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# 1.7: Medida de conteo

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## Teoría Básica

Para nuestra primera discusión, asumimos que el conjunto universal$$S$$ es finito. Recordemos la siguiente definición de la sección sobre cardinalidad.

Porque$$A \subseteq S$$, la cardinalidad de$$A$$ es el número de elementos en$$A$$, y se denota$$\#(A)$$. La función$$\#$$ on$$\mathscr{P}(S)$$ se llama medida de conteo.

La medida de conteo juega un papel fundamental en las estructuras de probabilidad discretas, y particularmente aquellas que involucran muestreo de un conjunto finito. El conjunto$$S$$ suele ser muy grande, por lo tanto, los métodos eficientes de conteo son esenciales. El primer problema combinatorio se atribuye al matemático griego Xenocrates.

En muchos casos, un conjunto de objetos se puede contar estableciendo una correspondencia uno a uno entre el conjunto dado y algún otro conjunto. Naturalmente, los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos, pero por diversas razones, el segundo conjunto puede ser más fácil de contar.

### La regla de adición

La regla de adición de la combinatoria es simplemente el axioma de aditividad de la medida de conteo.

Si$$\{A_1, A_2, \ldots, A_n\}$$ es una colección de subconjuntos disjuntos de$$S$$ entonces$\#\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{i=1}^n \#(A_i)$

Las siguientes reglas de conteo son simples consecuencias de la regla de adición. Asegúrate de probar las pruebas tú mismo antes de leer las que aparecen en el texto.

$$\#(A^c) = \#(S) - \#(A)$$. Esta es la regla del complemento.

Prueba

$$\#(B \setminus A) = \#(B) - \#(A \cap B)$$. Esta es la regla de la diferencia.

Prueba

Tenga en cuenta que$$A \cap B$$ y$$B \setminus A$$ son disjuntos y su unión es$$B$$. De ahí$$\#(A \cap B) + \#(B \setminus A) = \#(B)$$.

Si$$A \subseteq B$$ entonces$$\#(B \setminus A) = \#(B) - \#(A)$$. Esta es la regla de diferencia propiamente dicha.

Prueba

Esto se desprende de la regla de diferencia, ya que$$A \cap B = A$$.

Si$$A \subseteq B$$ entonces$$\#(A) \le \#(B)$$.

Prueba

Esto se desprende de la regla de diferencia adecuada:$$\#(B) = \#(A) + \#(B \setminus A) \ge \#(A)$$.

Así,$$\#$$ es una función creciente, relativa al orden parcial del subconjunto$$\subseteq$$ encendido$$\mathscr{P}(S)$$, y el orden ordinario$$\le$$ encendido$$\N$$.

### Desigualdades

Nuestra siguiente disusión se refiere a dos desigualdades que son útiles para obtener límites en el número de elementos en un conjunto. El primero es la desigualdad de Boole (que lleva el nombre de George Boole) que da un límite superior a la cardinalidad de una unión.

Si$$\{A_1, A_2, \ldots, A_n\}$$ es una colección finita de subconjuntos de$$S$$ entonces$\#\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \le \sum_{i=1}^n \#(A_i)$

Prueba

Dejar$$B_1 = A_1$$ y$$B_i = A_i \setminus (A_1 \cup \cdots A_{i-1})$$ para$$i \in \{2, 3, \ldots, n\}$$. Tenga en cuenta que$$\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}$$ es una colección disjunta por pares y tiene la misma unión que$$\{A_1, A_2, \ldots, A_n\}$$. A partir de la creciente propiedad,$$\#(B_i) \le \#(A_i)$$ para cada uno$$i \in \{1, 2, \ldots, n\}$$. De ahí que por la regla de la adición,$\#\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \#\left(\bigcup_{i=1}^n B_i\right) \le \sum_{i=1}^n \#(A_i)$

Intuitivamente, la desigualdad de Boole se mantiene porque partes del sindicato se han contado más de una vez en la expresión de la derecha. La segunda desigualdad es la desigualdad de Bonferroni (llamada así por Carlo Bonferroni), que da un límite inferior a la cardinalidad de una intersección.

