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# 5.33: La distribución exponencial-logarítmica

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La distribución exponencial-logarítmica surge cuando el parámetro de tasa de la distribución exponencial es aleatorizado por la distribución logarítmica. La distribución exponencial-logarítmica tiene aplicaciones en la teoría de la confiabilidad en el contexto de dispositivos u organismos que mejoran con la edad, por endurecimiento o inmunidad.

## La distribución exponencial-logarítmica estándar

### Funciones de distribución

La distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape$$p \in (0, 1)$$ es una distribución continua$$[0, \infty)$$ con la función de densidad de probabilidad$$g$$ dada por$g(x) = -\frac{(1 - p) e^{-x}}{\ln(p)[1 - (1 - p) e^{-x}]}, \quad x \in [0, \infty)$

1. $$g$$está disminuyendo$$[0, \infty)$$ con el modo$$x = 0$$.
2. $$g$$es cóncavo hacia arriba en$$[0, \infty)$$.
Prueba

Sustituyendo$$u = (1 - p) e^{-x}$$,$$du = -(1 - p) e^{-x} dx$$ da$\int_0^\infty \frac{(1 - p) e^{-x}}{1 - (1 - p) e^{-x}} dx = \int_0^{1-p} \frac{du}{1 - u} = -\ln(p)$ por lo que sigue que$$g$$ es un PDF. Para la forma de la gráfica de$$g$$ nota que\ begin {align} g^\ prime (x) & =\ frac {(1 - p) e^ {-x}} {\ ln (p) [1 - (1 - p) e^ {-x}] ^2},\ quad x\ in [0,\ infty)\\ g^ {\ prime\ prime} (x) & = -\ frac {(1 - p) e^ {-x} [1 + (1 - p) e^ {-x}} {\ ln (p) [1 - (1 - p) e^ {-x}] ^3},\ quad x\ in [0,\ infty)\ end {align}

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Variar el parámetro shape y anotar la forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados del parámetro shape, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

La función de distribución$$G$$ viene dada por$G(x) = 1 - \frac{\ln\left[1 - (1 - p) e^{-x}\right]}{\ln(p)}, \quad x \in [0, \infty)$

Prueba

Esto se desprende de la misma sustitución integral utilizada en la prueba anterior.

La función quantile$$G^{-1}$$ viene dada por$G^{-1}(u) = \ln\left(\frac{1 - p}{1 - p^{1 - u}}\right) = \ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{1 - u}\right), \quad u \in [0, 1)$

1. El primer cuartil es$$q_1 = \ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{3/4}\right)$$.
2. La mediana es$$q_2 = \ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{1/2}\right) = \ln\left(1 + \sqrt{p}\right)$$.
3. El tercer cuartil es$$q_3 = \ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{1/4}\right)$$.
Prueba

La fórmula para$$G^{-1}$$ se desprende de la función de distribución resolviendo$$u = G(x)$$ para$$x$$ en términos de$$u$$.

Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Variar el parámetro shape y anotar la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para los valores seleccionados del parámetro shape, computar algunos valores de la función de distribución y la función cuantil.

La función de confiabilidad$$G^c$$ dada por$G^c(x) = \frac{\ln\left[1 - (1 - p) e^{-x}\right]}{\ln(p)}, \quad x \in [0, \infty)$

Prueba

Esto se desprende trivialmente de la función de distribución desde$$G^c = 1 - G$$.

La distribución exponencial-logarítmica estándar tiene una tasa de falla decreciente.

La función de tasa de fallas$$r$$ viene dada por$r(x) = -\frac{(1 - p) e^{-x}}{\left[1 - (1 - p) e^{-x}\right] \ln\left[1 - (1 - p) e^{-x}\right]}, \quad x \in (0, \infty)$

1. $$r$$está disminuyendo en$$[0, \infty)$$.
2. $$r$$es cóncavo hacia arriba en$$[0, \infty)$$.
Prueba

Recordemos que$$r(x) = g(x) \big/ G^c(x)$$ así la fórmula se desprende de la función de densidad de probabilidad y la función de distribución dada anteriormente.

