) \, f \, z$$.
3. $$g$$distribuye sobre$$f$$ (a la izquierda) si$$g(x, f(y, z)) = f(g(x, y), g(x, z))$$, es decir,$$x \, g \, (y \, f \, z) = (x \, g \, y) \, f \, (x \, g \, z)$$

## El axioma de la elección

Supongamos que$$\mathscr{S}$$ es una colección de subconjuntos no vacíos de un conjunto$$S$$. El axioma de elección establece que existe una función$$f: \mathscr{S} \to S$$ con la propiedad que$$f(A) \in A$$ para cada uno$$A \in \mathscr{S}$$. La función$$f$$ se conoce como función de elección.

Despojado de la mayor parte de la jerga matemática, la idea es muy sencilla. Dado que cada conjunto no$$A \in \mathscr{S}$$ está vacío, podemos seleccionar un elemento de$$A$$; llamaremos al elemento que seleccionamos$$f(A)$$ y así nuestras selecciones definen una función. De hecho, tal vez te preguntes por qué necesitamos un axioma en absoluto. El problema es que no hemos dado una regla (o procedimiento o algoritmo) para seleccionar los elementos de los conjuntos en la colección. En efecto, puede que no sepamos lo suficiente sobre los conjuntos de la colección para definir una regla específica, por lo que en tal caso, el axioma de elección simplemente garantiza la existencia de una función de elección. Algunos matemáticos, conocidos como construccionistas, no aceptan el axioma de la elección, e insisten en reglas bien definidas para construir funciones.

Una buena consecuencia del axioma de elección es un tipo de dualidad entre funciones uno-a-uno y sobre funciones.

Supongamos que$$f$$ es una función de un$$S$$ conjunto a un conjunto$$T$$. Existe una función uno a uno$$g$$ desde$$T$$ dentro$$S$$.

Comprobante.

Para cada uno$$y \in T$$, el conjunto no$$f^{-1}\{y\}$$ está vacío, ya que$$f$$ está encendido. Por el axioma de elección, podemos seleccionar un elemento$$g(y)$$ de$$f^{-1}\{y\}$$ para cada uno$$y \in T$$. La función resultante$$g$$ es uno a uno.

Supongamos que$$f$$ es una función uno a uno de un conjunto$$S$$ a un conjunto$$T$$. Existe una función$$g$$ de a partir$$T$$ de$$S$$.

Comprobante.

Fijar un elemento especial$$x_0 \in S$$. Si$$y \in \text{range}(f)$$, existe un único$$x \in S$$ con$$f(x) = y$$. Definir$$g(y) = x$$. Si$$y \notin \text{range}(f)$$, defina$$g(y) = x_0$$. La función$$g$$ está en.

## Ejercicios Computacionales

### Algunas funciones elementales

Cada una de las siguientes reglas define una función de$$\R$$ a$$\R$$.

• $$f(x) = x^2$$
• $$g(x) = \sin(x)$$
• $$h(x) = \lfloor x \rfloor$$
• $$u(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$$

Encuentre el rango de la función y determine si la función es uno a uno en cada uno de los siguientes casos:

1. $$f$$
2. $$g$$
3. $$h$$
4. $$u$$
Contestar
1. Rango$$[0, \infty)$$. No uno a uno.
2. Rango$$[-1, 1]$$. No uno a uno.
3. Rango$$\Z$$. No uno a uno.
4. Rango$$(0, 1)$$. Uno a uno.

Encuentra las siguientes imágenes inversas:

1. $$f^{-1}[4, 9]$$
2. $$g^{-1}\{0\}$$
3. $$h^{-1}\{2, 3, 4\}$$
Contestar
1. $$[-3, -2] \cup [2, 3]$$
2. $$\{n \, \pi: n \in \Z\}$$
3. $$[2, 5)$$

La función$$u$$ es uno a uno. Encontrar (es decir, dar el dominio y regla para) la función inversa$$u^{-1}$$.

Contestar

$$u^{-1}(p) = \ln\left(\frac{p}{1-p}\right)$$para$$p \in (0, 1)$$

Dar la regla y encontrar el rango para cada una de las siguientes funciones:

1. $$f \circ g$$
2. $$g \circ f$$
3. $$h \circ g \circ f$$
Contestar
1. $$(f \circ g)(x) = \sin^2(x)$$. Rango$$[0, 1]$$
2. $$(g \circ f)(x) = \sin\left(x^2\right)$$. Rango$$[-1, 1]$$
3. $$(h \circ g \circ f)(x) = \lfloor \sin(x^2) \rfloor$$. Rango$$\{-1, 0, 1\}$$

Tenga en cuenta que$$f \circ g$$ y$$g \circ f$$ son funciones bien definidas desde$$\R$$ dentro$$\R$$, pero$$f \circ g \ne g \circ f$$.