Si$$\{A_1, A_2, \ldots, A_n\}$$ es una colección finita de subconjuntos de$$S$$ entonces$\#\left( \bigcap_{i=1}^n A_i \right) \ge \#(S) - \sum_{i=1}^n [\#(S) - \#(A_i)]$

Prueba

Usando la regla del complemento, la desigualdad de Boole y la ley de DeMorgan,$\#\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) = \#(S) - \#\left(\bigcup_{i=1}^n A_i^c\right) \ge \#(S) - \sum_{i=1}^n \#(A_i^c) = \#(S) - \sum_{i=1}^n [\#(S) - \#(A_i)]$

### La fórmula de inclusión-exclusión

La fórmula inclusión-exclusión da la cardinalidad de una unión de conjuntos en términos de la cardinalidad de las diversas intersecciones de los conjuntos. La fórmula es útil porque las intersecciones suelen ser más fáciles de contar. Comenzamos con los casos especiales de dos conjuntos y tres conjuntos. Como es habitual, suponemos que los conjuntos son subconjuntos de un conjunto universal finito$$S$$.

Si$$A$$ y$$B$$ son subconjuntos de$$S$$ entonces$$\#(A \cup B) = \#(A) + \#(B) - \#(A \cap B)$$.

Prueba

Si$$A$$,$$B$$,$$C$$ son subconjuntos de$$S$$ entonces$$\#(A \cup B \cup C) = \#(A) + \#(B) + \#(C) - \#(A \cap B) - \#(A \cap C) - \#(B \cap C) + \#(A \cap B \cap C)$$.

Prueba

La regla de inclusión-exclusión para dos y tres conjuntos puede generalizarse a una unión de$$n$$ conjuntos; la generalización se conoce como la fórmula (general) de inclusión-exclusión.

Supongamos que$$\{A_i: i \in I\}$$ es una colección de subconjuntos de$$S$$ donde$$I$$ es un conjunto de índices con$$\#(I) = n$$. Entonces$\# \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) = \sum_{k = 1}^n (-1)^{k - 1} \sum_{J \subseteq I, \; \#(J) = k} \# \left( \bigcap_{j \in J} A_j \right)$

Prueba

La prueba es por inducción en$$n$$. La fórmula se mantiene para$$n = 2$$ conjuntos por el resultado para dos conjuntos. Supongamos que la fórmula se mantiene para$$n \in \{2, 3, \ldots\}$$, y supongamos que$$\{A_1, A_2, \ldots, A_n, A_{n+1}\}$$ es una colección de$$n + 1$$ subconjuntos de$$S$$. Entonces$\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i = \left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) \cup \left[A_{n+1} \setminus \left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\right]$ y los dos conjuntos conectados por la unión central son disjuntos. Usando la regla de suma y la regla de diferencia,\ begin {align}\ #\ left (\ bigcup_ {i=1} ^ {n+1} a_i\ right) & =\ #\ left (\ bigcup_ {i=1} ^n a_i\ right) +\ # (A_ {n+1}) -\ #\ left [A_ {n+1}\ cap\ left (\ bigcup_ {i=1} ^n a_i\ derecha)\ derecha]\\ & =\ #\ izquierda (\ bigcup_ {i=1} ^n a_I\ derecha) +\ # (A_ {n+1}) -\ #\ left [\ bigcup_ {i=1} ^n (a_I\ cap A_ {n+1})\ right]\ end {align} Por la hipótesis de inducción, la fórmula se mantiene para las dos uniones de$$n$$ conjuntos en la última expresión. El resultado sigue entonces por simplificación.

Las desigualdades generales de Bonferroni, nombradas nuevamente por Carlo Bonferroni, establecen que si suma a la derecha se trunca después de$$k$$ términos ($$k \lt n$$), entonces la suma truncada es un límite superior para la cardinalidad de la unión si$$k$$ es impar (de manera que el último término tiene un signo positivo) y es un límite inferior para la cardinalidad de la unión si$$k$$ es par (para que los últimos términos tengan un signo negativo).

### La regla de la multiplicación

La regla de multiplicación de la combinatoria se basa en la formulación de un procedimiento (o algoritmo) que genera los objetos a contar.

Supongamos que un procedimiento consiste en$$k$$ pasos, realizados secuencialmente, y que para cada uno$$j \in \{1, 2, \ldots, k\}$$, el paso se$$j$$ puede realizar de$$n_j$$ maneras, independientemente de las elecciones realizadas en los pasos anteriores. Entonces el número de formas de realizar todo el procedimiento es$$n_1 n_2 \cdots n_k$$.