### El polilogaritmo

Los momentos de la distribución exponencial-logarítmica estándar no pueden expresarse en términos de las funciones elementales habituales, sino que pueden expresarse en términos de una función especial conocida como el polilogaritmo.

El polilogaritmo de orden$$s \in \R$$ se define por$\Li_s(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^s}, \quad x \in (-1, 1)$ El polilogaritmo es una serie de potencias en$$x$$ con radio de convergencia es 1 para cada uno$$s \in \R$$.

Prueba

Para demostrar que el radio de convergencia es 1, utilizamos la prueba de ratio del cálculo. Para$$s \in \R$$,$\frac{|x|^{k+1} / (k + 1)^s}{|x|^k / k^s} = |x| \left(\frac{k}{k + 1}\right)^s \to |x| \text{ as } k \to \infty$ De ahí que la serie converja absolutamente para$$|x| \lt 1$$ y diverge para$$|x| \gt 1$$.

En esta sección, solo nos interesan los órdenes enteros no negativos, pero el polilogaritmo volverá a aparecer, para órdenes no enteros, en el estudio de la distribución zeta.

Las funciones del polilogaritmo de los órdenes 0, 1, 2 y 3.

1. El polilogaritmo de orden 0 es$\Li_0(x) = \sum_{k=1}^\infty x^k = \frac{x}{1 - x}, \quad x \in (-1, 1)$
2. El polilogaritmo de orden 1 es$\Li_1(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k} = -\ln(1 - x), \quad x \in (-1, 1)$
3. El polilogaritmo de orden 2 se conoce como el dilogaritmo
4. El polilogaritmo de orden 3 se conoce como el trilogaritmo.

Así, el polilogaritmo de orden 0 es una serie geométrica simple, y el polilogaritmo de orden 1 es la serie de potencia estándar para el logaritmo natural. Tenga en cuenta que la función de densidad de probabilidad de se$$X$$ puede escribir en términos de los polilogaritmos de los órdenes 0 y 1:$g(x) = -\frac{\Li_0\left[(1 - p) e^{-x}\right]}{\ln(p)} = \frac{\Li_0\left[(1 - p) e^{-x}\right]}{\Li_1(1 - p)}, \quad x \in [0, \infty)$ La propiedad más importante del polilogaritmo se da en el siguiente teorema:

El polilogaritmo satisface la siguiente fórmula integral recursiva:$\Li_{s+1}(x) = \int_0^x \frac{\Li_s(t)}{t} dt; \quad s \in \R, \; x \in (-1, 1)$ Equivalentemente,$$x \, \Li_{s+1}^\prime(x) = \Li_s(x)$$ para$$x \in (-1, 1)$$ y$$s \in \R$$.

Prueba

Recordemos que una serie de potencia puede integrarse término por término, y la serie integrada tiene el mismo radio de convergencia. De ahí que$$s \in \R$$,$\int_0^x \frac{\Li_s(t)}{t} dt = \sum_{k=1}^\infty \int_0^x \frac{t^{k-1}}{k^s} dt = \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{s^{k+1}} = \Li_{s+1}(x), \quad x \in (-1, 1)$

Cuando$$s \gt 1$$, la serie de polilogaritmos converge en$$x = 1$$ también, y$\Li_s(1) = \zeta(s) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s}$ dónde$$\zeta$$ está la función zeta de Riemann, llamada así por Georg Riemann. El polilogaritmo puede extenderse a órdenes complejos y definirse para complejo$$z$$ con$$|z| \lt 1$$, pero la versión más simple es suficiente para nuestro trabajo aquí.

### Momentos

Suponemos que$$X$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape$$p \in (0, 1)$$.