Vamos$$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^2$$. Este es el conjunto de posibles resultados cuando se lanza un par de dados estándar. Dejar$$f$$,$$g$$,$$u$$, y$$v$$ ser las funciones desde$$S$$ dentro$$\Z$$ definidas por las siguientes reglas:

• $$f(x, y) = x + y$$
• $$g(x, y) = y - x$$
• $$u(x, y) = \min\{x, y\}$$
• $$v(x, y) = \max\{x, y\}$$

Además, dejar$$F$$ y$$U$$ ser las funciones definidas por$$F = (f, g)$$ y$$U = (u, v)$$.

Encuentra el rango de cada una de las siguientes funciones:

1. $$f$$
2. $$g$$
3. $$u$$
4. $$v$$
5. $$U$$
Contestar
1. $$\{2, 3, 4, \ldots, 12\}$$
2. $$\{-5, -4, \ldots, 4, 5\}$$
3. $$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$
4. $$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$
5. $$\left\{(i, j) \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^2: i \le j\right\}$$

Dar cada una de las siguientes imágenes inversas en forma de lista:

1. $$f^{-1}\{6\}$$
2. $$u^{-1}\{3\}$$
3. $$v^{-1}\{4\}$$
4. $$U^{-1}\{(3, 4)\}$$
Contestar
1. $$\{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)\}$$
2. $$\{(3,3), (3,4), (4,3), (3,5), (5,3), (3,6), (6,3)\}$$
3. $$\{(1,4), (4,1), (2,4), (4,2), (3,4), (4,3), (4,4)\}$$
4. $$\{(3,4), (4,3)\}$$

Encuentra cada una de las siguientes composiciones:

1. $$f \circ U$$
2. $$g \circ U$$
3. $$u \circ F$$
4. $$v \circ F$$
5. $$F \circ U$$
6. $$U \circ F$$
Contestar
1. $$f \circ U = f$$
2. $$g \circ U = \left|g\right|$$
3. $$u \circ F = g$$
4. $$v \circ F = f$$
5. $$F \circ U = \left(f, \left|g\right|\right)$$
6. $$U \circ F = (g, f)$$

Tenga en cuenta que si bien$$f \circ U$$ está bien definido, no lo$$U \circ f$$ es. Obsérvese también que$$f \circ U = f$$ aunque no$$U$$ sea la función de identidad encendida$$S$$.

### Cuerdas de bits

Dejar$$n \in \N_+$$ y dejar$$S = \{0, 1\}^n$$ y$$T = \{0, 1, \ldots, n\}$$. Recordemos que los elementos de$$S$$ son cadenas de bits de longitud$$n$$, y podrían representar los posibles resultados de$$n$$ tiradas de una moneda (donde 1 significa cabezas y 0 significa colas). Dejar$$f: S \to T$$ ser la función definida por$$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^n x_i$$. Tenga en cuenta que$$f(\bs{x})$$ es solo el número de 1s en la cadena de bits$$\bs{x}$$. $$g: T \to S$$Sea la función definida por$$g(k) = \bs{x}_k$$ donde$$\bs{x}_k$$ denota la cadena de bits con$$k$$ 1s seguida de$$n - k$$ 0s.

Encuentra cada uno de los siguientes

1. $$f \circ g$$
2. $$g \circ f$$
Contestar
1. $$f \circ g: T \to T$$y$$\left(f \circ g\right)(k) = k$$.
2. $$g \circ f: S \to S$$y$$\left(g \circ f\right)(\bs{x}) = \bs{x}_k$$ dónde$$k = f(\bs{x}) = \sum_{i=1}^n x_i$$. En palabras,$$\left(g \circ f\right)(\bs{x})$$ es la cadena de bits con el mismo número de 1s que$$\bs{x}$$, pero reordenada para que todos los 1s lleguen primero.

En el ejercicio anterior, señalar que$$f \circ g$$ y ambos$$g \circ f$$ están bien definidos, pero tienen dominios diferentes, y así desde luego no son los mismos. Tenga en cuenta también que$$f \circ g$$ es la función de identidad en$$T$$, pero no$$f$$ es la inversa de$$g$$. Efectivamente no$$f$$ es uno a uno, y por lo tanto no tiene una inversa. Sin embargo,$$f$$ restringido a$$\left\{\bs{x}_k: k \in T\right\}$$ (el rango de$$g$$) es uno a uno y es el inverso de$$g$$.

Vamos$$n = 4$$. Dar$$f^{-1}(\{k\})$$ en forma de lista para cada uno$$k \in T$$.

