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# 5.28: La distribución de Laplace

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La distribución de Laplace, llamada así por Pierre Simon Laplace surge naturalmente como la distribución de la diferencia de dos variables exponenciales independientes, distribuidas idénticamente. Por esta razón, también se le llama la distribución doble exponencial.

## La distribución estándar de Laplace

### Funciones de distribución

La distribución estándar de Laplace es una distribución continua$$\R$$ con función de densidad de probabilidad$$g$$ dada por$g(u) = \frac{1}{2} e^{-\left|u\right|}, \quad u \in \R$

Prueba

Es fácil ver que$$g$$ es un PDF válido. Por simetría$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{2} e^{-\left|u\right|} du = \int_0^\infty e^{-u} du = 1$

La función de densidad de probabilidad$$g$$ satisface las siguientes propiedades:

1. $$g$$es simétrico alrededor de 0.
2. $$g$$aumenta$$(-\infty, 0]$$ y disminuye encendido$$[0, \infty)$$, con el modo$$u = 0$$.
3. $$g$$es cóncavo hacia arriba una$$(-\infty, 0]$$ y otra$$[0, \infty)$$ vez con una cúspide en$$u = 0$$
Prueba

Estos resultados se derivan del cálculo estándar, ya que$$g(u) = \frac 1 2 e^{-u}$$ para$$u \in [0, \infty)$$ y$$g(u) = \frac 1 2 e^u$$ para$$u \in (-\infty, 0]$$.

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución de Laplace. Mantenga el valor del parámetro predeterminado y anote la forma de la función de densidad de probabilidad. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad emprical y la función de densidad de probabilidad.

La función de distribución estándar de Laplace$$G$$ viene dada por$G(u) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^u, & u \in (-\infty, 0] \\ 1 - \frac{1}{2} e^{-u}, & u \in [0, \infty) \end{cases}$

Prueba

Nuevamente esto se desprende del cálculo básico, ya que$$g(u) = \frac{1}{2} e^u$$ para$$u \le 0$$ y$$g(u) = \frac{1}{2} e^{-u}$$ para$$u \ge 0$$. Por supuesto$$G(u) = \int_{-\infty} ^u g(t) \, dt$$.

La función cuantil$$G^{-1}$$ dada por$G^{-1}(p) = \begin{cases} \ln(2 p), & p \in \left[0, \frac{1}{2}\right] \\ -\ln[2(1 - p)], & p \in \left[\frac{1}{2}, 1\right] \end{cases}$

1. $$G^{-1}(1 - p) = -G^{-1}(p)$$para$$p \in (0, 1)$$
2. El primer cuartil es$$q_1 = -\ln 2 \approx -0.6931$$.
3. La mediana es$$q_2 = 0$$
4. El tercer cuartil es$$q_3 = \ln 2 \approx 0.6931$$.
Prueba

La fórmula para la función cuantil sigue inmediatamente del CDF resolviendo$$p = G(u)$$ para$$u$$ en términos de$$p \in (0, 1)$$. La parte (a) se debe a la simetría de$$g$$ aproximadamente 0.

Abra la Calculadora de Distribución Especial y seleccione la distribución de Laplace. Mantener el valor de parámetro predeterminado. Calcular los valores seleccionados de la función de distribución y la función cuantil.

### Momentos

Supongamos que$$U$$ tiene la distribución estándar de Laplace.

$$U$$tiene función de generación de momento$$m$$ dada por$m(t) = \E\left(e^{t U}\right) = \frac{1}{1 - t^2}, \quad t \in (-1, 1)$

Prueba

Para$$t \in (-1, 1)$$,$m(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{t u} g(u) \, du = \int_{-\infty}^0 \frac{1}{2} e^{(t + 1)u} du + \int_0^\infty \frac{1}{2} e^{(t - 1)u} du = \frac{1}{2(t + 1)} - \frac{1}{2(t - 1)} = \frac{1}{1 - t^2}$

Los momentos de$$U$$ son

1. $$\E(U^n) = 0$$si$$n \in \N$$ es impar.
2. $$\E(U^n) = n!$$si$$n \in \N$$ es par.
Prueba

Este resultado se puede obtener a partir de la función generadora de momento o directamente. Que los momentos de orden impar sean 0 se desprende de la simetría de la distribución. Para los momentos de orden par, la simetría y una integración por partes (o usando la función gamma) da$\E(U^n) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^0 u^n e^u du + \frac{1}{2} \int_0^\infty u^n e^{-u} du = \int_0^\infty u^n e^{-u} du = n!$