Los momentos de$$X$$ (alrededor de 0) son$\E(X^n) = -n! \frac{\Li_{n+1}(1 - p)}{\ln(p)} = n! \frac{\Li_{n+1}(1 - p)}{\Li_1(1 - p)}, \quad n \in \N$

1. $$\E(X^n) \to 0$$como$$p \downarrow 0$$
2. $$\E(X^n) \to n!$$como$$p \uparrow 1$$
Prueba

Como se señaló anteriormente en la discusión del polilogaritmo, el PDF de$$X$$ puede escribirse como$g(x) = -\frac{1}{\ln(p)} \sum_{k=1}^\infty (1 - p)^k e^{-kx}, \quad x \in [0, \infty)$ Por lo tanto$\E(X^n) = -\frac{1}{\ln(p)} \int_0^\infty \sum_{k=1}^\infty (1 - p)^k x^n e^{-k x} dx = -\frac{1}{\ln(p)} \sum_{k=1}^\infty (1 - p)^k \int_0^\infty x^n e^{-k x} dx$ Pero$$\int_0^\infty x^n e^{-k x} dx = n! \big/ k^{n + 1}$$ y por lo tanto$\E(X^n) = -\frac{1}{\ln(p)} n! \sum_{k=1}^\infty \frac{(1 - p)^k}{k^{n+1}} = - n! \frac{\Li_{n+1}(1 - p)}{\ln(p)}$

1. As$$p \downarrow 0$$, el numerador en la última expresión para$$\E(X^n)$$ converge a$$n! \zeta(n + 1)$$ mientras que el denominador diverge a$$\infty$$.
2. Como$$p \uparrow 1$$, la expresión para$$\E(X^n)$$ tiene la forma indeterminada$$\frac{0}{0}$$. Una aplicación de la regla de L'Hospital y la regla derivada anterior da$\lim_{p \uparrow 1} \E(X^n) = \lim_{p \uparrow 1} n! p \frac{\Li_n(1 - p)}{1 - p}$ Pero a partir de la definición de serie del polilogaritmo,$$\Li_n(x) \big/ x \to 1$$ como$$x \to 0$$.

Obtendremos una visión adicional sobre las asintóticas a continuación cuando consideremos la distribución limitante como$$p \downarrow 0$$ y$$p \uparrow 1$$. La media y varianza de la distribución logarítmica exponencial estándar se derivan fácilmente de la fórmula general del momento.

La media y varianza$$X$$ de

1. $$\E(X) = - \Li_2(1 - p) \big/ \ln(p)$$
2. $$\var(X) = -2 \Li_3(1 - p) \big/ \ln(p) - \left[\Li_2(1 - p) \big/ \ln(p)\right]^2$$

De las asintóticas de los momentos generales, anotar eso$$\E(X) \to 0$$ y$$\var(X) \to 0$$ como$$p \downarrow 0$$,$$E(X) \to 1$$ y$$\var(X) \to 1$$ como$$p \uparrow 1$$.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Varíe el parámetro de forma y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación$$\pm$$ estándar media. Para los valores seleccionados del parámetro shape, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

La distribución exponencial-logarítmica estándar tiene las conexiones habituales a la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil calculada anteriormente.

Supongamos que$$p \in (0, 1)$$.

1. Si$$U$$ tiene la distribución uniforme estándar entonces$X = \ln\left(\frac{1 - p}{1 - p^U}\right) = \ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^U \right)$ tiene la distribución estándar exponencial-logarítmica con el parámetro shape$$p$$.
2. Si$$X$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape$$p$$ entonces$U = \frac{\ln\left[1 - (1 - p) e^{-X}\right]}{\ln(p)}$ tiene la distribución uniforme estándar.
Prueba
1. Recordemos que si$$U$$ tiene la distribución uniforme estándar, entonces$$G^{-1}(U)$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape$$p$$. Pero$$1 - U$$ también tiene la distribución uniforme estándar y por lo tanto$$X = G^{-1}(1 - U)$$ también tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape$$p$$.
2. Del mismo modo, si$$X$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape$$p$$ entonces$$G(X)$$ tiene la distribución uniforme estándar. De ahí que$$U = 1 - G(X)$$ también tenga la distribución uniforme estándar.

Dado que la función cuantil de la distribución exponencial-logarítmica básica tiene una forma simple cerrada, la distribución se puede simular utilizando el método cuantil aleatorio.

Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Variar el parámetro shape y anotar la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para los valores seleccionados del parámetro, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

Como su nombre indica, la distribución básica exponencial-logarítmica surge de la distribución exponencial y la distribución logarítmica a través de cierto tipo de aleatorización.

Supongamos que$$\bs T = (T_1, T_2, \ldots)$$ es una secuencia de variables aleatorias independientes, cada una con la distribución exponencial estándar. Supongamos también que$$N$$ tiene la distribución logarítmica con parámetro$$1 - p \in (0, 1)$$ y es independiente de$$\bs T$$. Después$$X = \min\{T_1, T_2, \ldots, T_N\}$$ tiene la distribución básica exponencial-logarítmica con parámetro shape$$p$$.

Prueba

Lo mejor es trabajar con funciones de confiabilidad. For$$n \in \N_+$$,$$\min\{T_1, T_2, \ldots, T_n\}$$ tiene la distribución exponencial con parámetro de tasa$$n$$, y por lo tanto$$\P(\min\{T_1, T_2, \ldots T_n\} \gt x) = e^{-n x}$$ para$$x \in [0, \infty)$$. Recordemos también que$\P(N = n) = -\frac{(1 - p)^n}{n \ln(p)} \quad, n \in \N_+$ Por lo tanto, utilizando el polilogaritmo de orden 1 (la serie de potencia estándar para el logaritmo),$\P(X \gt x) = \E[\P(X \gt x \mid N)] = -\frac{1}{\ln(p)} \sum_{n=1}^\infty e^{-n x} \frac{(1 - p)^n}{n} = -\frac{1}{\ln(p)} \sum_{n=1}^\infty \frac{\left[e^{-x}(1 - p)\right]^n}{n} = \frac{\ln\left[1 - e^{-x} (1 - p)\right]}{\ln(p)}$ En función de$$x$$, esta es la función de confiabilidad de la distribución exponencial-logarítmica con parámetro shape$$p$$.

También son de interés, por supuesto, las distribuciones limitantes de la distribución exponencial-logarítmica estándar como$$p \to 0$$ y como$$p \to 1$$.

La distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape$$p \in (0, 1)$$ converge a

1. Masa puntual a 0 as$$p \to 0$$.
2. La distribución exponencial estándar como$$p \to 1$$.
Prueba

Es un poco más fácil trabajar con la función de confiabilidad$$G^c$$ en lugar de con la función de distribución ordinaria (izquierda)$$G$$.

1. Tenga en cuenta que$$G^c(0) = 1$$ para cada$$p \in (0, 1)$$. Por otro lado, si$$x \gt 0$$ entonces$$G^c(x) \to 0$$ como$$p \to 0$$.
2. $$G^c(x)$$tiene la forma indeterminada$$\frac{0}{0}$$ como$$p \to 1$$. Una aplicación de la regla de L'Hospital muestra que$\lim_{p \to 1} G^c(x) = \lim_{p \to 1} \frac{p e^{-x}}{1 - (1 - p) e^{-x}} = e^{-x}, \quad x \in [0, \infty)$ En función de$$x$$, esta es la función de confiabilidad de la distribución exponencial estándar.

## La distribución general exponencial-logarítmica

La distribución exponencial-logarítmica estándar se generaliza, como tantas distribuciones en$$[0, \infty)$$, agregando un parámetro de escala.

Supongamos que$$Z$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape$$p \in (0, 1)$$. Si$$b \in (0, \infty)$$, entonces$$X = b Z$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape$$p$$ y el parámetro scale$$b$$.

Usando la misma terminología que la distribución exponencial,$$1/b$$ se llama el parámetro rate.