Contestar
1. $$f^{-1}(\{0\}) = \{0000\}$$
2. $$f^{-1}(\{1\}) = \{1000, 0100, 0010, 0001\}$$
3. $$f^{-1}(\{2\}) = \{1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011\}$$
4. $$f^{-1}(\{3\}) = \{1110, 1101, 1011, 0111\}$$
5. $$f^{-1}(\{4\}) = \{1111\}$$

Otra vez vamos$$n = 4$$. Dejar$$A = \{1000, 1010\}$$ y$$B = \{1000, 1100\}$$. Dar cada uno de los siguientes en forma de lista:

1. $$f(A)$$
2. $$f(B)$$
3. $$f(A \cap B)$$
4. $$f(A) \cap f(B)$$
5. $$f^{-1}\left(f(A)\right)$$
Contestar
1. $$\{1, 2\}$$
2. $$\{1, 2\}$$
3. $$\{1\}$$
4. $$\{1, 2\}$$
5. $$\{1000, 0100, 0010, 0001, 1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011\}$$

En el ejercicio anterior, señalar que$$f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$$ y$$A \subset f^{-1}\left(f(A)\right)$$.

Supongamos que$$A$$ y$$B$$ son subconjuntos de un conjunto universal$$S$$. Expresar, en términos de$$\bs{1}_A$$ y$$\bs{1}_B$$, la función indicadora de cada uno de los 14 conjuntos no triviales que se pueden construir a partir de$$A$$ y$$B$$. Use la aplicación Diagrama Venn para ayudar.

Contestar
1. $$\bs{1}_A$$
2. $$\bs{1}_B$$
3. $$\bs{1}_{A^c} = 1 - \bs{1}_A$$
4. $$\bs{1}_{B^c} = 1 - \bs{1}_B$$
5. $$\bs{1}_{A \cap B} = \bs{1}_A \bs{1}_B$$
6. $$\bs{1}_{A \cup B} = \bs{1}_A + \bs{1}_B - \bs{1}_A \bs{1}_B$$
7. $$\bs{1}_{A \cap B^c} = \bs{1}_A - \bs{1}_A \bs{1}_B$$
8. $$\bs{1}_{B \cap A^c} = \bs{1}_B - \bs{1}_A \bs{1}_B$$
9. $$\bs{1}_{A \cup B^c} = 1 - \bs{1}_B + \bs{1}_A \bs{1}_B$$
10. $$\bs{1}_{B \cup A^c} = 1 - \bs{1}_A + \bs{1}_A \bs{1}_B$$
11. $$\bs{1}_{A^c \cap B^c} = 1 - \bs{1}_A - \bs{1}_B + \bs{1}_A \bs{1}_B$$
12. $$\bs{1}_{A^c \cup B^c} = 1 - \bs{1}_A \bs{1}_B$$
13. $$\bs{1}_{(A \cap B^c) \cup (B \cap A^c)} = \bs{1}_A + \bs{1}_B - 2 \bs{1}_A \bs{1}_B$$
14. $$\bs{1}_{(A \cap B) \cup (A^c \cap B^c)} = 1 - \bs{1}_A - \bs{1}_B + 2 \bs{1}_A \bs{1}_B$$

Supongamos que$$A$$$$B$$,, y$$C$$ son subconjuntos de un conjunto universal$$S$$. Dar la función indicadora de cada uno de los siguientes, en términos de$$\bs{1}_A$$$$\bs{1}_B$$, y$$\bs{1}_C$$ en forma suma-producto:

1. $$D = \{ x \in S: x \text{ is an element of exactly one of the given sets}\}$$
2. $$E = \{ x \in S: x \text{ is an element of exactly two of the given sets}\}$$
Contestar
1. $$\bs{1}_D = \bs{1}_A + \bs{1}_B + \bs{1}_C - 2 \left(\bs{1}_A \bs{1}_B + \bs{1}_A \bs{1}_C + \bs{1}_B \bs{1}_C\right) + 3 \bs{1}_A \bs{1}_B \bs{1}_C$$
2. $$\bs{1}_E = \bs{1}_A \bs{1}_B + \bs{1}_A \bs{1}_C + \bs{1}_B \bs{1}_C - 3 \bs{1}_A \bs{1}_B \bs{1}_C$$

Recordemos los operadores aritméticos estándar sobre$$\R$$ discutidos anteriormente.

Todos sabemos que la suma es conmutativa y asociativa, y ese producto distribuye sobre la suma.

1. ¿La diferencia es conmutativa?
2. ¿La diferencia es asociativa?
3. ¿El producto distribuye sobre la diferencia?
4. ¿La suma se distribuye sobre el producto?
Contestar
1. No. $$x - y \ne y - x$$
2. No. $$x - (y - z) \ne (x - y) - z$$
3. Sí. $$x (y - z) = (x y) - (x z)$$
4. No. $$x + (y z) \ne (x + y) (x + z)$$

### Multisets

Expresar el multiconjunto$$A$$ en forma de lista que tiene la función de multiplicidad$$m: \{a, b, c, d, e\} \to \N$$ dada por$$m(a) = 2$$,$$m(b) = 3$$,$$m(c) = 1$$,$$m(d) = 0$$,$$m(e) = 4$$.

Contestar

$$A = \{a, a, b, b, b, c, e, e, e, e\}$$

Exprese los factores primos de 360 como multiset en forma de lista.

Contestar

$$\{2, 2, 2, 3, 3, 5\}$$

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