5.28: La distribución de Laplace
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La distribución estándar de Laplace
Funciones de distribución
La distribución estándar de Laplace es una distribución continua\( \R \) con función de densidad de probabilidad\( g \) dada por\[ g(u) = \frac{1}{2} e^{-\left|u\right|}, \quad u \in \R \]
Prueba
Es fácil ver que\( g \) es un PDF válido. Por simetría\[ \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{2} e^{-\left|u\right|} du = \int_0^\infty e^{-u} du = 1 \]
La función de densidad de probabilidad\( g \) satisface las siguientes propiedades:
- \( g \)es simétrico alrededor de 0.
- \( g \)aumenta\( (-\infty, 0] \) y disminuye encendido\( [0, \infty) \), con el modo\( u = 0 \).
- \( g \)es cóncavo hacia arriba una\( (-\infty, 0] \) y otra\( [0, \infty) \) vez con una cúspide en\( u = 0 \)
Prueba
Estos resultados se derivan del cálculo estándar, ya que\( g(u) = \frac 1 2 e^{-u} \) para\( u \in [0, \infty) \) y\( g(u) = \frac 1 2 e^u \) para\( u \in (-\infty, 0] \).
Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución de Laplace. Mantenga el valor del parámetro predeterminado y anote la forma de la función de densidad de probabilidad. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad emprical y la función de densidad de probabilidad.
La función de distribución estándar de Laplace\(G\) viene dada por\[ G(u) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^u, & u \in (-\infty, 0] \\ 1 - \frac{1}{2} e^{-u}, & u \in [0, \infty) \end{cases} \]
Prueba
Nuevamente esto se desprende del cálculo básico, ya que\( g(u) = \frac{1}{2} e^u \) para\( u \le 0 \) y\( g(u) = \frac{1}{2} e^{-u} \) para\( u \ge 0 \). Por supuesto\( G(u) = \int_{-\infty} ^u g(t) \, dt \).
La función cuantil\(G^{-1}\) dada por\[ G^{-1}(p) = \begin{cases} \ln(2 p), & p \in \left[0, \frac{1}{2}\right] \\ -\ln[2(1 - p)], & p \in \left[\frac{1}{2}, 1\right] \end{cases} \]
- \( G^{-1}(1 - p) = -G^{-1}(p) \)para\( p \in (0, 1) \)
- El primer cuartil es\(q_1 = -\ln 2 \approx -0.6931\).
- La mediana es\(q_2 = 0 \)
- El tercer cuartil es\(q_3 = \ln 2 \approx 0.6931\).
Prueba
La fórmula para la función cuantil sigue inmediatamente del CDF resolviendo\(p = G(u)\) para\(u\) en términos de\(p \in (0, 1)\). La parte (a) se debe a la simetría de\( g \) aproximadamente 0.
Abra la Calculadora de Distribución Especial y seleccione la distribución de Laplace. Mantener el valor de parámetro predeterminado. Calcular los valores seleccionados de la función de distribución y la función cuantil.
Momentos
Supongamos que\( U \) tiene la distribución estándar de Laplace.
\(U\)tiene función de generación de momento\(m\) dada por\[ m(t) = \E\left(e^{t U}\right) = \frac{1}{1 - t^2}, \quad t \in (-1, 1) \]
Prueba
Para\( t \in (-1, 1) \),\[ m(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{t u} g(u) \, du = \int_{-\infty}^0 \frac{1}{2} e^{(t + 1)u} du + \int_0^\infty \frac{1}{2} e^{(t - 1)u} du = \frac{1}{2(t + 1)} - \frac{1}{2(t - 1)} = \frac{1}{1 - t^2}\]
Los momentos de\( U \) son
- \( \E(U^n) = 0 \)si\( n \in \N \) es impar.
- \( \E(U^n) = n! \)si\( n \in \N \) es par.
Prueba
Este resultado se puede obtener a partir de la función generadora de momento o directamente. Que los momentos de orden impar sean 0 se desprende de la simetría de la distribución. Para los momentos de orden par, la simetría y una integración por partes (o usando la función gamma) da\[ \E(U^n) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^0 u^n e^u du + \frac{1}{2} \int_0^\infty u^n e^{-u} du = \int_0^\infty u^n e^{-u} du = n! \]
La media y varianza\(U\) de
- \(\E(U) = 0 \)
- \(\var(U) = 2 \)
Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución de Laplace. Mantener el valor de parámetro predeterminado. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.