### Funciones de distribución

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape$$p \in (0, 1)$$ y el parámetro scale$$b \in (0, \infty)$$.

$$X$$tiene la función de densidad de probabilidad$$f$$ dada por$f(x) = -\frac{(1 - p) e^{-x / b}}{b \ln(p)[1 - (1 - p) e^{-x / b}]}, \quad x \in [0, \infty)$

1. $$f$$está disminuyendo$$[0, \infty)$$ con el modo$$x = 0$$.
2. $$f$$es cóncavo hacia arriba en$$[0, \infty)$$.
Prueba

Recordemos que$$f(x) = \frac{1}{b}g\left(\frac{x}{b}\right)$$ para$$x \in [0, \infty)$$ dónde$$g$$ está el PDF de la distribución estándar.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Varíe los parámetros de forma y escala y anote la forma y ubicación de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

$$X$$tiene función de distribución$$F$$ dada por$F(x) = 1 - \frac{\ln\left[1 - (1 - p) e^{-x / b}\right]}{\ln(p)}, \quad x \in [0, \infty)$

Prueba

Recordemos que$$F(x) = G(x / b)$$ para$$x \in [0, \infty)$$ dónde$$G$$ está el CDF de la distribución estándar.

$$X$$tiene función cuantil$$F^{-1}$$ dada por$F^{-1}(u) = b \ln\left(\frac{1 - p}{1 - p^{1 - u}}\right) = b \left[\ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{1 - u}\right)\right], \quad u \in [0, 1)$

1. El primer cuartil es$$q_1 = b \left[\ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{3/4}\right)\right]$$.
2. La mediana es$$q_2 = b \left[\ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{1/2}\right)\right] = b \ln\left(1 + \sqrt{p}\right)$$.
3. El tercer cuartil es$$q_3 = b \left[\ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{1/4}\right) \right]$$.
Prueba

Recordemos que$$F^{-1}(u) = b G^{-1}(u)$$ donde$$G^{-1}$$ está la función cuantil de la distribución estándar.

Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Varíe el parámetro de forma y escala y anote la forma y ubicación de las funciones de densidad de probabilidad y distribución. Para valores seleccionados de los parámetros, computar algunos valores de la función de distribución y la función cuantil.

$$X$$tiene la función de confiabilidad$$F^c$$ dada por$F^c(x) = \frac{\ln\left[1 - (1 - p) e^{-x / b}\right]}{\ln(p)}, \quad x \in [0, \infty)$

Prueba

Esto se desprende trivialmente de la función de distribución desde$$F^c = 1 - F$$.

La distribución exponencial-logarítmica tiene una tasa de falla decreciente.

La función de tasa de fallas$$R$$ de$$X$$ viene dada por. $R(x) = -\frac{(1 - p) e^{-x / b}}{b \left[1 - (1 - p) e^{-x / b}\right] \ln\left[1 - (1 - p) e^{-x / b}\right]}, \quad x \in [0, \infty)$

1. $$R$$está disminuyendo en$$[0, \infty)$$.
2. $$R$$es cóncavo hacia arriba en$$[0, \infty)$$.
Prueba

Recordemos que$$R(x) = \frac{1}{b} r\left(\frac{x}{b}\right)$$ para$$x \in [0, \infty)$$, donde$$r$$ está la función de tasa de fallas de la distribución estándar. Como alternativa,$$R(x) = f(x) \big/ F^c(x)$$.

### Momentos

Supongamos nuevamente que$$X$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape$$p \in (0, 1)$$ y el parámetro scale$$b \in (0, \infty)$$. Los momentos de$$X$$ pueden calcularse fácilmente a partir de la representación$$X = b Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica básica.

Los momentos de$$X$$ (alrededor de 0) son$\E(X^n) = -b^n n! \frac{\Li_{n+1}(1 - p)}{\ln(p)}, \quad n \in \N$

1. $$\E(X^n) \to 0$$como$$p \downarrow 0$$
2. $$\E(X^n) \to b^n n!$$como$$p \uparrow 1$$
Prueba

Estos resultados se derivan de las propiedades básicas de valor esperado y los resultados correspondientes para la distribución estándar. Podemos escribir$$X = b Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape$$p$$. De ahí$$\E(X^n) = b^n \E(Z^n)$$.