La clave para una aplicación exitosa de la regla de multiplicación a un problema de conteo es la formulación clara de un algoritmo que genere los objetos que se están contando, de manera que cada objeto se genere una vez y sólo una vez. Es decir, no debemos sobrecontar ni subcontar. También es importante notar que el conjunto de opciones disponibles en el paso bien$$j$$ puede depender de los pasos anteriores; la suposición es solo que el número de opciones disponibles no depende de los pasos anteriores.

Los dos primeros resultados a continuación dan formulaciones equivalentes del principio de multiplicación.

Supongamos que$$S$$ es un conjunto de secuencias de longitud$$k$$, y que denotamos un elemento genérico de$$S$$ by$$(x_1, x_2, \ldots, x_k)$$. Supongamos que para cada uno$$j \in \{1, 2, \ldots, k\}$$,$$x_j$$ tiene valores$$n_j$$ diferentes, independientemente de los valores de las coordenadas anteriores. Entonces$$\#(S) = n_1 n_2 \cdots n_k$$.

Prueba

Un procedimiento que genera las secuencias en$$S$$ consiste en$$k$$ pasos. $$j$$El paso es seleccionar la coordenada$$j$$ th.

Supongamos que$$T$$ es un árbol ordenado con profundidad$$k$$ y que cada vértice a nivel$$i - 1$$ tiene$$n_i$$ hijos para$$i \in \{1, 2, \ldots, k\}$$. Entonces el número de puntos finales del árbol es$$n_1 n_2 \cdots n_k$$.

Prueba

Cada punto final del árbol está asociado de manera única con la ruta desde el vértice raíz hasta el punto final. Cada uno de esos caminos es una secuencia de longitud$$k$$, en la que hay$$n_j$$ valores para coordenada$$j$$ para cada uno$$j \in \{1, 2, \ldots, k\}$$. De ahí que el resultado se deduce del resultado anterior sobre secuencias.

### Sets de Productos

Si$$S_i$$ es un conjunto con$$n_i$$ elementos para$$i \in \{1, 2, \ldots, k\}$$ entonces$\#(S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_k) = n_1 n_2 \cdots n_k$

Prueba

Este es un corolario del resultado anterior sobre secuencias.

Si$$S$$ es un conjunto con$$n$$ elementos, entonces$$S^k$$ tiene$$n^k$$ elementos.

Prueba

Esto es un corolario del resultado anterior.

En (16), tenga en cuenta que los elementos de$$S^k$$ pueden considerarse como muestras ordenadas de tamaño$$k$$ que se pueden elegir con reemplazo de una población de$$n$$ objetos. Los elementos de$$\{0, 1\}^n$$ a veces se denominan cadenas de bits de longitud$$n$$. Así, hay cadenas de$$2^n$$ bits de longitud$$n$$.

### Funciones

El número de funciones de un conjunto$$A$$ de$$m$$ elementos en un conjunto$$B$$ de$$n$$ elementos es$$n^m$$.

Prueba

Un algoritmo para construir una función$$f: A \to B$$ es elegir el valor de$$f(x) \in B$$ para cada una$$x \in A$$. Hay$$n$$ opciones para cada uno de los$$m$$ elementos en el dominio.

Recordemos que se denota el conjunto de funciones de un conjunto$$A$$ a un conjunto$$B$$ (independientemente de si los conjuntos son finitos o infinitos)$$B^A$$. Este teorema es la motivación para la notación. Tenga en cuenta también que si$$S$$ es un conjunto con$$n$$ elementos, entonces los elementos en el conjunto de poder cartesiano$$S^k$$ pueden ser pensados como funciones desde$$\{1, 2, \ldots, k\}$$ dentro$$S$$. Entonces, la fórmula de conteo para secuencias puede ser pensada como un corolario de la fórmula de conteo para funciones.

### Subconjuntos

Supongamos que$$S$$ es un conjunto con$$n$$ elementos, donde$$n \in \N$$. Hay$$2^n$$ subconjuntos de$$S$$.

Prueba del principio de multiplicación

Un algoritmo para construir$$A \subseteq S$$, es decidir si$$x \in A$$ o$$x \notin A$$ para cada uno$$x \in S$$. Hay 2 opciones para cada uno de los$$n$$ elementos de$$S$$.

