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# 5.20: Distribuciones Uniformes Generales

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Esta sección explora distribuciones uniformes en un entorno abstracto. Si eres un nuevo estudiante de probabilidad, o no estás familiarizado con la teoría de medidas, es posible que quieras saltarte esta sección y leer las secciones sobre la distribución uniforme en un intervalo y las distribuciones uniformes discretas.

## Teoría Básica

### Definición

Supongamos que$$(S, \mathscr S, \lambda)$$ es un espacio de medida. Es decir,$$S$$ es un conjunto,$$\mathscr S$$ un$$\sigma$$ -álgebra de subconjuntos de$$S$$, y$$\lambda$$ una medida positiva sobre$$\mathscr S$$. Supongamos también eso$$0 \lt \lambda(S) \lt \infty$$, así que esa$$\lambda$$ es una medida finita, positiva.

Variable aleatoria$$X$$ con valores en$$S$$ tiene la distribución uniforme on$$S$$ (con respecto a$$\lambda$$) si$\P(X \in A) = \frac{\lambda(A)}{\lambda(S)}, \quad A \in \mathscr S$

Así, la probabilidad asignada a un conjunto$$A \in \mathscr S$$ depende únicamente del tamaño de$$A$$ (medido por$$\lambda$$).

Los casos especiales más comunes son los siguientes:

1. Discreto: El conjunto$$S$$ es finito y no vacío,$$\mathscr S$$ es el$$\sigma$$ álgebra de todos los subconjuntos de$$S$$, y$$\lambda = \#$$ (medida de conteo).
2. Euclidiana: Para$$n \in \N_+$$, vamos$$\mathscr R_n$$ denotar el$$\sigma$$ -álgebra de los subconjuntos medibles de Borel$$\R^n$$ y dejar$$\lambda_n$$ denotar medida Lebesgue on$$(\R^n, \mathscr R_n)$$. En esta configuración,$$S \in \mathscr R_n$$ con$$0 \lt \lambda_n(S) \lt \infty$$,$$\mathscr S = \{A \in \mathscr R_n: A \subseteq S\}$$, y la medida está$$\lambda_n$$ restringida a$$(S, \mathscr S)$$.

En el caso euclidiano, recuerde que$$\lambda_1$$ es medida de longitud en$$\R$$,$$\lambda_2$$ es medida de área$$\R^2$$ encendida,$$\lambda_3$$ es medida de volumen en$$\R^3$$, y en general$$\lambda_n$$ a veces se denomina volumen$$n$$ -dimensional. Así,$$S \in \mathscr R_n$$ es un conjunto con volumen positivo, finito.

### Propiedades

Supongamos que$$(S, \mathscr S, \lambda)$$ es un espacio de medida finito, positivo, como arriba, y que$$X$$ se distribuye uniformemente sobre$$S$$.

La función$$f$$ de densidad de probabilidad de$$X$$ (con respecto a$$\lambda$$) es$f(x) = \frac{1}{\lambda(S)}, \quad x \in S$

Prueba

Esto se deduce directamente de la definición de la función de densidad de probabilidad:$\int_A \frac 1 {\lambda(S)} \, d\lambda(x) = \frac{\lambda(A)}{\lambda(S)}, \quad A \in \mathscr S$

Así, la propiedad definitoria de la distribución uniforme en un conjunto es la densidad constante en ese conjunto. Otra propiedad básica es que las distribuciones uniformes se conservan bajo condicionamiento.

Supongamos que$$R \in \mathscr S$$ con$$\lambda(R) \gt 0$$. La distribución condicional de$$X$$ dado$$X \in R$$ es uniforme en$$R$$.

Prueba

Para$$A \in \mathscr S$$ con$$A \subseteq R$$,$\P(X \in A \mid X \in R) = \frac{\P(X \in A)}{\P(X \in R)} = \frac{\lambda(A)/\lambda(S)}{\lambda(R)/\lambda(S)} = \frac{\lambda(A)}{\lambda(R)}$

En la configuración del resultado anterior, supongamos que$$\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots)$$ es una secuencia de variables independientes, cada una distribuida uniformemente en$$S$$. Vamos$$N = \min\{n \in \N_+: X_n \in R\}$$. Después$$N$$ tiene la distribución geométrica encendida$$\N_+$$ con parámetro de éxito$$p = \P(X \in R)$$. Más importante aún, la distribución de$$X_N$$ es la misma que la distribución condicional de$$X$$ dado$$X \in R$$, y por lo tanto es uniforme en$$R$$. Esta es la base del método de rechazo de simulación. Si podemos simular una distribución uniforme en$$S$$, entonces podemos simular una distribución uniforme en$$R$$.