La media y varianza$$X$$ de

1. $$\E(X) = - b \Li_2(1 - p) \big/ \ln(p)$$
2. $$\var(X) = b^2 \left(-2 \Li_3(1 - p) \big/ \ln(p) - \left[\Li_2(1 - p) \big/ \ln(p)\right]^2 \right)$$

A partir de los resultados de momento general, anotar eso$$\E(X) \to 0$$ y$$\var(X) \to 0$$ como$$p \downarrow 0$$, mientras$$\E(X) \to b$$ y$$\var(X) \to b^2$$ como$$p \uparrow 1$$.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Varíe los parámetros de forma y escala y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación$$\pm$$ estándar media. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

Dado que la distribución exponencial-logarítmica es una familia de escalas para cada valor del parámetro shape, se cierra trivialmente bajo transformaciones de escala.

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape$$p \in (0, 1)$$ y el parámetro scale$$b \in (0, \infty)$$. Si$$c \in (0, \infty)$$, entonces$$Y = c X$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape$$p$$ y el parámetro scale$$b c$$.

Prueba

Por definición, podemos tomar$$X = b Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape$$p$$. Pero entonces$$Y = c X = (b c) Z$$.

Una vez más, la distribución exponencial-logarítmica tiene las conexiones habituales a la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil calculadas anteriormente.

Supongamos que$$p \in (0, 1)$$ y$$b \in (0, \infty)$$.

1. Si$$U$$ tiene la distribución exponencial estándar, entonces$X = b \left[\ln\left(\frac{1 - p}{1 - p^U}\right)\right] = b \left[\ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^U \right)\right]$ tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape$$p$$ y el parámetro scale$$b$$.
2. Si$$X$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape$$p$$ y el parámetro scale$$b$$, entonces$U = \frac{\ln\left[1 - (1 - p) e^{-X / b}\right]}{\ln(p)}$ tiene la distribución uniforme estándar.
Prueba

Estos resultados se derivan de la representación$$X = b Z$$, donde$$Z$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape$$p$$, y el resultado correspondiente para$$Z$$.

Nuevamente, dado que la función cuantil de la distribución exponencial-logarítmica tiene una forma simple cerrada, la distribución se puede simular utilizando el método cuantil aleatorio.

Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Varíe los parámetros de forma y escala y anote la forma y ubicación de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

Supongamos que$$\bs{T} = (T_1, T_2, \ldots)$$ es una secuencia de variables aleatorias independientes, cada una con la distribución exponencial con parámetro scale$$b \in (0, \infty)$$. Supongamos también que$$N$$ tiene la distribución logarítmica con parámetro$$1 - p \in (0, 1)$$ y es independiente de$$\bs{T}$$. Luego$$X = \min\{T_1, T_2, \ldots, T_N\}$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape$$p$$ y el parámetro scale$$b$$.

Prueba

Tenga en cuenta que$$V_i = T_i / b$$ tiene la distribución exponencial estándar. De ahí que por el resultado correspondiente anterior,$$Z = \min\{V_1, V_2, \ldots, V_N\}$$ tenga la distribución básica exponencial-logarítmica con el parámetro shape$$p$$. De ahí$$X = b Z$$ que tenga la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape$$p$$ y el parámetro scale$$b$$.

Las distribuciones limitantes como$$p \downarrow 0$$ y como$$p \uparrow 1$$ también siguen fácilmente de los resultados correspondientes para el caso estándar.

Para fijo$$b \in (0, \infty)$$, la distribución exponencial-logarítmica con parámetro de forma$$p \in (0, 1)$$ y parámetro de escala$$b$$ converge a

1. Masa puntual a 0 as$$p \downarrow 0$$.
2. La distribución exponencial con parámetro de escala$$b$$ como$$p \uparrow 1$$.
Prueba

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape$$p$$ y el parámetro scale$$b$$, de manera que$$X = b Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape$$p$$. Utilizando el resultado correspondiente anterior,

1. La distribución de$$Z$$ converge a masa puntual en 0 como$$p \downarrow 0$$ y por lo tanto también lo hace la distribución de$$X$$.
2. La distribución de$$Z$$ converge a la distribución exponencial estándar como$$p \uparrow 1$$ y por lo tanto la distribución de$$X$$ converge a la distribución exponencial con parámetro de escala$$b$$.

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