La asimetría y curtosis de\(U\) son
- \(\skw(U) = 0\)
- \(\kur(U) = 6\)
Prueba
- Esto se desprende de la simetría de la distribución.
- Desde entonces\( \E(U) = 0 \), tenemos\[ \kur(U) = \frac{\E(U^4)}{[\E(U^2)]^2} = \frac{4!}{(2!)^2} = 6 \]
De ello se deduce que el exceso de curtosis es\( \kur(U) - 3 = 3 \).
Distribuciones Relacionadas
Por supuesto, la distribución estándar de Laplace tiene conexiones simples a la distribución exponencial estándar.
Si\( U \) tiene la distribución estándar de Laplace entonces\( V = |U| \) tiene la distribución exponencial estándar.
Prueba
Usando el CDF de U tenemos\( \P(V \le v) = \P(-v \le U \le v) = G(v) - G(-v) = 1 - e^{-v} \) para\( v \in [0, \infty) \). Esta función es el CDF de la distribución exponencial estándar.
Si\( V \) y\( W \) son independientes y cada uno tiene la distribución exponencial estándar, entonces\( U = V - W \) tiene la distribución estándar de Laplace.
Prueba usando PDFs
Dejar\( h \) denotar el PDF exponencial estándar, extendido a todos\( \R \), de modo que\( h(v) = e^{-v} \) si\( v \ge 0 \) y\( h(v) = 0 \) si\( v \lt 0 \). Usando convolución, el PDF de\( V - W \) es\(g(u) = \int_\R h(v) h(v - u) dv \). Si\( v \ge 0 \),\[ g(u) = \int_u^\infty e^{-v} e^{-(v - u)} dv = e^u \int_u^\infty e^{-2 v} dv = \frac{1}{2} e^{-u} \] Si\( u \lt 0 \) entonces\[ g(u) = \int_0^\infty e^{-v} e^{-(v - u)} = e^u \int_0^\infty e^{-2 v} dv = \frac{1}{2} e^u \]
Prueba usando MGFs
El MGF de\( V \) es\( t \mapsto 1/(1 - t) \) para\( t \lt 1 \). El MGF de\( -W \) es\( t \mapsto 1 / (1 + t) \) para\( t \gt -1 \). De ahí que el MGF de\( U \) es\( t \mapsto 1 / (1 - t)(1 + t) = 1 / (1 - t^2) \) para\( -1 \lt t \lt 1 \), que es el MGF estándar de Laplace.
Si\( V \) tiene la distribución exponencial estándar,\( I \) tiene la distribución estándar de Bernoulli,\( V \) y\( I \) son independientes, entonces\( U = (2 I - 1) V \) tiene la distribución estándar de Laplace.
Prueba
Si\( u \ge 0 \) entonces\[ \P(U \le u) = \P(I = 0) + \P(I = 1, V \le u) = \P(I = 0) + \P(I = 1) \P(V \le u) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1 - e^{-u}) = 1 - \frac{1}{2} e^{-u} \] Si\( u \lt 0 \),\[ \P(U \le u) = \P(I = 0, V \gt -u) = \P(I = 0) \P(V \gt -u) = \frac{1}{2} e^{u} \]
La distribución estándar de Laplace tiene una conexión curiosa con la distribución normal estándar.
Supongamos que\( (Z_1, Z_2, Z_3, Z_4) \) es una muestra aleatoria de tamaño 4 de la distribución normal estándar. Después\( U = Z_1 Z_2 + Z_3 Z_4 \) tiene la distribución estándar de Laplace.
Prueba
\( Z_1 Z_2 \)y\( Z_3 Z_4 \) son independientes, y cada uno tiene una distribución conocida como distribución normal del producto. El MGF de esta distribución está\[ m_0(t) = \E\left(e^{t Z_1 Z_2}\right) = \int_{\R^2} e^{t x y} \frac{1}{2 \pi} e^{-(x^2 + y^2)/2} d(x, y) \] Cambiando a coordenadas polares da\[ m_0(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \int_0^\infty e^{t r^2 \cos \theta \sin \theta} e^{-r^2/2} r \, dr \, d\theta = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \int_0^\infty \exp\left[r^2\left(t \cos \theta \sin\theta - \frac{1}{2}\right)\right] r \, dr \, d\theta \] La integral interna se puede hacer con una simple sustitución para\( \left|t\right| \lt 1 \), rindiendo\[ m_0(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{1 - t \sin(2 \theta)} d\theta = \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \] Por lo tanto\( U \) tiene MGF\( m_0^2(t) = \frac{1}{1 - t^2} \) para\( \left|t\right| \lt 1 \), que de nuevo es el estándar Laplace MGF.
