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# 5.16: La distribución Lévy

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La distribución de Lévy, llamada así por el matemático francés Paul Lévy, es importante en el estudio del movimiento browniano, y es una de las tres distribuciones estables cuya función de densidad de probabilidad se puede expresar en una forma simple y cerrada.

## La distribución estándar de Lévy

### Definición

Si$$Z$$ tiene la distribución normal estándar entonces$$U = 1 / Z^2$$ tiene la distribución estándar de Lévy.

Por lo que la distribución estándar de Lévy es una distribución continua en$$(0, \infty)$$.

### Funciones de distribución

Suponemos que$$U$$ tiene la distribución estándar de Lévy. La función de distribución de$$U$$ tiene una expresión simple en términos de la función de distribución normal estándar$$\Phi$$, no es sorprendente dada la definición.

$$U$$tiene función de distribución$$G$$ dada por$G(u) = 2\left[1 - \Phi\left(\frac{1}{\sqrt{u}}\right)\right], \quad u \in (0, \infty)$

Prueba

Para$$u \in (0, \infty)$$,$\P\left(\frac{1}{Z^2} \le u \right) = \P\left(Z^2 \ge \frac{1}{u}\right) = \P\left(Z \ge \frac{1}{\sqrt{u}}\right) + \P\left(Z \le -\frac{1}{\sqrt{u}}\right) = 2\left[1 - \Phi\left(\frac{1}{\sqrt{u}}\right)\right]$

De manera similar, la función cuantil de$$U$$ tiene una expresión simple en términos de la función cuantil normal estándar$$\Phi^{-1}$$.

$$U$$tiene función cuantil$$G^{-1}$$ dada por$G^{-1}(p) = \frac{1}{\left[\Phi^{-1}\left(1 - p / 2\right)\right]^2}, \quad p \in [0, 1)$ Los cuartiles de$$U$$ son

1. $$q_1 = \left[\Phi^{-1}\left(\frac{7}{8}\right)\right]^{-2} \approx 0.7557$$, el primer cuartil.
2. $$q_2 = \left[\Phi^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right]^{-2} \approx 2.1980$$, la mediana.
3. $$q_3 = \left[\Phi^{-1}\left(\frac{5}{8}\right)\right]^{-2} \approx 9.8516$$, el tercer cuartil.
Prueba

La función cuantil se puede obtener de la función de distribución resolviendo$$p = G(u)$$ para$$u = G^{-1}(p)$$.

Abra la Calculadora de Distribución Especial y seleccione la distribución Lévy. Mantener los valores predeterminados de los parámetros. Anote la forma y ubicación de la función de distribución. Compute algunos valores de la función de distribución y la función cuantil.

Finalmente, la función de densidad de probabilidad de$$U$$ tiene una expresión cerrada simple.

$$U$$tiene la función de densidad de probabilidad$$g$$ dada por$g(u) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{u^{3/2}} \exp\left(-\frac{1}{2 u}\right), \quad u \in (0, \infty)$

1. $$g$$aumenta y luego disminuye con el modo en$$x = \frac{1}{3}$$.
2. $$g$$es cóncavo hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba nuevamente, con puntos de inflexión en$$x = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{10}}{15} \approx 0.1225$$ y en$$x = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{10}}{15} \approx 0.5442$$.
Prueba

La fórmula para$$g$$ sigue de diferenciar el CDF dado anteriormente:$g(u) = -2 \Phi^\prime(u^{-1/2}) \left(-\frac{1}{2} u^{-3/2}\right), \quad u \in (0, \infty)$ Pero$$\Phi^\prime(z) = \phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-z^2 / 2}$$, el PDF normal estándar. La sustitución y simplificación da entonces los resultados. Las partes (a) y (b) también siguen del cálculo estándar:\ begin {align} g^\ prime (u) & =\ frac {1} {2\ sqrt {2\ pi}} u^ {-7/2} e^ {-u^ {-1} /2} (-3 u + 1)\\ g^ {\ prime\ prime} (u) & =\ frac {1} {4\ sqrt {2\ pi}} u^ {-11/2} e^ {-u^ {-1} /2} (15 u^2 - 10 u + 1)\ end {align}

Abra el Simulador de Distritación Especial y seleccione la distribución de Lévy. Mantener los valores predeterminados de los parámetros. Observe la forma de la función de densidad de probabilidad. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

### Momentos

Asumimos nuevamente que$$U$$ tiene la distribución estándar de Lévy. Después de explorar los gráficos de la función de densidad de probabilidad y la función de distribución anteriores, probablemente notó que la distribución de Lévy tiene una cola muy pesada. El percentil 99 es de aproximadamente 6400, por ejemplo. El siguiente resultado no es sorprendente.