Prueba usando funciones de indicador

Recordemos que existe una correspondencia uno a uno entre los subconjuntos de$$S$$ y las funciones de indicador activadas$$S$$. Una función indicadora es simplemente una función desde$$S$$ dentro$$\{0, 1\}$$, y el número de tales funciones es$$2^n$$ por el resultado anterior.

Supongamos que$$\{A_1, A_2, \ldots A_k\}$$ es una colección de$$k$$ subconjuntos de un conjunto$$S$$, donde$$k \in \N_+$$. Existen$$2^{2^k}$$ diferentes (en general) conjuntos que se pueden construir a partir de los conjuntos$$k$$ dados, utilizando las operaciones de unión, intersección y complemento. Estos conjuntos forman el álgebra generada por los conjuntos dados.

Prueba

Primero tenga en cuenta que hay conjuntos disjuntos por$$2^k$$ pares de la forma$$B_1 \cap B_2 \cap \cdots \cap B_k$$ donde$$B_i = A_i$$ o$$B_i = A_i^c$$ para cada uno$$i$$. A continuación, tenga en cuenta que cada conjunto del que se pueda construir$$\{A_1, A_2, \ldots, A_n\}$$ es una unión de algunos (quizás todos, quizás ninguno) de estos conjuntos de intersección.

Abra la aplicación Diagrama Venn.

1. Seleccione cada uno de los 4 conjuntos disjuntos$$A \cap B$$,$$A \cap B^c$$,$$A^c \cap B$$,$$A^c \cap B^c$$.
2. Seleccione cada uno de los otros 12 subconjuntos de$$S$$. Observe cómo cada uno es una unión de algunos de los conjuntos en (a).

Supongamos que$$S$$ es un conjunto con$$n$$ elementos y que$$A$$ es un subconjunto de$$S$$ con$$k$$ elementos, donde$$n, \, k \in \N$$ y$$k \le n$$. El número de subconjuntos de$$S$$ que contienen$$A$$ es$$2^{n - k}$$.

Prueba

Tenga en cuenta que subconjunto$$B$$ de$$S$$ que contiene se$$A$$ puede escribir de forma única en la forma$$B = A \cup C$$ donde$$C \subseteq A^c$$. $$A^c$$tiene$$n - k$$ elementos y por lo tanto hay$$2^{n-k}$$ subconjuntos de$$A^c$$ por el resultado del subconjunto general.

Nuestro último resultado en esta discusión generaliza el resultado del subconjunto básico anterior.

Supongamos que$$n, \, k \in \N$$ y eso$$S$$ es un conjunto con$$n$$ elementos. El número de secuencias de subconjuntos$$(A_1, A_2, \ldots, A_k)$$ con$$A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots \subseteq A_k \subseteq S$$ es$$(k + 1)^n$$.

Prueba

Para construir una secuencia del tipo en el teorema, podemos usar el siguiente algoritmo: Para cada uno$$x \in S$$, o bien no$$x$$ está en los conjuntos, o$$x$$ ocurre por primera vez en conjunto$$A_i$$ donde$$i \in \{1, 2, \ldots, k\}$$. (Es decir,$$x \notin A_j$$ para$$j \in \{1, \ldots, i - 1\}$$ y$$x \in A_j$$ para$$j \in \{i, \ldots, k\}$$.) Entonces hay$$k + 1$$ opciones para cada uno de los$$n$$ elementos de$$S$$.

Cuando$$k = 1$$ obtenemos$$2^n$$ como el número de subconjuntos de$$S$$, como antes.

## Ejercicios Computacionales

### Números de identificación

Un número de licencia consta de dos letras (mayúsculas) seguidas de cinco dígitos. ¿Cuántos números de licencia diferentes hay?

Contestar

$$26^2 \cdot 10^5 = 67 \, 600 \, 000$$

Supongamos que un Número de Identificación Personal (PIN) es una palabra de código de cuatro símbolos en la que cada entrada es una letra (mayúscula) o un dígito. ¿Cuántos PIN hay?

Contestar

$$36^4 = 1 \, 679 \, 616$$

### Tarjetas, dados y monedas

En el juego de mesa Clue, el señor Boddy ha sido asesinado. Hay 6 sospechosos, 6 posibles armas y 9 posibles cuartos para el asesinato.