La media y varianza$$U$$ de

1. $$\E(U) = 0$$
2. $$\var(U) = 2$$

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución de Laplace. Mantener el valor de parámetro predeterminado. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

La asimetría y curtosis de$$U$$ son

1. $$\skw(U) = 0$$
2. $$\kur(U) = 6$$
Prueba
1. Esto se desprende de la simetría de la distribución.
2. Desde entonces$$\E(U) = 0$$, tenemos$\kur(U) = \frac{\E(U^4)}{[\E(U^2)]^2} = \frac{4!}{(2!)^2} = 6$

De ello se deduce que el exceso de curtosis es$$\kur(U) - 3 = 3$$.

Por supuesto, la distribución estándar de Laplace tiene conexiones simples a la distribución exponencial estándar.

Si$$U$$ tiene la distribución estándar de Laplace entonces$$V = |U|$$ tiene la distribución exponencial estándar.

Prueba

Usando el CDF de U tenemos$$\P(V \le v) = \P(-v \le U \le v) = G(v) - G(-v) = 1 - e^{-v}$$ para$$v \in [0, \infty)$$. Esta función es el CDF de la distribución exponencial estándar.

Si$$V$$ y$$W$$ son independientes y cada uno tiene la distribución exponencial estándar, entonces$$U = V - W$$ tiene la distribución estándar de Laplace.

Prueba usando PDFs

Dejar$$h$$ denotar el PDF exponencial estándar, extendido a todos$$\R$$, de modo que$$h(v) = e^{-v}$$ si$$v \ge 0$$ y$$h(v) = 0$$ si$$v \lt 0$$. Usando convolución, el PDF de$$V - W$$ es$$g(u) = \int_\R h(v) h(v - u) dv$$. Si$$v \ge 0$$,$g(u) = \int_u^\infty e^{-v} e^{-(v - u)} dv = e^u \int_u^\infty e^{-2 v} dv = \frac{1}{2} e^{-u}$ Si$$u \lt 0$$ entonces$g(u) = \int_0^\infty e^{-v} e^{-(v - u)} = e^u \int_0^\infty e^{-2 v} dv = \frac{1}{2} e^u$

Prueba usando MGFs

El MGF de$$V$$ es$$t \mapsto 1/(1 - t)$$ para$$t \lt 1$$. El MGF de$$-W$$ es$$t \mapsto 1 / (1 + t)$$ para$$t \gt -1$$. De ahí que el MGF de$$U$$ es$$t \mapsto 1 / (1 - t)(1 + t) = 1 / (1 - t^2)$$ para$$-1 \lt t \lt 1$$, que es el MGF estándar de Laplace.

Si$$V$$ tiene la distribución exponencial estándar,$$I$$ tiene la distribución estándar de Bernoulli,$$V$$ y$$I$$ son independientes, entonces$$U = (2 I - 1) V$$ tiene la distribución estándar de Laplace.

Prueba

Si$$u \ge 0$$ entonces$\P(U \le u) = \P(I = 0) + \P(I = 1, V \le u) = \P(I = 0) + \P(I = 1) \P(V \le u) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1 - e^{-u}) = 1 - \frac{1}{2} e^{-u}$ Si$$u \lt 0$$,$\P(U \le u) = \P(I = 0, V \gt -u) = \P(I = 0) \P(V \gt -u) = \frac{1}{2} e^{u}$

La distribución estándar de Laplace tiene una conexión curiosa con la distribución normal estándar.

Supongamos que$$(Z_1, Z_2, Z_3, Z_4)$$ es una muestra aleatoria de tamaño 4 de la distribución normal estándar. Después$$U = Z_1 Z_2 + Z_3 Z_4$$ tiene la distribución estándar de Laplace.

Prueba

$$Z_1 Z_2$$y$$Z_3 Z_4$$ son independientes, y cada uno tiene una distribución conocida como distribución normal del producto. El MGF de esta distribución está$m_0(t) = \E\left(e^{t Z_1 Z_2}\right) = \int_{\R^2} e^{t x y} \frac{1}{2 \pi} e^{-(x^2 + y^2)/2} d(x, y)$ Cambiando a coordenadas polares da$m_0(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \int_0^\infty e^{t r^2 \cos \theta \sin \theta} e^{-r^2/2} r \, dr \, d\theta = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \int_0^\infty \exp\left[r^2\left(t \cos \theta \sin\theta - \frac{1}{2}\right)\right] r \, dr \, d\theta$ La integral interna se puede hacer con una simple sustitución para$$\left|t\right| \lt 1$$, rindiendo$m_0(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{1 - t \sin(2 \theta)} d\theta = \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}$ Por lo tanto$$U$$ tiene MGF$$m_0^2(t) = \frac{1}{1 - t^2}$$ para$$\left|t\right| \lt 1$$, que de nuevo es el estándar Laplace MGF.