$$\E(U) = \infty$$

Prueba

Tenga en cuenta que$$u \mapsto e^{-1/2u}$$ va en aumento. De ahí$\E(U) = \int_0^\infty u \frac{1}{\sqrt{2 \pi} u^{3/2}} e^{-1/2u} du \gt \int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} u^{-1/2} e^{-1/2} du = \infty$

Por supuesto, los momentos de orden superior también son infinitos, y la varianza, asimetría y curtosis no existen. La función de generación de momento es infinita en cada valor positivo, y por lo tanto no sirve de nada. Por otro lado, la función característica de la distribución estándar de Lévy es muy útil. Para el siguiente resultado, recuerde que la función sign$$\sgn$$ viene dada por$$\sgn(t) = 1$$ for$$t \gt 0$$$$t \lt 0$$,$$\sgn(t) = - 1$$ for y$$\sgn(0) = 0$$.

$$U$$tiene función característica$$\chi_0$$ dada por$\chi_0(t) = \E\left(e^{i t U}\right) = \exp\left(-\left|t\right|^{1/2}\left[1 + i \sgn(t)\right]\right), \quad t \in \R$

La relación más importante es la de la definición: Si$$Z$$ tiene la distribución normal estándar entonces$$U = 1 / Z^2$$ tiene la distribución estándar de Lévy. El siguiente resultado es bascialmente el contrario.

Si$$U$$ tiene la distribución estándar de Lévy, entonces$$V = 1/\sqrt{U}$$ tiene la distribución media normal estándar.

Prueba

De la definición, podemos tomar$$U = 1 / Z^2$$ donde$$Z$$ tiene la distribución normal estándar. Entonces$$1/\sqrt{U} = \left|Z\right|$$, y$$\left|Z\right|$$ tiene la distribución media normal estándar.

## La Distribución General Lévy

Como tantas otras distribuciones estándar, la distribución estándar de Lévy se generaliza agregando parámetros de ubicación y escala.

### Definición

Supongamos que$$U$$ tiene la distribución estándar de Lévy, y$$a \in \R$$ y$$b \in (0, \infty)$$. Después$$X = a + b U$$ tiene la distribución Lévy con parámetro de ubicación$$a$$ y parámetro de escala$$b$$.

Tenga en cuenta que$$X$$ tiene una distribución continua en el intervalo$$(a, \infty)$$.

### Funciones de distribución

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución de Lévy con parámetro de ubicación$$a \in \R$$ y parámetro de escala$$b \in (0, \infty)$$. Como antes, la función de distribución de$$X$$ tiene una expresión simple en términos de la función de distribución normal estándar$$\Phi$$.

$$X$$tiene función de distribución$$G$$ dada por$F(x) = 2\left[1 - \Phi\left(\sqrt{\frac{b}{(x - a)}}\right)\right], \quad x \in (a, \infty)$

Prueba

Recordemos que$$F(x) = G\left(\frac{x - a}{b}\right)$$ donde$$G$$ está el estándar Lévy CDF.

De manera similar, la función cuantil de$$X$$ tiene una expresión simple en términos de la función cuantil normal estándar$$\Phi^{-1}$$.

$$X$$tiene función cuantil$$F^{-1}$$ dada por$F^{-1}(p) = a + \frac{b}{\left[\Phi^{-1}\left(1 - p/2\right)\right]^2}, \quad p \in [0, 1)$ Los cuartiles de$$X$$ son

1. $$q_1 = a + b \left[\Phi^{-1}\left(\frac{7}{8}\right)\right]^{-2}$$, el primer cuartil.
2. $$q_2 = a + b \left[\Phi^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right]^{-2}$$, la mediana.
3. $$q_3 = a + b \left[\Phi^{-1}\left(\frac{5}{8}\right)\right]^{-2}$$, el tercer cuartil.
Prueba

Recordemos eso$$F^{-1}(p) = a + b G^{-1}(p)$$, donde$$G^{-1}$$ está la función cuantil estándar de Lévy.

Abra la Calculadora de Distribución Especial y seleccione la distribución Lévy. Varíe los valores de los parámetros y anote la forma de la gráfica de la función de la función de distribución. Para diversos valores de los parámetros, compute algunos valores de la función de distribución y la función cuantil.

Finalmente, la función de densidad de probabilidad de$$X$$ tiene una expresión cerrada simple.

$$X$$tiene la función de densidad de probabilidad$$f$$ dada por$f(x) = \sqrt{\frac{b}{2 \pi}} \frac{1}{(x - a)^{3/2}} \exp\left[-\frac{b}{2 (x - a)}\right], \quad x \in (a, \infty)$

1. $$f$$aumenta y luego disminuye con el modo en$$x = a + \frac{1}{3} b$$.
2. $$f$$es cóncavo hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba nuevamente con puntos de inflexión en$$x = a + \left(\frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{10}}{15}\right) b$$.
Prueba

Recordemos que$$f(x) = \frac{1}{b} g\left(\frac{x - a}{b}\right)$$ donde$$g$$ está el estándar Lévy PDF, por lo que la fórmula para$$f$$ seguir de la definición de$$g$$ y álgebra simple. Las partes (a) y (b) se desprenden de los resultados correspondientes para$$g$$.