1. El juego incluye una carta para cada sospechoso, cada arma y cada habitación. ¿Cuántas tarjetas hay?
2. El resultado del juego es una secuencia que consiste en un sospechoso, un arma y una habitación (por ejemplo, el coronel Mostaza con el cuchillo en la sala de billar). ¿Cuántos resultados hay?
3. Una vez elegidas aleatoriamente las tres cartas que constituyen el resultado, las cartas restantes se reparten a los jugadores. Supongamos que se le reparten 5 cartas. Al tratar de adivinar el resultado, ¿qué mano de cartas sería mejor?
Contestar
1. $$6 + 6 + 9 = 21$$tarjetas
2. $$6 \cdot 6 \cdot 9 = 324$$resultados
3. La mejor mano serían las armas$$5$$ restantes o los sospechosos$$5$$ restantes.

Un experimento consiste en rodar un dado estándar, sacar una carta de una baraja estándar y lanzar una moneda estándar. ¿Cuántos resultados hay?

Contestar

$$6 \cdot 52 \cdot 2 = 624$$

Un dado estándar se enrolla 5 veces y se registra la secuencia de puntuaciones. ¿Cuántos resultados hay?

Contestar

$$6^5 = 7776$$

En el Set de juego de cartas, cada carta tiene 4 propiedades: número (uno, dos o tres), forma (diamante, óvalo o garabato), color (rojo, azul o verde) y sombreado (sólido, abierto o despojado). El mazo tiene una carta de cada configuración (número, forma, color, sombreado). Un conjunto en el juego se define como un conjunto de tres cartas que, por cada propiedad, las cartas son todas iguales o todas diferentes.

1. ¿Cuántas cartas hay en una baraja?
2. ¿Cuántos sets hay?
Contestar
1. $$3^4 = 81$$
2. $$1080$$

Se lanza una moneda 10 veces y se registra la secuencia de partituras. ¿Cuántas secuencias hay?

Contestar

$$2^{10} = 1024$$

El experimento de troquelado consiste en rodar un troquel y luego lanzar una moneda el número de veces que se muestra en el dado. Se registra la secuencia de resultados de las monedas.

1. ¿Cuántos resultados hay?
2. ¿Cuántos resultados hay con todas las cabezas?
3. ¿Cuántos resultados hay con exactamente una cabeza?
Contestar
1. $$\sum_{k=1}^6 2^k = 126$$
2. $$6$$
3. $$\sum_{k=1}^6 k = 21$$

Ejecute el experimento de die-coin 100 veces y observe los resultados.

Considera una baraja de cartas como un conjunto$$D$$ con 52 elementos.

1. ¿Cuántos subconjuntos$$D$$ hay?
2. ¿Cuántas funciones hay$$D$$ en el conjunto$$\{1, 2, 3, 4\}$$?
Contestar
1. $$2^{52} = 4 \, 503 \, 599 \, 627 \, 370 \, 496$$
2. $$4^{52} = 20 \, 282 \, 409 \, 603 \, 651 \, 670 \, 423 \, 947 \, 251 \, 286 \, 016$$

### Cumpleaños

Considera un grupo de 10 personas.

1. Si registramos el mes de nacimiento de cada persona, ¿cuántos resultados hay?
2. Si registramos el cumpleaños de cada persona (ignorando el día bisiesto), ¿cuántos resultados hay?
Contestar
1. $$12^{10} = 61 \, 917 \, 364 \, 224$$
2. $$365^{10} = 41 \, 969 \, 002 \, 243 \, 198 \, 805 \, 166 \, 015 \, 625$$

### Confiabilidad

En el modelo habitual de confiabilidad estructural, un sistema consta de componentes, cada uno de los cuales está funcionando o es defectuoso. El sistema en su conjunto también está funcionando o es defectuoso, dependiendo de los estados de los componentes y de cómo se conecten los componentes.

Una cadena de luces tiene 20 bombillas, cada una de las cuales puede ser buena o defectuosa. ¿Cuántas configuraciones hay?

Contestar

$$2^{20} = 1 \, 048 \, 576$$

Si los componentes están conectados en serie, entonces el sistema en su conjunto está funcionando si y solo si cada componente está funcionando. Si los componentes están conectados en paralelo, entonces el sistema en su conjunto está funcionando si y solo si al menos un componente está funcionando.