La distribución estándar de Laplace tiene las conexiones habituales a la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil calculada anteriormente.
Conexiones a la distribución uniforme estándar.
- Si\( V \) tiene la distribución uniforme estándar entonces\( U = \ln(2 V) \bs{1}\left(V \lt \frac{1}{2}\right) - \ln[2(1 - V)] \bs{1}\left(V \ge \frac{1}{2}\right) \) tiene la distribución estándar de Laplace.
- Si\( U \) tiene la distribución estándar de Laplace entonces\( V = \frac{1}{2} e^U \bs{1}(U \lt 0) + \left(1 - \frac{1}{2} e^{-U}\right) \bs{1}(U \ge 0)\) tiene la distribución uniforme estándar.
A partir de la parte (a), la distribución estándar de Laplace se puede simular con el método habitual de cuantiles aleatorios.
Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución de Laplace. Mantenga los valores de los parámetros predeterminados y anote la forma de las funciones de densidad de probabilidad y distribución. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.
La distribución de General Laplace
La distribución estándar de Laplace se generaliza agregando parámetros de ubicación y escala.
Supongamos que\(U\) tiene la distribución estándar de Laplace. Si\( a \in \R \) y\(b \in (0, \infty)\), entonces\(X = a + b U\) tiene la distribución de Laplace con parámetro de ubicación\( a \) y parámetro de escala\(b\).
Funciones de distribución
Suppos que\(X\) tiene la distribución de Laplace con parámetro de ubicación\( a \in \R \) y parámetro de escala\(b \in (0, \infty)\).
\(X\)tiene la función de densidad de probabilidad\(f\) dada por\[ f(x) = \frac{1}{2 b} \exp\left(-\frac{\left|x - a\right|}{b}\right), \quad x \in \R \]
- \( f \)es simétrico sobre\( a \).
- \(f\)aumenta\([0, a]\) y disminuye\([a, \infty)\) con el modo\(x = a\).
- \(f\)es cóncavo hacia arriba una\([0, a]\) y otra\([a, \infty)\) vez con una cúspide en\( x = a \).
Prueba
Recordemos que\(f(x) = \frac{1}{b} g\left(\frac{x - a}{b}\right)\) dónde\(g\) está el PDF estándar de Laplace.
Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución de Laplace. Varíe los parámetros y anote la forma y ubicación de la función de densidad de probabilidad. Para varios valores de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad emprical con la función de densidad de probabilidad.
\(X\)tiene función de distribución\(F\) dada por\[ F(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} \exp\left(\frac{x - a}{b}\right), & x \in (-\infty, a] \\ 1 - \frac{1}{2} \exp\left(-\frac{x - a}{b}\right), & x \in [a, \infty) \end{cases} \]
Prueba
Recordemos que\(F(x) = G\left(\frac{x - a}{b}\right)\) donde\(G\) está el estándar Laplace CDF.
\(X\)tiene función cuantil\(F^{-1}\) dada por\[ F^{-1}(p) = \begin{cases} a + b \ln(2 p), & 0 \le p \le \frac{1}{2} \\ a - b \ln[2(1 - p)], & \frac{1}{2} \le p \lt 1 \end{cases} \]
- \( F^{-1}(1 - p) = a - b F^{-1}(p) \)para\( p \in (0, 1) \)
- El primer cuartil es\(q_1 = a - b \ln 2 \).
- La mediana es\(q_2 = a \)
- El tercer cuartil es\(q_3 = a + b \ln 2 \).
Prueba
Recordemos que\(F^{-1}(p) = a + b G^{-1}(p)\) donde\(G^{-1}\) está la función cuantil estándar de Laplace.
Abra la Calculadora de Distribución Especial y seleccione la distribución de Laplace. Para diversos valores del parámetro scale, compute los valores seleccionados de la función de distribución y la función quantile.
Momentos
Nuevamente, asumimos que\(X\) tiene la distribución de Laplace con parámetro de ubicación\( a \in \R \) y parámetro de escala\(b \in (0, \infty)\), de manera que por definición,\( X = a + b U \) donde\( U \) tiene la distribución estándar de Lapalce.