Abra el Simulador de Distritación Especial y seleccione la distribución de Lévy. Varíe los parámetros y anote la forma y ubicación de la función de densidad de probabilidad. Para varios valores de parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

### Momentos

Supongamos nuevamente que$$X$$ tiene la distribución de Lévy con parámetro de ubicación$$a \in \R$$ y parámetro de escala$$b \in (0, \infty)$$. Por supuesto, dado que la distribución estándar de Lévy tiene media infinita, también lo hace la distribución general de Lévy.

$$\E(X) = \infty$$

También como antes, la varianza, asimetría y curtosis de$$X$$ son indefinidas. Por otro lado, la función característica de$$X$$ es muy importante.

$$X$$tiene función característica$$\chi$$ dada por$\chi(t) = \E\left(e^{i t X}\right) = \exp\left(i t a - b^{1/2} \left|t\right|^{1/2}[1 + i \sgn(t)]\right), \quad t \in \R$

Prueba

Esto se desprende de la función característica estándar desde$$\chi(t) = e^{i t a} \chi_0(b t)$$. Tenga en cuenta que$$\sgn(b t) = \sgn(t)$$ desde$$b \gt 0$$.

Dado que la distribución de Lévy es una familia a escala de ubicación, se cierra trivialmente bajo transformaciones a escala de ubicación.

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución de Lévy con parámetro de ubicación$$a \in \R$$ y parámetro de escala$$b \in (0, \infty)$$, y eso$$c \in \R$$ y$$d \in (0, \infty)$$. Después$$Y = c + d X$$ tiene la distribución Lévy con parámetro de ubicación$$c + a d$$ y parámetro de escala$$b d$$.

Prueba

De la definición, podemos tomar$$X = a + b U$$ donde$$U$$ tiene la distribución estándar de Lévy. De ahí$$Y = c + d X = (c + a d) + (b d) U$$ que tenga la distribución de Lévy con parámetro de ubicación$$c + a d$$ y parámetro de escala$$b d$$.

De mayor interés es el hecho de que la distribución de Lévy se cierra bajo convolución (correspondiente a sumas de variables independientes).

Supongamos que$$X_1$$ y$$X_2$$ son independientes, y que,$$X_k$$ tiene la distribución de Lévy con parámetro de ubicación$$a_k \in \R$$ y parámetro de escala$$b_k \in (0, \infty)$$ para$$k \in \{1, 2\}$$. Después$$X_1 + X_2$$ tiene la distribución Lévy con parámetro de ubicación$$a_1 + a_2$$ y parámetro de escala$$(b_1^{1/2} + b_2^{1/2})^2$$.

Prueba

La función característica de$$X_k$$ es$\chi_k(t) = \exp\left(i t a_k - b_k^{1/2} \left| t \right|^{1/2}[1 + i \sgn(t)]\right), \quad t \in \R$ para$$k \in \{1, 2\}$$. De ahí la función característica de$$X_1 + X_2$$ es\ begin {align*}\ chi (t) =\ chi_1 (t)\ chi_2 (t) & =\ exp\ left [i t (a_1 + a_2) -\ left (b_1^ {1/2} + b_2^ {1/2}\ right)\ izquierda| t\ derecha|^ {1/2} [1 + i\ sgn (t)]\ right]\\ & =\ exp\ izquierda [i t A - B^ {1/2}\ izquierda| t\ derecha|^ {1/2} [1 + i\ sgn (t)]\ derecha],\ quad t\ in\ R\ final {align*} donde$$A = a_1 + a_2$$ está el parámetro location y$$B = \left(b_1^{1/2} + b_2^{1/2}\right)^2$$ es el parámetro scale.

Como corolario, la distribución de Lévy es una distribución estable con índice$$\alpha = \frac{1}{2}$$:

Supongamos que$$n \in \N_+$$ y esa$$(X_1, X_2, \ldots, X_n)$$ es una secuencia de variables aleatorias independientes, teniendo cada una la distribución de Lévy con parámetro de ubicación$$a \in \R$$ y parámetro de escala$$b \in (0, \infty)$$. Después$$X_1 + X_2 + \cdots + X_n$$ tiene la distribución Lévy con parámetro de ubicación$$n a$$ y parámetro de escala$$n^2 b$$.

La estabilidad es una de las razones de la importancia de la distribución de Lévy. De la función característica, se deduce que el parámetro de asimetría es$$\beta = 1$$.

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