Un sistema consta de tres subsistemas con 6, 5 y 4 componentes, respectivamente. Encuentre el número de estados componentes para los que el sistema está funcionando en cada uno de los siguientes casos:

1. Los componentes de cada subsistema están en paralelo y los subsistemas están en serie.
2. Los componentes de cada subsistema están en serie y los subsistemas están en paralelo.
Contestar
1. $$(2^6 - 1)(2^5 - 1)(2^4 - 1) = 29 \, 295$$
2. $$2^3 - 1 = 7$$

### Menús

Supongamos que un sándwich en un restaurante consiste en pan, carne, queso y diversos aderezos. Hay 4 opciones para el pan, 3 opciones para la carne, 5 opciones para el queso y 10 coberturas diferentes (cada una de las cuales puede ser elegida). ¿Cuántos sándwiches hay?

Contestar

$$4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2^{10} = 61 \, 440$$

En una cena de boda, hay tres opciones para el plato principal, cuatro opciones para la bebida y dos opciones para el postre.

1. ¿Cuántas comidas diferentes hay?
2. Si hay 50 invitados en la boda y registramos la comida solicitada para cada invitado, ¿cuántos resultados posibles hay?
Contestar
1. $$3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$$
2. $$24^{50} \approx 1.02462 \times 10^{69}$$

### Braille

El braille es un sistema de escritura táctil utilizado por personas con discapacidad visual. El sistema lleva el nombre del educador francés Louis Braille y utiliza puntos elevados en una$$3 \times 2$$ cuadrícula para codificar caracteres. ¿Cuántas configuraciones significativas de Braille hay?

Contestar

### Mecanografía de personalidad

La tipificación de la personalidad de Meyers-Briggs se basa en cuatro dicotomías: Una persona se escribe como extroversión (E) o introversión (I), ya sea sintiendo (S) o intuición (I), ya sea pensando (T) o sintiendo (F), y o juicio (J) o percepción (P).

1. ¿Cuántos tipos de personalidad Meyers-Briggs hay? Enumerarlos.
2. Supongamos que enumeramos los tipos de personalidad de 10 personas. ¿Cuántos resultados posibles hay?
Contestar
1. 16
2. $$16^{10} = 1 \, 099 \, 511 \, 627 \, 776$$

### La Junta de Galton

La Junta Galton, que lleva el nombre de Francis Galton, es una matriz triangular de clavijas. Galton, aparentemente demasiado modesto para nombrar el dispositivo después de sí mismo, lo llamó quincunx de la palabra latina por cinco doceavos (vaya figura). Las filas están numeradas, de arriba hacia abajo, por$$(0, 1, \ldots )$$. $$n$$La fila tiene$$n + 1$$ clavijas que están etiquetadas, de izquierda a derecha por$$(0, 1, \ldots, n)$$. Por lo tanto, una clavija se puede identificar de manera única por un par ordenado$$(n, k)$$ donde$$n$$ está el número de fila y$$k$$ es el número de clavija en esa fila.

Se deja caer una bola sobre la clavija superior$$(0, 0)$$ de la tabla Galton. En general, cuando la pelota golpea clavija$$(n, k)$$, o rebota hacia la izquierda para pegarla$$(n + 1, k)$$ o hacia la derecha para pegarla$$(n + 1, k + 1)$$. La secuencia de clavijas que golpea la pelota es un camino en el tablero de Galton.

Existe una correspondencia uno a uno entre cada par de las siguientes tres colecciones:

1. Cuerdas de bits de longitud$$n$$
2. Caminos en el tablero de Galton desde$$(0, 0)$$ cualquier clavija en fila$$n$$.
3. Subconjuntos de un conjunto con$$n$$ elementos.

Así, cada una de estas colecciones tiene$$2^n$$ elementos.

Abre la aplicación Galton Board.

1. Mueve la pelota de$$(0, 0)$$ a$$(10, 6)$$ por un camino de tu elección. Tenga en cuenta la cadena de bits y el subconjunto correspondientes.
2. Genera la cadena de bits$$0111001010$$. Anote el subconjunto y la ruta correspondientes.
3. Generar el subconjunto$$\{2, 4, 5, 9, 10\}$$. Tenga en cuenta la cadena de bits y la ruta correspondientes.
4. Generar todos los caminos desde$$(0, 0)$$ hasta$$(4, 2)$$. ¿Cuántos caminos hay?
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1. 6

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