\(X\)tiene función de generación de momento\(M\) dada por\[ M(t) = \E\left(e^{t X}\right) = \frac{e^{a t}}{1 - b^2 t^2}, \quad t \in (-1/b, 1/b) \]
Prueba
Recordemos que\(M(t) = e^{a t} m(b t)\) donde\(m\) está el MGF estándar de Laplce.
Los momentos de\( X \) aproximadamente el parámetro de ubicación tienen una forma simple.
Los momentos de\( X \) aproximadamente\( a \) son
- \( \E\left[(X - a)^n\right] = 0 \)si\( n \in \N \) es impar.
- \( \E\left[(X - a)^n\right] = b^n n! \)si\( n \in \N \) es par.
Prueba
Tenga en cuenta\( \E\left[(X - a)^n\right] = b^n \E(U^n) \) que para que los resultados sigan los momentos de\( U \).
La media y varianza\(X\) de
- \( \E(X) = a \)
- \( \var(X) = 2 b^2 \)
Prueba
Recordemos eso\( \E(X) = a + b \E(U) \) y\( \var(X) = b^2 \var(U) \), así los resultados se derivan de la media y varianza de\( U \).
Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución de Laplace. Varíe los parámetros y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación\( \pm \) estándar media. Para diversos valores del parámetro escala, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.
La asimetría y curtosis de\(X\) son
- \( \skw(X) = 0 \)
- \( \kur(X) = 6 \)
Prueba
Recordemos que la asimetría y la curtosis se definen en términos de la puntuación estándar y, por lo tanto, no cambian por una transformación de escala de ubicación. Así los resultados de la asimetría y curtosis de\( U \).
Como antes, el exceso de curtosis es\( \kur(X) - 3 = 3 \).
Distribuciones Relacionadas
Por construcción, la distribución de Laplace es una familia a escala de ubicación, y por lo tanto se cierra bajo transformaciones a escala de ubicación.
Supongamos que\(X\) tiene la distribución de Laplace con parámetro de ubicación\( a \in \R \) y parámetro de escala\(b \in (0, \infty)\), y eso\( c \in \R \) y\(d \in (0, \infty)\). Después\(Y = c + d X\) tiene la distribución de Laplace con parámetro de\( c + a d \) escala de parámetros de ubicación\(b d\).
Prueba
Nuevamente por definición, podemos tomar\( X = a + b U \) donde\( U \) tiene la distribución estándar de Laplace. De ahí\( Y = c + d X = (c + a d) + (b d) U \).
Una vez más, la distribución de Laplace tiene las conexiones habituales a la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil calculadas anteriormente. Esto último conduce al método habitual de simulación de cuantiles aleatorios.
Supongamos que\( a \in \R \) y\( b \in (0, \infty) \).
- Si\( V \) tiene la distribución uniforme estándar entonces\[ U = \left[a + b \ln(2 V)\right] \bs{1}\left(V \lt \frac{1}{2}\right) + \left(a - b \ln[2(1 - V)]\right) \bs{1}\left(V \ge \frac{1}{2}\right) \] tiene la distribución de Laplace con parámetro de ubicación\( a \) y parámetro de escala\( b \).
- Si\( X \) tiene la distribución de Laplace con parámetro de ubicación\( a \) y parámetro de escala\( b \), entonces\[ V = \frac{1}{2} \exp\left(\frac{X - a}{b}\right) \bs{1}(X \lt a) + \left[1 - \frac{1}{2} \exp\left(-\frac{X - a}{b}\right)\right] \bs{1}(X \ge a)\] tiene la distribución uniforme estándar.
Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución de Laplace. Varíe los valores de los parámetros y anote la forma de las funciones de densidad de probabilidad y distribución. Para los valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.
La distribución de Laplace también es miembro de la familia exponencial general de distribuciones.
Supongamos que\( X \) tiene la distribución de Laplace con parámetro de ubicación conocido\( a \in \R \) y parámetro de escala no especificado\( b \in (0, \infty) \). Después\( X \) tiene una distribución exponencial general en el parámetro de escala\( b \), con parámetro natural\( -1/b \) y estadística natural\( \left|X - a\right| \).
Prueba
Esto se desprende de la definición de la familia exponencial general y la forma de la función de densidad de probabilidad\( f \)