Si$$h$$ es una función de valor real on$$S$$, entonces$$\E[h(X)]$$ es el valor promedio de$$h$$ on$$S$$, medido por$$\lambda$$:

Si$$h: S \to \R$$ es integrable con respecto a$$\lambda$$ Entonces$\E[h(X)] = \frac{1}{\lambda(S)} \int_S h(x) \, d\lambda(x)$

Prueba

Este resultado se desprende del cambio de teorema de variables por valor esperado, ya que$\E[h(X)] = \int_S h(x) f(x) \, d\lambda(x) = \frac 1 {\lambda(S)} \int_S h(x) \, d\lambda(x)$

La entropía de la distribución uniforme$$S$$ depende únicamente del tamaño de$$S$$, medido por$$\lambda$$:

La entropía de$$X$$ es$$H(X) = \ln[\lambda(S)]$$.

Prueba$H(X) = \E\{-\ln[f(X)]\} = \int_S -\ln\left(\frac{1}{\lambda(S)}\right) \frac{1}{\lambda(S)} = -\ln\left(\frac{1}{\lambda(S)}\right) = \ln[\lambda(S)]$

### Espacios de Productos

Supongamos ahora que$$(S, \mathscr S, \lambda)$$ y$$(T, \mathscr T, \mu)$$ son espacios finitos, de medida positiva, así que eso$$0 \lt \lambda(S) \lt \infty$$ y$$0 \lt \mu(T) \lt \infty$$. Recordemos el espacio del producto$$(S \times T, \mathscr S \otimes \mathscr T, \lambda \otimes \mu)$$. El producto$$\sigma$$ -álgebra$$\mathscr S \otimes \mathscr T$$ es el$$\sigma$$ -álgebra de subconjuntos de$$S \times T$$ generados por conjuntos de productos$$A \times B$$ donde$$A \in \mathscr S$$ y$$B \in \mathscr T$$. La medida del producto$$\lambda \otimes \mu$$ es la medida positiva única$$(S \times T, \mathscr S \otimes \mathscr T)$$ que satisface$$(\lambda \otimes \mu)(A \times B) = \lambda(A) \mu(B)$$ para$$A \in \mathscr S$$ y$$B \in \mathscr T$$.

$$(X, Y)$$se distribuye uniformemente en$$S \times T$$ si y solo si$$X$$ se distribuye uniformemente en$$S$$,$$Y$$ se distribuye uniformemente en$$T$$,$$X$$ y$$Y$$ son independientes.

Prueba

Supongamos primero que$$(X, Y)$$ se distribuye uniformemente en$$S \times T$$. Si$$A \in \mathscr S$$ y$$B \in \mathscr T$$ luego$\P(X \in A, Y \in B) = \P[(X, Y) \in A \times B] = \frac{(\lambda \otimes \mu)(A \times B)}{(\lambda \otimes \mu)(S \times T)} = \frac{\lambda(A) \mu(B)}{\lambda(S) \mu(T)} = \frac{\lambda(A)}{\lambda(S)} \frac{\mu(B)}{\mu(T)}$ Tomando$$B = T$$ en la ecuación mostrada da$$\P(X \in A) = \lambda(A) \big/ \lambda(S)$$ para$$A \in \mathscr S$$, así$$X$$ se distribuye uniformemente en$$S$$. Tomando$$A = S$$ en la ecuación mostrada da$$\P(Y \in B) = \mu(B) \big/ \mu(T)$$ para$$B \in \mathscr T$$, por lo que$$Y$$ se distribuye uniformemente en$$T$$. Volviendo a la ecuación mostrada generalmente da$$\P(X \in A, Y \in B) = \P(X \in A) \P(Y \in B)$$ por$$A \in \mathscr S$$ y$$B \in \mathscr T$$, así$$X$$ y$$Y$$ son independientes.

Por el contrario, supongamos que$$X$$ se distribuye uniformemente sobre$$S$$,$$Y$$ se distribuye uniformemente en$$T$$,$$X$$ y$$Y$$ son independientes. Entonces para$$A \in \mathscr S$$ y$$B \in \mathscr T$$, A continuación$\P[(X, Y) \in A \times B] = \P(X \in A, Y \in B) = \P(X \in A) \P(Y \in B) = \frac{\lambda(A)}{\lambda(S)} \frac{\mu(B)}{\mu(T)} = \frac{\lambda(A) \mu(B)}{\lambda(S) \mu(T)} = \frac{(\lambda \otimes \mu)(A \times B)}{(\lambda \otimes \mu)(S \times T)}$ se sigue (véase el apartado sobre existencia y singularidad de medidas) que$$\P[(X, Y) \in C] = (\lambda \otimes \mu)(C) / (\lambda \otimes \mu)(S \times T)$$ para cada$$C \in \mathscr S \otimes \mathscr T$$, así$$(X, Y)$$ se distribuye uniformemente sobre$$S \times T$$.

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