La distribución estándar de Laplace tiene las conexiones habituales a la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil calculada anteriormente.

Conexiones a la distribución uniforme estándar.

1. Si$$V$$ tiene la distribución uniforme estándar entonces$$U = \ln(2 V) \bs{1}\left(V \lt \frac{1}{2}\right) - \ln[2(1 - V)] \bs{1}\left(V \ge \frac{1}{2}\right)$$ tiene la distribución estándar de Laplace.
2. Si$$U$$ tiene la distribución estándar de Laplace entonces$$V = \frac{1}{2} e^U \bs{1}(U \lt 0) + \left(1 - \frac{1}{2} e^{-U}\right) \bs{1}(U \ge 0)$$ tiene la distribución uniforme estándar.

A partir de la parte (a), la distribución estándar de Laplace se puede simular con el método habitual de cuantiles aleatorios.

Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución de Laplace. Mantenga los valores de los parámetros predeterminados y anote la forma de las funciones de densidad de probabilidad y distribución. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

## La distribución de General Laplace

La distribución estándar de Laplace se generaliza agregando parámetros de ubicación y escala.

Supongamos que$$U$$ tiene la distribución estándar de Laplace. Si$$a \in \R$$ y$$b \in (0, \infty)$$, entonces$$X = a + b U$$ tiene la distribución de Laplace con parámetro de ubicación$$a$$ y parámetro de escala$$b$$.

### Funciones de distribución

Suppos que$$X$$ tiene la distribución de Laplace con parámetro de ubicación$$a \in \R$$ y parámetro de escala$$b \in (0, \infty)$$.

$$X$$tiene la función de densidad de probabilidad$$f$$ dada por$f(x) = \frac{1}{2 b} \exp\left(-\frac{\left|x - a\right|}{b}\right), \quad x \in \R$

1. $$f$$es simétrico sobre$$a$$.
2. $$f$$aumenta$$[0, a]$$ y disminuye$$[a, \infty)$$ con el modo$$x = a$$.
3. $$f$$es cóncavo hacia arriba una$$[0, a]$$ y otra$$[a, \infty)$$ vez con una cúspide en$$x = a$$.
Prueba

Recordemos que$$f(x) = \frac{1}{b} g\left(\frac{x - a}{b}\right)$$ dónde$$g$$ está el PDF estándar de Laplace.

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución de Laplace. Varíe los parámetros y anote la forma y ubicación de la función de densidad de probabilidad. Para varios valores de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad emprical con la función de densidad de probabilidad.

$$X$$tiene función de distribución$$F$$ dada por$F(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} \exp\left(\frac{x - a}{b}\right), & x \in (-\infty, a] \\ 1 - \frac{1}{2} \exp\left(-\frac{x - a}{b}\right), & x \in [a, \infty) \end{cases}$

Prueba

Recordemos que$$F(x) = G\left(\frac{x - a}{b}\right)$$ donde$$G$$ está el estándar Laplace CDF.

$$X$$tiene función cuantil$$F^{-1}$$ dada por$F^{-1}(p) = \begin{cases} a + b \ln(2 p), & 0 \le p \le \frac{1}{2} \\ a - b \ln[2(1 - p)], & \frac{1}{2} \le p \lt 1 \end{cases}$

1. $$F^{-1}(1 - p) = a - b F^{-1}(p)$$para$$p \in (0, 1)$$
2. El primer cuartil es$$q_1 = a - b \ln 2$$.
3. La mediana es$$q_2 = a$$
4. El tercer cuartil es$$q_3 = a + b \ln 2$$.
Prueba

Recordemos que$$F^{-1}(p) = a + b G^{-1}(p)$$ donde$$G^{-1}$$ está la función cuantil estándar de Laplace.

Abra la Calculadora de Distribución Especial y seleccione la distribución de Laplace. Para diversos valores del parámetro scale, compute los valores seleccionados de la función de distribución y la función quantile.

### Momentos

Nuevamente, asumimos que$$X$$ tiene la distribución de Laplace con parámetro de ubicación$$a \in \R$$ y parámetro de escala$$b \in (0, \infty)$$, de manera que por definición,$$X = a + b U$$ donde$$U$$ tiene la distribución estándar de Lapalce.

$$X$$tiene función de generación de momento$$M$$ dada por$M(t) = \E\left(e^{t X}\right) = \frac{e^{a t}}{1 - b^2 t^2}, \quad t \in (-1/b, 1/b)$

Prueba

Recordemos que$$M(t) = e^{a t} m(b t)$$ donde$$m$$ está el MGF estándar de Laplce.

Los momentos de$$X$$ aproximadamente el parámetro de ubicación tienen una forma simple.

Los momentos de$$X$$ aproximadamente$$a$$ son

1. $$\E\left[(X - a)^n\right] = 0$$si$$n \in \N$$ es impar.
2. $$\E\left[(X - a)^n\right] = b^n n!$$si$$n \in \N$$ es par.
Prueba

Tenga en cuenta$$\E\left[(X - a)^n\right] = b^n \E(U^n)$$ que para que los resultados sigan los momentos de$$U$$.

La media y varianza$$X$$ de

1. $$\E(X) = a$$
2. $$\var(X) = 2 b^2$$
Prueba

Recordemos eso$$\E(X) = a + b \E(U)$$ y$$\var(X) = b^2 \var(U)$$, así los resultados se derivan de la media y varianza de$$U$$.

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución de Laplace. Varíe los parámetros y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación$$\pm$$ estándar media. Para diversos valores del parámetro escala, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

La asimetría y curtosis de$$X$$ son

1. $$\skw(X) = 0$$
2. $$\kur(X) = 6$$
Prueba

Recordemos que la asimetría y la curtosis se definen en términos de la puntuación estándar y, por lo tanto, no cambian por una transformación de escala de ubicación. Así los resultados de la asimetría y curtosis de$$U$$.

Como antes, el exceso de curtosis es$$\kur(X) - 3 = 3$$.

Por construcción, la distribución de Laplace es una familia a escala de ubicación, y por lo tanto se cierra bajo transformaciones a escala de ubicación.

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución de Laplace con parámetro de ubicación$$a \in \R$$ y parámetro de escala$$b \in (0, \infty)$$, y eso$$c \in \R$$ y$$d \in (0, \infty)$$. Después$$Y = c + d X$$ tiene la distribución de Laplace con parámetro de$$c + a d$$ escala de parámetros de ubicación$$b d$$.

Prueba

Nuevamente por definición, podemos tomar$$X = a + b U$$ donde$$U$$ tiene la distribución estándar de Laplace. De ahí$$Y = c + d X = (c + a d) + (b d) U$$.

Una vez más, la distribución de Laplace tiene las conexiones habituales a la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil calculadas anteriormente. Esto último conduce al método habitual de simulación de cuantiles aleatorios.

Supongamos que$$a \in \R$$ y$$b \in (0, \infty)$$.

1. Si$$V$$ tiene la distribución uniforme estándar entonces$U = \left[a + b \ln(2 V)\right] \bs{1}\left(V \lt \frac{1}{2}\right) + \left(a - b \ln[2(1 - V)]\right) \bs{1}\left(V \ge \frac{1}{2}\right)$ tiene la distribución de Laplace con parámetro de ubicación$$a$$ y parámetro de escala$$b$$.
2. Si$$X$$ tiene la distribución de Laplace con parámetro de ubicación$$a$$ y parámetro de escala$$b$$, entonces$V = \frac{1}{2} \exp\left(\frac{X - a}{b}\right) \bs{1}(X \lt a) + \left[1 - \frac{1}{2} \exp\left(-\frac{X - a}{b}\right)\right] \bs{1}(X \ge a)$ tiene la distribución uniforme estándar.

Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución de Laplace. Varíe los valores de los parámetros y anote la forma de las funciones de densidad de probabilidad y distribución. Para los valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

La distribución de Laplace también es miembro de la familia exponencial general de distribuciones.

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución de Laplace con parámetro de ubicación conocido$$a \in \R$$ y parámetro de escala no especificado$$b \in (0, \infty)$$. Después$$X$$ tiene una distribución exponencial general en el parámetro de escala$$b$$, con parámetro natural$$-1/b$$ y estadística natural$$\left|X - a\right|$$.

Prueba

Esto se desprende de la definición de la familia exponencial general y la forma de la función de densidad de probabilidad$$f$$

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